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Reforma de la Selectividad – Comparativa internacional

Parece ser que se está cocinando una reforma del examen que hacen los alumnos en España antes de entrar en la universidad, que se llamó Selectividad originalmente, y que ha cambiado varias veces de nombre en los últimos años, al ritmo de las repetidas leyes educativas que hemos tenido. Desde el ministerio se dice que se quiere diseñar un «examen competencial», siguiendo la idea de lo que se hace en otros países europeos. Es muy posible que en otras áreas esto tenga bastante sentido, pero si hablamos de matemáticas y pensando en la interpretación mayoritaria en nuestro país de «competencia matemática», lo que está por venir me genera bastante preocupación. En todo caso, el objetivo de esta entrada es reunir ejemplos de exámenes análogos de diferentes países que he ido publicando en twitter en los pasados meses bajo la etiqueta #ReformaSelectividad. Esta es la lista, en el orden en el que fui recopilando los datos.

  • Portugal: este es el enlace a su instituto de evaluación educativa, donde está toda la información. Los datos que me parecen más relevantes son que el examen dura 150 minutos (+ 30 mins de «tolerancia»), se incluye un formulario al principio y se permite el uso de calculadora gráfica. Es obligatorio contestar a cierto número de preguntas, señaladas en el enunciado, y además se eligen las mejores notas del resto de los ejercicios (los números precisos varían de unos exámenes a otros). Estos son los exámenes de 2022.
  • Italia: este es el enlace a la página del Ministerio de Educación con información general sobre la prueba. Aquí, un ejemplo del examen de matemáticas, y aquí una página con ejemplos de examen de los últimos 20 años. Se permiten calculadoras gráficas (sin cálculo simbólico). El examen consta de varias preguntas cortas y de dos problemas, de los que hay que resolver uno. La duración máxima del examen es de 6 horas, lo que da una idea de que se trata de auténticos problemas (parece que con bastante preponderancia del análisis).
  • Singapur: la información sobre el examen preuniversitario de Singapur se puede encontrar en esta entrada de este mismo blog. (Y buscando la etiqueta Singapur se llega a mucha más información sobre su enseñanza de las matemáticas).
  • Gran Bretaña: su «Bachillerato» consiste en preparar una serie de A-levels. Parece que el mínimo para seguir estudiando son 3, y hay estudiantes que llegan a 5. Hay dos niveles (la S de AS es de “subsidiary»). En la imagen vemos las dos especialidades, cada una con un total de 4 exámenes.

Aquí están los ejemplos de exámenes. Se permite lista de fórmulas y, sobre la calculadora, todos tienen el comentario “You should use a calculator where appropriate“ Nada de modelización, nada de contextos, excepto en Estadística y Probabilidad.

  1. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415312-2020-specimen-paper-1.pdf (1 h 50 min), con lista de fórmulas, análisis, álgebra y geometría, con preguntas “clásicas”
  2. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415314-2020-specimen-paper-2.pdf (1 h 15 min), misma idea que el anterior (corresponde al nivel “subsidiary”)
  3. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415315-2020-specimen-paper-3.pdf (1 h 50 min), también “clásico”, como el 1. Llega a contenidos más avanzados. (Una ecuación diferencial).
  4. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415317-2020-specimen-paper-4.pdf (1 h 15 min), Mecánica.
  5. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415319-2020-specimen-paper-5.pdf (1 h 15 min), Probabilidad y Estadística.
  6. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415320-2020-specimen-paper-6.pdf (1 h 15 min), Probabilidad y Estadística.
  • Alemania (Baviera): el sistema educativo alemán está descentralizado, y cada Land tiene su propia Abitur. Aquí se puede acceder a los exámenes de matemáticas de Baviera, y con la ayuda de google aquí están las traducciones:
    • examen sin calculadora simbólica aquí.
    • examen con calculadora simbólica aquí.

