Geometría y razonamiento

Hoy tengo que escribir sobre un fracaso. Una de las asignaturas que imparto en magisterio es Matemáticas II, y está dedicada esencialmente a la Geometría (mas un tema de Estadística y Probabilidad). Como ya he escrito en alguna ocasión (y, por supuesto, no estoy descubriendo nada), un valor esencial de la geometría es que es el marco ideal para iniciarse en el razonamiento lógico. Aunque este aspecto está completamente desaparecido de nuestro currículo, uno de los objetivos importantes en mi planteamiento de la asignatura es intentar solventar ese problema. Como les digo a mis alumnos cuanto protestan porque les pido cosas que no están en los programas, espero que muchos de ellos estén dando clase en el año 2050, y espero que para entonces hayamos conseguido reconducir nuestro currículo de matemáticas básicas.

Pero tampoco este segundo año he quedado mínimamente satisfecho con el resultado. La realidad es que la proporción de alumnos que consiguen completar un argumento, por sencillo que sea, al final del curso, ha sido deprimentemente baja.

Como ya era el segundo año que impartía la asignatura, insistí una y otra vez en que los datos eran los que daba el enunciado y no lo que parecía que ocurría en la figura “a ojo”. La corrección del parcial me enfrentó de bruces con la realidad de lo difícil que es cambiar los esquemas mentales de las personas (por cierto, uno de los hechos básicos de la psicología al que me parece que no se presta suficiente atención en la formación del profesorado, y que tenemos que ir descubriendo tropezón a tropezón). Éste era el problema:

congruencia-ex-parcial

Los argumentos que usaron aproximadamente el 90% de los alumnos se sustentaban, de una manera o de otra, en que la figura es simétrica respecto de la recta definida por A y R (por supuesto, sin argumentarlo en absoluto: simplemente, “se ve”). El resultado me pilló completamente de sorpresa. Tenía claro que seguramente para la mitad de los alumnos el problema resultaría demasiado complicado, pero hubo muchos casos de alumnos trabajadores, y que me parecía que estaban siguiendo la asignatura, que cometieron el error ante el que les había tratado de prevenir de forma reiterada. (1)

Por supuesto, tras el parcial no quedó otra que seguir insistiéndoles en los errores cometidos, y en el examen final intenté buscar un ejercicio menos complicado, pero que también requiriera un mínimo nivel de razonamiento. El problema lo encontré en este blog, que me descubrió @DavidBarba2 y que me parece absolutamente recomendable. Es el apartado b) de este problema:

bisectrices-ex-finalUn detalle que me parece importante, y que quiero aclarar, es que para este tipo de preguntas no estoy especialmente interesado en el “rigor formal” o en el uso exhaustivo del lenguaje matemático. Un error que me parece muy frecuente en el inicio del razonamiento es introducir demasiado pronto un exceso de formalismo, que se convierte en una dificultad adicional (como creo que ocurre en las “two column proofs” de la geometría de High School en EEUU).

Un argumento del estilo de:

  • como las rectas r y s son paralelas, los ángulos a y b son suplementarios
  • por tanto, la mitad de a mas la mitad de b suman 90 grados
  • luego el tercer ángulo del triángulo PQZ es recto

me parece perfectamente válido, y así lo traté en la corrección.

Los resultados fueron mejores que en el caso anterior: 50 de los 152 alumnos presentados contestaron la pregunta de forma esencialmente correcta. De todas formas, el resultado sigue sin parecerme satisfactorio dada la (escasa) dificultad de la cuestión. Y, por supuesto, una cantidad aproximadamente igual contestaron algo en la línea de “se ve” que los segmentos PZ y QZ salen perpendiculares, y por tanto el triángulo es rectángulo …

Reconozco que esta entrada ha sido básicamente una catarsis personal. Querría terminar con mis conclusiones básicas. Como siempre que hablo de mis estudiantes de magisterio, debo aclarar que en ellos veo a un estudiante medio de nuestra ESO.

