Sobre el cálculo mental

Lo primero que habría que hacer con el cálculo mental, en el sentido en el que me parece más interesante, es buscarle un nombre nuevo. El problema de este nombre es que es muy fácil que nos remita a ciertas prácticas que eran populares hace años y que, teniendo cierto interés, son una versión muy restrictiva de lo que habría que llamar ¿cálculo pensado, cálculo reflexivo, cálculo razonado? Tan interesante como el cálculo mental “clásico” me parece escribir la suma en fila 25 + 17 = 42 y, cuando los números crecen, ayudarse escribiendo 257 + 166 = 300 + 110 + 13 = 423   (o 257 + 166 = 357 + 66 = 417 + 6 = 423:   una de las ideas que me parecen más importantes en este tema es que no hay una única forma, ni siquiera una “mejor forma” de hacer estos cálculos).  Aquí va la primera encuesta de este blog, ¿qué nombre le parece más adecuado?

¿Cómo empezar con el cálculo reflexivo? (Sí, creo que ese es mi voto). Estoy pensando sobre ello, mientras elaboro algunos materiales para 1º de Primaria. Trataré el tema en una futura entrada. Me encantaría observar qué ocurre en un aula en la que se ha introducido el número de dos cifras, y se plante el problema de calcular 17+15. ¿Qué tipo de estrategias aparecerían en el aula? No conozco ningún estudio sobre el tema.

Quizá porque en el cálculo mental no tenemos tradición, nunca está del todo claro de qué estamos hablando exactamente. Con la idea de animar el debate, aqui está un ejemplo de una prueba que les puse a mis alumnos de magisterio este curso. Les dejé 3 minutos para que la contestaran. Ya tenía claro que no les iba a resultar sencilla, pero me interesaba lanzarles el mensaje de que ese debería ser un nivel razonable para un alumno -¿de primer ciclo de ESO?- que hubiera trabajado bien el tema. Hicieron la prueba un total de 48 alumnos. La mediana del número de aciertos fue un 6, el máximo un 15, y hubo 3 alumnos que no respondieron correctamente a ninguna pregunta.

Otra prueba que les puse fue ésta (tipo “cifras y letras”). El tiempo fueron 5 minutos, uno para cada pregunta. Les gustó más, no tengo claro en qué medida porque el trabajo es más creativo o porque la dificultad fue menor. Hicieron la prueba un total de 38 alumnos. La mediana del resultado fue 2.5 (puntuaba 0.5 si no se conseguía el número sino uno más o menos). 6 alumnos (de un total de 38) obtuvieron 4 puntos, y sólo uno se quedó sin ningún punto. Preparando la prueba descubrí este enlace que pueden ser interesante. Creo que los niveles de dificultad están bastante bien conseguidos. El inconveniente es que no pide la expresión completa del cálculo, con los paréntesis necesarios, que me parece importante, al menos para los alumnos de magisterio.

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10 pensamientos en “Sobre el cálculo mental

  1. En una conversación con Juan Emílio garcía, cuando estábamos diseñando un currículum de matemáticas salió el término “Cálculo astuto” él dice que frase es mía y yo contesto que ya me gustaria. pero creo que es suya. Entodo caso es informal pero tranparente
    No es académica pero dice muchas cosas

    • Umm … no sé. A primera vista, el término astuto me sonaba a “truco”. Ante la duda, he acudido a la RAE:
      Astuto: agudo, hábil para engañar o evitar el engaño o para lograr artificiosamente cualquier fin.
      Es verdad que a veces un truco hábil facilita mucho un cálculo, pero no creo que esa sea la norma. Me parece que son más frecuentes las “técnicas generales”. Otra cosa es que haya que entrenar al alumno en ellas, o dejar que las vaya descubriendo. Pero me alegro de que hayas mencionado a Juan Emilio. Creo que debería haberlo hecho yo en la entrada. Mi memoria no da para tanto, pero me parece que le estaba escuchando cuando pensé por primera vez en estas cosas, así que es muy posible que alguno de los términos que propongo se lo escuchara a él.

  2. En referencia a la prueba:
    Crei que los ejercicios estan pensadoa a fondo, es una buena prueba para medir el tama del “cáculo mental” nombre que aparece

    en la prueba.
    Algunos comentarios
    1) Cuando decios cálcuo mental quqremos decir que no se puede anotar nada en el papel, o se permite anotar número de referéncia? o sea cáculo sin algoritmo
    2) 3 minutos, 180 segundos para 20 ejercicicos són 9 segundos por ejercicio. Porqué tan rápido
    3) Las estrategias de resolución por “càlculo mental” en general no vienen aprendidas desde la escuela, Por ejemplo que 60×0,75 se resuelva haciendo las tres cuartas partes de 60, o cuarto y mitad como dirian en algun mercado , corresponde al mundo del “sentido numérico” o del càlculo astuto”. No pretendo discutir sobre nombres sinó sobre que pasaria si tuvieran más tiempo y escribiera su manera de pensar: relament sus cáculos pasarian por la utilización del sentido numérico?
    Me copio tu prueba. Me gusta mucho y la pasaré a escuelas ya te diré alguna cosa
    salut