Los exámenes constan de dos partes, la primera de 70 minutos y la segunda de 200 minutos. Es llamativo que las dos versiones (con y sin CAS) son muy similares, y difieren solo en algún apartado de dos o tres problemas. En la tabla vemos la distribución de puntuaciones, y resulta llamativa la ausencia del álgebra. 

Parte 1Parte 2
Análisis2040
Estocástica525
Geometría525
Total3090

Hay preguntas con modelos de situaciones realistas que me han parecido muy interesantes. Los modelos ya vienen dados, en la forma de «esta función modela esta situación». Lo que se pide en el examen es saber interpretar diferentes hechos matemáticos en el contexto de los modelos datos. Unas preguntas de probabilidad que me han gustado, y que no he visto en nuestro país, son del tipo de «busca un evento cuya probabilidad sea esta». Tampoco llegan a la inferencia estadística. Parece que opinan que mejor sentar bien las bases, y dejar la inferencia para más adelante.

  • Francia: Está en proceso de cambio. Hasta ahora tenían tres bachilleratos (Científico, Económico y social, Literario) y la información de Wikipedia sobre el Baccalauréat francés y su evolución histórica se puede encontrar aquí.
    En el nuevo sistema solo hay un bachillerato, con asignaturas comunes y asignaturas optativas. Wikipedia, de nuevo, tiene una completa descripción de esta organización aquí.
    Las matemáticas no están entre las asignaturas comunes. En el examen final hay pruebas de Francés (uno oral, otro escrito), Filosofía, y un examen oral, parece que general. Se examinan de dos asignaturas de las específicas, que tienen bastante peso. Cada una son 16 puntos. Por comparación, Francés son 10 puntos en total, Filosofía 8. Parece que en la actualidad hay un fuerte debate porque hay menos alumnos estudiando matemáticas, en particular menos alumnas. Aquí, un ejemplo con algunos datos.
    Este es el examen de Matemáticas del año 2021. Se permiten calculadoras, y habla de «en modo examen», lo que deja claro que se trata de calculadoras del siglo XXI. Tres grandes preguntas comunes (una de cálculo/análisis, una de geometría, una de probabilidad) y luego otra que hay que elegir entre dos (las dos de análisis).
    Para los interesados, pdf y LaTeX del examen aquí.

Para los lectores que no conozcan el sistema español, en este enlace de la Universidad de Alcalá se puede acceder a los exámenes de EvAU (así se llama ahora este examen en la Comunidad de Madrid) de los últimos años. Los exámenes de las diferentes comunidades autónomas españolas pueden ser bastante diferentes, y este tema daría por sí solo para varias entradas.

Para terminar, una pequeña tabla resumen con la duración de las pruebas en diferentes países, todos los que he mencionado y algunos más de los que solo tengo información parcial.

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Currículos internacionales

Recojo el guante de una petición que surgió el otro día en twitter, sobre un lugar donde se pudieran consultar los currículos de matemáticas de otros países. Aquí tengo una lista inicial, con los de Singapur y los que aportó @carlosyedma. La iré ampliando cuando vaya siendo posible, y con la información que me pueda llegar vía comentarios.

La referencia a los cursos es el estándar internacional, K1 es 1º de Primaria, hasta K12, normalmente el último curso antes de la universidad.

 

Rouché-Frobenius, ¿matemáticas escolares?

Vaya por delante, admiro profundamente a @edusadeci, y la labor de divulgación que hace en su canal #Derivando. Pero esta mañana no he podido evitar contestar cuando he visto este tweet suyo, en el que habla del Teorema de Rouché-Frobenius como de «matemáticas escolares». Y me he visto obligado a contestar porque me parece que calificar al Teorema de Rouché-Frobenius como «matemáticas escolares» incide en el mayor error que recorre todo nuestro currículo de matemáticas, y es precipitar el estudio de multitud de contenidos.