  • casi todos llegan sin distinguir algo que “parece ser cierto” de algo que “podemos comprobar que es cierto”. Más aún, una buena parte sigue sin distinguirlo al final de curso.
  • llegan sin la idea de qué significa comprobar (demostrar) una afirmación, y está claro que menos de la mitad lo entienden tras dedicarle horas al tema.
  • más aún: la mayoría llega en el nivel 1 de van Hiele (no distinguen definiciones de propiedades). Se supone que es el nivel de un niño de primer ciclo de primaria. Tras tantos años estancados en ese punto, muchos de ellos no consiguen progresar …

(1) Aclaración: evidentemente, siempre que nos enfrentamos a un problema hay que tener claro de qué herramientas disponemos, y quizá no es del todo evidente en el texto. Los criterios de congruencia de triángulos son uno de los contenidos importantes del curso.

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9 pensamientos en “Geometría y razonamiento

  1. Creo muy sinceramente, que esta reflexión debe ser el tipo de impulso para seguir con la labor de formar docentes, de perseverar con ahínco en la ardua tarea, puesto que no es nada fácil romper esquemas afianzados, o mejor dicho, afianzar conceptos sin base alguna, en el cerebro humano.
    Me hace gracia cuando la gente dice que si hay mucha gente que no llega a un escalón, éste se debe bajar, bueno, imagino que se podrían dar rodeos (hoy no se cuales) para que se consiguiera subir; pero cuando estamos hablando de la formación de docentes, pienso que la sociedad se debe mentalizar de que deben recibir una de las mayores y más excelsas de las formaciones, las más exigentes hasta saber de todo.
    El número de “fracasos” muestra una realidad, para mí no una realidad de los que no han conseguido el mínimo requerido, sino el fallo, el error que año tras año va acumulando el sistema, dejando de lado bases que debieran de tener “personas formadas”. Como comentas el camino se lograría con el correcto currículo, hasta que llegue ese momento (espero que ponto) no se puede desanimar ni desistir en la formación de docentes, puesto que ello, creo, que sin lugar a dudas mejorará a la sociedad en su conjunto. Me gusta decir que la sociedad se las arreglaría sin un Iphone 6, pero no sin un cirujano o maestro.

    A propósito del tema de geometría, pienso, que aunque en primaria se haya podido trabajar mal, en secundaria, el esfuerzo y sobretodo el dibujo técnico ayuda a comprender esa visión espacial de la que se alimenta la geometría (hablo desde el conocimiento). Ello me lleva a pensar en cómo el sistema desliga conocimientos tan unidos, y si ésta es la causa del error del currículo, es decir, la especificación en tantas parcelas cuando queremos conseguir una visión base del conjunto.
    P.D. Desde mi experiencia, aún el primer ejercicio me parece mucho más complejo; quizás porque en el segundo eres tú el que vas construyendo lo que se pide, mientras que el otro deber de realizar una abstracción de lo que ya está representado; pudiera ser por el principio de “se aprende haciendo”, creo que se puede llegar mejor a un razonamiento cuando eres tú mismo el que vas edificando el problema paso a paso, siendo consciente de lo que haces al subir cada escalón (implicaciones de la didáctica).

    • Coincido absolutamente con Jesús en que la parcelación de los contenidos, no solo en asignaturas sino también en temas y bloques impide al alumno tener una apropiada visión de conjunto.

      • También de acuerdo, y mi impresión es que el problema está yendo a más, también en la universidad, con la proliferación de parciales y la tendencia a la desaparición de los exámenes globales que nos están vendiendo como parte del espacio europeo de educación superior.

    • Muchas gracias por el comentario, y una aclaración: es posible que la entrada se haya entendido como un anuncio de rendición. ¡En absoluto! Estoy muy, muy lejos de empezar a pensar en tirar la toalla. Escribo menos de lo que me gustaría en este espacio porque tengo varios proyectos en marcha (de los que, por supuesto, iré hablando aquí).
      Sobre el dibujo: desde luego que “dibujar la geometría” ayuda. Me parece una parte esencial del aprendizaje, e insistir en ello es una de las cosas que tengo pensadas para el curso próximo. Pero soy más pesimista con lo que les ayuda las asignaturas de dibujo de secundaria. Cuando aparece cualquier construcción geométrica, como la tangente de un punto a una circunferencia, a muchos alumnos les suena, y los mejores hasta la recuerdan. Pero ni uno solo tiene idea de por qué funciona, ni de cuál es la propiedad básica que estamos usando en la construcción.