    • Como siempre, muchas gracias por plantear cuestiones interesantes.
      Sí, en la prueba aparece cálculo mental, aún no había dado el paso de cambiar el nombre, pero lo haré para el próximo curso. Me parece un detalle, pero los detalles a veces son importantes.
      Sobre las cuestions numeradas:
      1) Pueden escribir en el papel cálculos intermedios. A veces es lo natural … De hecho, un buen nombre que se me ocurre ahora es “cálculo natural”.
      2) Creo que calcular con soltura es importante, pero reconozco que en este tema aún estoy experimentando. Quizá sea demasiado ambicioso dado su nivel de entrada, sí. Seguramente el curso próximo experimentaré dos opciones: bajar el nivel de dificultad manteniendo el tiempo, y aumentar a 4 minutos para este nivel de dificultad. Mi idea es que un maestro que calcule para terminar esa prueba, en el aula podría hacer maravillas. Me parece que la falta de respeto hacia el maestro es uno de los problemas de fondo (ojo: no digo que los maestros sean los responsables de ello, creo que están muy al final en la cola de responsables) pero creo que sí podría estar en su mano hacer algo para luchar contra ello. Y lo he visto personalmente: calcular bien y rápido ayuda mucho a que te metas a casi toda la clase en el bolsillo.
      3) Dejemos en debate terminológico, me parece bien. Lo que planteas aquí es más interesante. Es verdad que las estrategias que necesitan para hacer los cálculos que les pido no las han trabajado en el cole, y claro que se nota. Muchas veces, cuando les digo cómo lo he hecho yo, la mayoría ponen cara de absoluta sorpresa. Pero ese es justo el punto más importante: identificar 3/4 y 0,75 está en el currículo (y está muy bien que esté, desde luego). Tener claro qué significa 3/4 de algo también. Pues creo que una manera estupenda de conseguir ambas cosas es hacer un cálculo como el propuesto sin el algoritmo tradicional. Yo veo una influencia en ambos sentidos: la comprensión de estas cosas ayuda al cálculo sin algoritmos, y el cálculo sin algoritmos ayuda a la comprensión.
      Me encantará recibir noticias, sobre a qué cursos la propones, qué tal va, y qué tipo de ideas usan los alumnos.

  3. He leído en alguna entrada de este blog la expresión “dejar de enseñar a calcular para empezar a enseñar matemáticas”. Existiendo calculadoras es más importante conseguir la agilidad en un calculo aproximado, la consciencia de la magnitud que se obtendrá, que la capacidad de resolver un algoritmo mucho más lentamente que lo que tardarían los alumnos en acudir a la calculadora de su móvil.
    Yo por si acaso esto no cambia he creado una calculadora para móvil que resuelve los algoritmos de las principales operaciones (https://play.google.com/store/apps/details?id=com.jpl.aliciacalc&hl=es). Y sí, tiene un punto contradictorio hacer que una máquina resuelva operaciones “manualmente”. Espero por lo menos ayudar a algunos padres a corregir las tareas de sus hijos y de paso evidenciar lo absurdo de insistir más de lo necesario en los algoritmos mecánicos de resolución de operaciones en vez de enseñar a calcular de verdad.
    Gran Blog.

    • Muchas gracias por el comentario. La aplicación puede facilitarle la vida a algunos padres, sí. Por mi parte, estoy cada vez más convencido de que los algoritmos tradicionales de la aritmética han perdido sentido. Sigo buscando argumentos en contra de esta opinión, y sigo sin encontrar ninguno.

  4. Viniendo delo Lolaberito aterrizo aquí con nocturnidad y alevosía y caigo en la tentación de dejar un comentario…

    En Francia (que es la enseñanza que conozco) hace ya muchos años que desde primaria se enseñan estrategias para “visualizar” los números y saber “manipularlos” mentalmente.

    Lo llaman cálculo mental por eso, porque es en la mente y sin papel. No me gustan los otros nombres de la encuesta porque parecería que se el cálculo en papel y con demostraciones no es razonado ni reflexivo ni pesnado y creo que no es eso…

    Por ejemplo para la sumas de dos cifras, una idea es visualizar los números como fichas de domino y recolocarlas mentalmente. Los más pequeños hacen primero esas manipulaciones físicamente con fichas y luego ya se puede prescindir de ellas.

    Para mí el enseñar cálculo mental tiene un doble objetivo, por una parte “amuebla el cerebro” cuando los cálculos que se aprenden tiene sentido y se basan en demostraciones. Por el contrario, enseñar a calcular raices cuadradas como le han enseñado a mi hija en el instituto no tiene ningún sentido, es como hacer magia, algo totalmente anti-formativo.

    Por otra parte es importante, como ha dicho José Pol, ser capaz de adquirir con facilidad nociones de ordenes de magnitud. He visto errores de cálculo en hojas excel llegar a publicarse en presupuestos y proyectos de ingeniería que luego ha habido que corregir y que no tenían ningún sentido.

    Buenas noches ZZZzzZZzz

    • Muchas gracias por el comentario. Estamos completamente de acuerdo en el tema de la raíz cuadrada (mi impresión es que está en vías de extinción).
      Es verdad que la aritmética tradicional se puede hacer “entendiéndola”, pero la realidad es que casi nunca es así.
      Mi problema con el nombre cálculo mental es que escribir 12 x 8 = 80 + 16 = 96 es el tipo de cálculo que me interesa, aunque sea también escrito.
      El punto que me parece más importante es que los algoritmos tradicionales se desarrollaron con un objetivo que ha perdido vigencia. Tomemos la suma: el algoritmo usual es así porque se necesitaban sumar enteros grandes, o hacer sumas con muchos sumandos. Si estamos de acuerdo en que eso ya tiene poco sentido, y que lo que hay que hacer es estimar sumas, o calcular exactamente sumas “pequeñas”, ¿son los algoritmos tradicionales los más adecuados?

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