No creo que exista ningún país en el que el teorema de Rouché-Frobenius se estudie en un nivel preuniversitario. Desde luego, no se hace en Francia, la patria de Eugène Rouché y famosa por su exigente Baccalaureat. Escribir esta breve entrada ha sido una buena excusa para echar un vistazo a su examen análogo a nuestra Selectividad, PAU, EvAU, o como queramos llamarla. En este enlace se puede acceder al examen de matemáticas S, el científico. Por cierto, ha sido solo una lectura rápida, pero a primera vista ese examen me ha gustado bastante. Desde luego, fuera del alcance de la mayoría de nuestros alumnos de 2º de Bachillerato, por lo que requiere de razonamiento y comprensión. Equilibrado, con algunas preguntas en contexto (real, no pseudo) y otras más teóricas. Desde luego, ni rastro de nuestra famosa pregunta «Discute este sistema en función de …», que vale el 30% del examen y a la que se le dedica al menos un mes en la mayoría de nuestras aulas de 2º del Bachillerato de Ciencias.

Lo dicho: he visto unos cuantos países ya, y en ninguno he encontrado rastro de este teorema, antes de llegar a la universidad. Si algún lector puede darme un ejemplo le estaré agradecido, creedme.

Y el problema, claro, es que no es un caso aislado, sino un fallo de diseño de todo nuestro currículo de matemáticas.

 

 

 

Los currículos en espiral

A raíz de este artículo publicado en El Español el pasado domingo, del vídeo donde se habla de la repetición de contenidos en España, y de su mención a cómo estudian las fracciones en Singapur, me han hecho algunas preguntas interesantes, y he pensado que la mejor forma de tratar de contestarlas podría ser rescatar una de las entradas en la cola de borradores, la dedicada al tema de los currículos en espiral.

Nuestros currículos, ya desde la LOGSE, están diseñados en espiral. Pero si nos fijamos en los currículos de Singapur, también dicen que su diseño es en espiral. Lo que sigue es un extracto de la introducción al currículo de matemáticas de primaria de 2007.

Care has been taken to ensure that there is continuity from the primary to the secondary levels. Using a spiral design of the curriculum, each topic is revisited and introduced in increasing depth from one level to the next. This enables students to consolidate the concepts and skills learned and then further develop them.

El 2013 cambiaron el currículo de primaria, y este curso llegan a 4º (van a curso por año, no como aquí …). Siguen mencionando el diseño en espiral, como puede comprobarse en esta página, donde también se puede ver la estructura general de las diferentes etapas educativas. Una aclaración preventiva: no tengo datos de cuántos alumnos cursan esas matemáticas fundamentales de 5º y 6º de primaria, ni estoy defendiendo esa separación tan temprana. Tampoco tengo datos de cómo funcionan esas pasarelas que aparecen en etapas posteriores de la estructura. Esos aspectos organizativos son relevantes, pero no me parece un tema estrictamente curricular. En todo caso, cuando se piense en ello merece la pena tener en la cabeza cuál es la alternativa que usamos en España, y que es la que parece que peor funciona: la repetición de curso.

Volviendo al diseño en espiral, puede ser un poco exagerado decir que en España estudian en todos los cursos lo mismo, pero me parece claro que hay demasiada repetición. Se introducen las fracciones en 3º, y en 4º de primaria ya suman fracciones (lo cual no me parece malo en sí mismo), pero algo falla, porque siguen repitiendo la suma en 5º y en 6º, y como cualquier profesor de primeros cursos de ESO podrá corroborar, sigue siendo necesario trabajarla en 1º y 2º de secundaria, y sigue siendo fuente de errores durante toda la etapa. Algo parecido pasa con la multiplicación y la división (empezando en este caso en 5º). Esto no es solo un problema de los alumnos con más problemas de aprendizaje. Ya sé que es solo una anécdota, pero me parece significativa: el otro día una compañera de departamento que imparte la asignatura de Probabilidad y Procesos Estocásticos en 2º de Ingeniería de Telecomunicación, me contaba que en un problema aparecía la suma de una serie, y que el obstáculo para una cantidad significativa de sus alumnos había sido darse cuenta de que \frac{1}{3^x}=\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^x. El problema me parece claro: en ningún momento se le dedica a cada cosa el tiempo suficiente para poder lograr un auténtico aprendizaje comprensivo, que es el único que permite que ese conocimiento siga allí cuando los alumnos vuelven de las vacaciones de verano.

