“Resolución de ecuaciones exponenciales sencillas”

Estaba en el comité local del III día nacional de Geogebra, así que el sábado 9 de mayo me pasé buena parte del día oyendo cosas sobre el programa. Ya lo conocía, por supuesto, y lo he usado tanto en investigación como en docencia (aunque para cosas sencillas, me considero usuario principiante). Me han quedado varios temas dando vueltas en la cabeza, y supongo que en algún momento alguno de ellos cristalizará en una entrada. Pero hoy quiero hablar de un tema distinto.

En el taller de Geogebra CAS al que asistí el ponente mostraba cómo usaba Geogebra como herramienta auxiliar para que sus alumnos comprobaran los resultados: hacen las cuentas de siempre, como siempre, y después comprueban con Geogebra si el resultado es correcto. Lo sé, aquí hay tema, pero como digo prefiero pensarlo un poco mas y hoy toca algo mas concreto. Uno de los ejercicios que mostró fue la ecuación exponencial 2^x = 3^{x-1}. La ecuación en sí me sorprendió un poco, y en cuanto pude pregunté si ecuaciones como esa estaban en el currículo. Tanto el ponente como buena parte de los asistentes respondieron de inmediato con expresiones que reflejaban un evidente “por supuesto que sí”.

Por supuesto, en cuanto he podido he mirado el currículo (el de la LOE de Madrid, el de la LOMCE lo seguimos esperando) y lo que dice en Matemáticas I sobre el tema es, textualmente, “Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.” Como casi siempre el currículo no es del todo informativo, pero en este caso mi opinión es clara: si la ecuación mencionada es sencilla, ¿cómo son las que no son sencillas? Eso sin mencionar, claro, que una ecuación exponencial con bases 2 y 3 me parece totalmente artificial. Es verdad que una ecuación como 2^x = 4^{x-1} no es menos artificial, pero cumple el objetivo de trabajar una propiedad básica de las potencias.

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22 pensamientos en ““Resolución de ecuaciones exponenciales sencillas”

  1. Por lo que interpreto yo el hecho que no está en el curri no quiere decir que está prohibido! Quizá este prof tiene alumnos muy buenos a los que les gustan estas cosas! Lo que si no entiendo es para que utilizar Geogebra como “computadora” o “verificadora” de resultados!

  2. Pones sobre la mesa un problema de fodo muy interesante: la dicotomia currículum oficial/currículum real. Lo que nos lleva a un ejemplo, una cuestión histórica: el momento en el que a las institiuciones públicas ya no se les permite (no seria legal) aprobar o no los libros de texto en función si cumplen o no el currículum. Por lo tanto pierde sentido la discusión de cumplir o no el currículum desde el momento que quien lo marca actualmente son las editoriales, que en función de demanda de mercado ofrecen distintas oportunidades: más progres, más sencillos, avanzan o retrasan contenidos etc.
    Diria que actualmente muy pocos profesores no universitarios, se leen el currículum y seguramente tienen razón. No se donde leí que los documentos políticos tiene que ser cortos pero ambíguos, a lo mejor es por ésto.
    Para terminar una anécdota, puede que me equivoque pero en el currículum de la LOGSE no aparece el contenido: algoritmo de la división de dos cifras. Pero si las editoriales no lo ponen, no venden su libro… de quien es la culpa? cómo cambiar ésto?
    A lo mejor ha llegado el momento que las Universidades, además de investigar editen (como trabajo final de una investigación) una propuesta curricular ejemplificada que en manos de una maestra, le facilite el trabajo de poder seguir con facilidad lo que pensamos que debe ser la enseñanza de las Matemáticas en Primaria (o secundaria)… y que no sea un “ladrillo” sino un manual, que para los docentes con ciertas dudas pueda ser explicado en un curso de no demasiadas horas.
    Se que es dificilísimo, pero es un reto, ya que el objetivo no es llegar a los “convencidos de siempre” sino intentar ampliar nuestra influencia como formadores de Maestras (os) a un amplio número de docentes.