  2. Se que no es una rendición, pero cuando se nada a contra corriente es fácil desistir.
    Claro! Eso mismo es lo que digo, porque enseñamos a realizar gráficamente la tangente y no explicamos la base, el porqué, el fundamento que está detrás. Esas separaciones creo que son las que llevan a los fallos de comprensión estructurales de las disciplinas, porque al final todo forma parte y esta relacionado para del el todo.

  3. Muy interesante entrada y muy interesante blog. Lo sigo desde hace tiempo aunque no he comentado. El problema parte esencialmente de la eliminación de las demostraciones en los currículos. Cuando yo estudié COU, había que demostrar muchas cosas, ahora se ha aniquilado la demostración por la receta, y ahí reside el problema: aplicamos la receta sin saber por qué.
    ¿Es una batalla perdida argumentar la utilidad de un razonamiento, de una demostración, cuando “no te sirve de nada para ir a comprar el pan”?
    ¿Qué tenemos de razonamientos, de demostraciones, en los nuevos currículos de la nueva ley?¿Dónde encaja en la sociedad actual la pausa para reflexionar?
    En fin, divago, pero no veo forma de cómo arreglar estas carencias ni hacia dónde nos movemos. Un problema perpetuo en esta materia, en esta sociedad y en este país.
    Felicidades de nuevo por el blog, siempre planteas cuestiones apasionantes.

    • Muchas gracias por el comentario. Y totalmente de acuerdo con el diagnóstico de la causa. Ya veía el problema hace años, cuando daba clase a ingenieros, pero creo que solo ahora me he dado cuenta de lo profundo que es.
      Lo llamativo es que en los prólogos de las leyes y reglamentos, y cuando se habla de competencias, el razonamiento crítico y bla, bla, bla, está muy presente. Luego los contenidos y las actividades que lo desarrollan apenas se trabajan. ¿Cómo revertir esta tendencia? Desde luego, el nuevo currículo de primaria no va a ayudar en absoluto.

  4. Me ha resultado muy interesante el post, Pedro. Respecto a lo que dices sobre cambiar los esquemas mentales, piensa que llevan demasiados años sometidos a un curriculum que solo incide en los aspectos calculísticos (y casi siempre métricos) de la geometría. Para más inri, se suelen introducir fórmulas como por arte de magia, el caso más sangrante seguramente sea el de los volúmenes y áreas en 2º de ESO. En cuanto saben suficiente álgebra olvidamos por completo la geometría sintética, tradicionalmente tan susceptible de trabajar el razonamiento, y abrazamos las coordenadas, donde es raro encontrar un problema en el que sea imprescindible visualizar la figura para llegar a la solución (ni siquiera en 2º de Bachillerato, donde las matrices/prod. escalar/vectorial hacen el trabajo sucio)
    Por último, el primer problema que comentas es un poco tramposo: la conclusión es tan evidente en la figura que los tentaste a hacer suposiciones no explícitas. Es muy fácil caer en la trampa. Quizás con un problema menos “obvio”. Tú lo sabrás mejor que yo…

    • Conocía lo poco que se trata este tipo de geometría en secundaria; de lo que no era tan consciente es de lo complicado que es cambiar esos esquemas mentales. Y sobre la “trampa” del primer problema: seguramente tienes razón. Digamos que el primer año no era tan consciente del problema, el segundo año pensé – ingenuamente – que con insistir sobre ello (que lo que sabemos es sólo lo que nos dicen, que la vista puede engañar, etc) sería suficiente; ya tengo claro que hace falta algo más, y parte de ese algo más puede ser lo que dices sobre demostrar cosas “menos obvias”. Alguna propuesta tengo al respecto, ya hasta con una entrada en la cola de borradores 🙂
      Dicho esto, el segundo problema sí me parece sencillo. Y es el que realmente me ha hecho darme cuenta de lo difícil que es para el alumno medio producir un razonamiento, por sencillo que sea.

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