En Singapur, por el contrario, no repiten los conceptos. Introducen el concepto de fracción, y comparan, suman y restan fracciones con el mismo denominador en 2º, en 3º tratan los mismos temas pero con el caso de denominadores distintos (eso sí, manteniendo los números del tamaño adecuado para que el alumno entienda lo que está haciendo), en 4º las fracciones impropias, la fracción de un conjunto, y los números mixtos (esto último me parece que sobra, se podría decir eso de «nadie es perfecto»), en 5º tienen dos temas, tratan la multiplicación y la división de una fracción entre un entero, y por último en 6º aparecen fracciones como divisores, y hacen un pequeño repaso. Por si algún lector quiere algún detalle más, aquí he reunido los índices de los temas de fracciones de los textos de Marshall Cavendish. No es el currículo oficial, pero el lector que compare estos índices con el currículo enlazado anteriormente comprobará que la precisión del currículo deja poco margen para los contenidos (no voy a entrar aquí en si esto es bueno o malo, seguramente es posible en un país pequeño, uniforme y centralizado como Singapur, mucho más complicado en España, pero ese es otro tema). Por supuesto en los conceptos y procedimientos tratados en cursos anteriores aparecen en actividades y problemas de cursos posteriores, pero creo que eso es completamente distinto a estudiarlos de nuevo. En cuanto a secundaria, en 1º aparecen cuatro páginas de repaso, eso es todo.

Un último documento: los índices de los libros de primaria. Creo que son suficientes si algún lector quiere hacerse una idea de cómo tratan otros temas.

Y un comentario final: decir que un currículo está diseñado en espiral no es decir gran cosa. El diablo está en los detalles, y un calificativo como ése se puede aplicar a realidades muy diferentes.

 

Campaña en Change.org

El objetivo de esta entrada es dar algo más de información sobre la campaña de change.org,  que pide una revisión en profundidad de los currículos de matemáticas. Si el lector tiene experiencia docente, estoy convencido de que sabe perfectamente de lo que estamos hablando. En todos los cursos la sensación es que hay que correr, para tratar de cubrir los temarios. Aún así, muchas veces no se consigue, y la geometría y la estadística, colocadas casi siempre al final de los libros, sufren las consecuencias. Sí, ya lo sé, los docentes podemos y debemos hacer el esfuerzo de organizar/reprogramar/priorizar los contenidos, para tratar de corregir estos problemas. Pero aparecen dos problemas:

  • hay que tener las ideas muy claras, y resistir muchas presiones, para tratar con calma los temas que consideras relevantes (la calma imprescindible para que los alumnos aprendan, en el sentido profundo del término) sabiendo que eso dejará fuera otros temas que están en el currículo.
  • distintos profesores tendrán prioridades distintas, y la experiencia muestra que hay muchos (con toda la buena intención, lo sé), que consideran que es importante saber dividir a mano 93284 entre 739,  el algoritmo tradicional de la raíz cuadrada, o saber derivar \cos (\sqrt{\ln (x^2+5)}).

¿No sería mucho más sencillo que este problema se arreglara donde tiene que arreglarse, y hacer una revisión en profundidad de los currículos de matemáticas de todos nuestros niveles educativos?

Supongo que existe el peligro de que algún lector confunda «simplificar el currículo» con «bajar el nivel». La idea es completamente distinta: en EEUU se dice que su currículo es «ancho y superficial», y creo compartimos con ellos ese problema. La propuesta alternativa es un currículo centrado en los temas importantes, para poder tratarlos con mucha mayor profundidad. Hay cada vez más evidencia de que los países con mejores resultados en la educación matemática son los que emprendieron ese camino ya hace años. En esta entrada previa del blog el lector puede encontrar alguna referencia.