    • He mirado el currículo de primaria de la LOMCE de Madrid. En 4º, división con divisor de 1 cifra. En 5º, divisiones con dividendo hasta 5 cifras y divisor ¡hasta 3 cifras!
      Tienes toda la razón en que la falta de control es absoluta. Conozco dos opciones: una es esa aprobación de los libros de texto, la otra son las pruebas externas. No voy a entrar en ventajas e inconvenientes de cada una, pero lo cierto es que aquí nos hemos quedado en terreno de nadie, sin ningún control. El resultado: cuando, para bien o para mal, el mundo cambia a toda velocidad, la principal fuerza presente en el sistema educativo es … la fuerza de la costumbre.
      Entiendo lo que dices sobre esa propuesta curricular generada desde la universidad, pero soy muy escéptico sobre su posible impacto. Sigo pensando que la única opción para llegar a las aulas es darle al maestro el material suficiente para estructurar la mayor parte de su clase. Un libro de texto, vamos. Parece que ya tenemos unos pocos colegios piloto para los materiales que he hecho públicos en este blog. Seguiremos informando …

      • ¿Qué quiere decir exactamente “aprender a dividir”? El fondo del debate es justamente ese: identificar el aprender a dividir con el algoritmo tradicional de la división, un algoritmo nada transparente que se pensó para un objetivo que simplemente se ha desvanecido.
        En muchos países el algoritmo tradicional de la división, con divisores de dos o mas cifras, ha desaparecido del currículo.

      • El problema está en seguir ejercitando un algoritmo, en las escuelas, que muy poca gente usa. Desde los 80 con la popularización de la calculadora, ha dejado de ser un contenido interesantes y creo que la mayoria de los currículums de distintos paises (no puedo asegurarlo) ya ha desaparecido y solament se presenta el algoritmo por una cifra. Es más, con la aparición de los algoritmos centrados en números (ver última revista suma) que implican más transparencia y una manejo de propiedades y sentido numérico importante la alternativa es retrasarlos para conocerlos como parte de la cultura, pero no como instrumento a dominar

      • Me refiero a la división como operación no al algoritmo, además veo que en muchos casos mis estudiantes se equivocan porque hacen la división con el algoritmo “cortado de la división: es decir
        13 |_ 3
        1 4

        en lugar de hacer

        13 |_ 3
        -12 4
        —-
        1

        pero aun peor, porque por ejemplo me ponen 325/15=241 y no se dan cuenta que no es que no es correcto el resultado, es que no puede ser!!

      • Yo le llamo algoritmo comprimido al primero, y algoritmo extendido al segundo. Por razones que desconozco, somos de los pocos países del mundo donde se usa el algoritmo comprimido. Por tus palabras deduzco que en Italia se usa el algoritmo extendido. Y estoy de acuerdo: el algoritmo comprimido es menos transparente, y por tanto mas fácil de olvidar. Los chicos lo practican en primaria, y muchos lo olvidan en secundaria.

  3. dos cosas, un error: puse logse en logar de LOE y en referencia al cambio mi propuesta sobre el papel de la Universidad, no era “como motor” sino “al servicio de”. Por ejemplo no niego el papel de unos buenos libros de texto pero desde el 2010 ha explotado una linea de actuación en que las escuelas de Primaria trabajan por proyectos, rincones, ambientes etc y aquí el libros de texto pierde sentido. El problema está en que estas organitzaciones tan potentes y realmente útiles son utilizadas para hacer las “matemáticas de siempre”. Poe ejemplo: en los rincones de juegos consta que hacen matemáticas… pero solamente juegan o ejercitan údicamente. Y otras que aunque no trabajen por proyectos han hecho de sus matemáticas un paso adelante muy importante
    Ya existen Universidades en las que han cambiado sus planes de estudio ya que llegaron a la conclusión que formaban maestros para un tipo de organización que en un futuro ya no van a existir independientemente de ministros… o de Universidades.
    nos hemos de poner las pilas
    Estoy de acuerdo contigo que un buen libro de texto mejora muchas cosas y es una opción. Y aqui aparece un segundo punto de debate: la formación inicial de maestros será distinta en función que se les prepare como buenos ejecutores de un buen libro de texto o en función de organizaciones escolares distintas.
    Y como el “camino del medio” da buenos resultados: unos maestros que sepan ejecutar con criterio propio las ideas centrales de un buen libro de texto puede adaptarse con facilidad a modelos más complejos… pero que es un “buen libro de texto”?: un libro del alumno con guia de instrucciones o un libro del maestro con actividades ejemplares?.
    Prometo no seguir con el debate, con comentarios tan largos