Creo que debemos hacer un esfuerzo para separar este tema de otros problemas más polémicos, y que dividen a la comunidad educativa. Pero sí quiero decir una cosa de la LOMCE: me parece una buena muestra de lo perdidos que parecen estar nuestros políticos en este tema. La propuesta curricular de la LOMCE en matemáticas, lejos de detectar el problema, y tratar de empezar a arreglarlo, lo ha agravado, sobrecargando aún más los ya recargados currículos de las diferentes etapas.

Por último aquí está el tuit con el enlace a la campaña de change.org

¿Campaña por un nuevo currículo de matemáticas?

Este año también me fui de vacaciones con la intención de volver con ideas para promover algún tipo de acción pidiendo una revisión de los currículos de matemáticas. Y supongo que, como en años anteriores, la intención se habría quedado en eso, sepultada por el resto de tareas que uno se encuentra de cara al comienzo de curso, de no haber sido por este tuit de hace unos días:

La imagen del tuit es la transparencia 54 del powerpoint de este informe, que me parece interesante en general.

Creo que la gran mayoría de los profesores estamos de acuerdo en que los currículos son demasiado extensos. De hecho, este problema ha empeorado con la LOMCE. Si los informes de organizaciones a las que se recurre tan a menudo cuando se habla de competencia matemática coinciden en que es mejor elegir menos contenidos, para poder tratarlos en profundidad, ¿no debería este tema llegar al debate social? Seguramente las asociaciones de profesores podrían ser la opción natural, pero mis (escasos) intentos en el pasado reciente han tenido resultado cero. Creo que ha llegado el momento de intentar sacar partido de las nuevas tecnologías, y ensayar la participación directa. El objetivo de esta entrada es (aparte de tratar de forzarme a dar el paso) pedir opinión a los lectores, y recabar ideas. ¿Conocéis alguna alternativa que pudiera ser más adecuada que Change.org?

Escuela Miguel de Guzmán

Hoy una entrada breve para anunciar la IX Escuela de Educación Matemática Miguel de Guzmán, organizada de forma conjunta por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española.

Será los días 6-7-8 de julio, en la Universidad de Alcalá. El título de la Escuela es «Qué enseñar y cómo hacerlo: nuevas metodologías», y aunque me gustaría que el programa tuviera más espacio para discutir el «qué», antes de pasar al «cómo», algo hay en esa dirección, y espero que la participación del profesorado ayude. El plazo de inscripción es del 2 de mayo al 20 de junio.

Más información en la página de la FESPM y en la de la RSME.

Y éste es el cartel anunciador, por si tenéis ocasión de ponerlo en vuestros centros.

 

Los currículos de la LOMCE

Espero que la salida del lío político en el que estamos incluya deshacerse de la LOMCE, y conseguir de una vez una ley educativa con consenso en los temas básicos, pero sobre todo espero que como parte de ese proceso podamos de una vez dedicarle un tiempo a los temas puramente educativos, a los currículos.

Con motivo de este curso de formación en Las Acacias estoy mirando un poco más en detalle el currículo de primaria de Madrid, y no lo voy a calificar por si esta entrada la leen menores …

@ClaraGrima y @lolamenting mencionaron en días pasados algunas erratas (no recuerdo si se trataba del currículo de Madrid o del currículo del Ministerio, tanto da). Eso ya es grave, pero es mucho peor el mensaje de fondo que transmite sobre qué son las matemáticas. Es difícil elegir el ejemplo más disparatado, pero me quedo con éste, sacado textualmente de los contenidos de 6º de Primaria, sobre proporcionalidad y porcentajes:

Usa la regla de tres en situaciones de proporcionalidad directa (ley del doble, triple, mitad …) para resolver problemas de la vida cotidiana.

Ya es grave que sigamos insistiendo con la regla de tres, cuando son sobradamente conocidos los problemas de aprendizaje que genera, y manteniéndonos como uno de los poquísimos países donde se sigue usando, pero es peor todavía eso de «ley del doble, triple, mitad». La verdad, no las había oído nunca, pero en este contexto sólo pueden referirse a que si compro el doble de cierto producto, pago el doble, y si compro la mitad, pago la mitad. ¿De verdad eso es una ley, y tiene que acabar con el correspondiente recuadro amarillo en el libro de texto? Ni siquiera suena a siglo XX, ¡más bien a siglo XIX!

Sobre el rechazo a las matemáticas

Creo que son buenas noticias, otro interesante artículo (esta vez en La Vanguardia) sobre el problema del rechazo a las matemáticas. Estoy bastante de acuerdo tanto en el diagnóstico como en formas de intentar arreglar el tema, con una ausencia clamorosa: la necesidad de abstracción del razonamiento matemático requiere madurez mental; por tanto, es necesario acompasar esos contenidos matemáticos al desarrollo de los alumnos. Como he escrito en variadas ocasiones, cuando se comparan nuestros currículos con los de otros países muchas veces se descubre que precipitamos el tratamiento abstracto de muchos temas. Y el gran problema es que esto no se está arreglando, sino que estamos profundizando en el error. Muy claro en la LOMCE, donde se adelantan contenidos ya en primaria, y donde se ha sobrecargado todavía mas el currículo de secundaria. Pero no se trata solo de un tema curricular: cada vez es mas frecuente ver colegios que para mostrar su «nivel» introducen el algoritmo clásico de la suma ya en el último año de infantil (y este problema no es específico de las matemáticas, hacen lo mismo con el objetivo de terminar infantil leyendo). ¿Cómo revertir esta tendencia? Ayer mismo tuve en una reunión en un colegio (público), para presentarles el material de 1º. La idea de prescindir durante ese curso de los algoritmos tradicionales de la suma y la resta les gustaba (de hecho, su actitud hacia todo el material fue de lo mas positiva) pero tenían claro que uno de los obstáculos que tendrán que vencer si se deciden a dar el salto es la resistencia de los padres cuando su hijo no «haga sumas» como los demás …

«Resolución de ecuaciones exponenciales sencillas»

Estaba en el comité local del III día nacional de Geogebra, así que el sábado 9 de mayo me pasé buena parte del día oyendo cosas sobre el programa. Ya lo conocía, por supuesto, y lo he usado tanto en investigación como en docencia (aunque para cosas sencillas, me considero usuario principiante). Me han quedado varios temas dando vueltas en la cabeza, y supongo que en algún momento alguno de ellos cristalizará en una entrada. Pero hoy quiero hablar de un tema distinto.

En el taller de Geogebra CAS al que asistí el ponente mostraba cómo usaba Geogebra como herramienta auxiliar para que sus alumnos comprobaran los resultados: hacen las cuentas de siempre, como siempre, y después comprueban con Geogebra si el resultado es correcto. Lo sé, aquí hay tema, pero como digo prefiero pensarlo un poco mas y hoy toca algo mas concreto. Uno de los ejercicios que mostró fue la ecuación exponencial 2^x = 3^{x-1}. La ecuación en sí me sorprendió un poco, y en cuanto pude pregunté si ecuaciones como esa estaban en el currículo. Tanto el ponente como buena parte de los asistentes respondieron de inmediato con expresiones que reflejaban un evidente «por supuesto que sí».

Por supuesto, en cuanto he podido he mirado el currículo (el de la LOE de Madrid, el de la LOMCE lo seguimos esperando) y lo que dice en Matemáticas I sobre el tema es, textualmente, «Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.» Como casi siempre el currículo no es del todo informativo, pero en este caso mi opinión es clara: si la ecuación mencionada es sencilla, ¿cómo son las que no son sencillas? Eso sin mencionar, claro, que una ecuación exponencial con bases 2 y 3 me parece totalmente artificial. Es verdad que una ecuación como 2^x = 4^{x-1} no es menos artificial, pero cumple el objetivo de trabajar una propiedad básica de las potencias.