  4. para que veas que no soy nada consecuente: tu idea de partir de un libro de texto propio, como instrumento de cambio en escuelas en un proyecto piloto, es uno de los modelos o la demostración que desde la universidad se pueden obtener resultados excelentes en el cambio de la enseñanza de las Matemáticas. Felicidades

    • David, por favor, ¡no te cortes! Lo digo completamente en serio: los comentarios son fundamentales para este espacio.
      Sobre el tema del aprendizaje por proyectos o una organización un poco mas tradicional, mi postura es simple. Me dedico al “apartado matemático” porque es donde creo que puedo contribuir algo. No sé nada de aprendizaje por proyectos, y creo que al menos en nuestro país hay un enorme margen de mejora simplemente centrándose en las matemáticas: en qué matemáticas se trabajan y cómo se presentan.

      • Estaremos de acuerdo en que cuando hay propuestas escolares fundamentadas y organitzaciones distintas a dinamizar por asignaturas, es mejor no entrar ya que de eso no sabemos. Pero en el momento que “resulta” que en éste entorno se explican Matemáticas y alguna veces son las de “toda la vida” diria que tenemos que dar opinión. En el fondo es lo que tu has hecho con el libro de texto. Pues bien, ver que es lo que se hace, “de Matemáticas” en algún proyecto o ambiente y elaborar un planteamiento alternativo en el que realmente se realizen las Matemáticas que piensas, en un entorno de ambientes o proyectos, es un campo interesante, ya que éste profesorado “progre” no seguirá nunca un libro de texto (incluido el tuyo) ya que és “el enemigo” (dinámicamente)
        Unabuena manera de empezar es ver que muchas de las mates que hacen son reaizadas en un amiente de “juegos”… pero es muy probable que de matemáticas se hagan pocas, ejercitació lúdica si. Pero tu ya sabes que no es eso

  5. Creo que un profesor no debería nunca seguir un libro de texto a pies juntillas, sobre todo viendo los textos que hay por ahí (hablo de la ESO y bachillerato). En estos momentos las editoriales están presentando “novedades” y yo, francamente, veo poca novedad. Creo que se pueden encontrar cosas sueltas interesantes, pero desde luego un alto porcentaje del contenido (ejercicios repetitivos de siempre, sobre todo) están gratis y además con la solución en montones de sitios de internet. Para los alumnos es un poco empobrecedor acostumbrarse a aprender sólo con un libro de texto. Dicho esto, creo que es responsabilidad de la autoridad educativa, no de los editores, delimitar claramente el tipo de problemas y el alcance preciso de los contenidos que enseñamos. Y un poco de autocrítica: cuando los profesores elaboramos nuestras programaciones ¿nos tomamos siempre la molestia de discutir y delimitar con claridad lo que vamos a enseñar y cómo? Porque viendo algunas programaciones me temo que muchos ni siquiera se han leído atentamente el currículo oficial.

    • Una vez mas, de acuerdo, Elena. Puestos a matizar, claro que un libro de texto no puede verse como una cárcel, pero como ya he escrito alguna vez un buen libro de texto me parece una excelente herramienta, no solo para el profesor, sino también para el alumno. El poco uso que hacen nuestros alumnos de los libros de texto (también en la universidad, donde solo en casos excepcionales se sale de los apuntes) me parece uno de los grandes problemas de fondo de nuestro sistema.

  6. Yo creo que en estas cosas hay que ser flexible. Está bien utilizar el libro, los apuntes, las fichas, el problema creo que es más sobre los contenidos que sobre las metodologías. Independientemente de lo que dicen los boletines o los libros. Por ejemplo, creo que multiplicaciones y divisiones dentro dentro de las tablas de 1 a 10 x de 1 a 10, ya las puedes terminar sin problemas en 2º de primaria, divisiones enteras (72:9) o no enteras (72:8). Lo que dice Pedro sobre las divisiones de 4º y 5º requiere seguramente una esfuerzo grande por parte de alumnos y profes y quizá no puede llevar a conseguir los objetivos.

  7. David, no me interpretes mal, me encantaría entrar en el detalle de qué hacen con las matemáticas en uno de esos entornos a los que te refieres. El único problema es que ya estoy metido en mas cosas de las que puedo manejar. Veremos qué ocurre si alguno de esos sectores llega a enterarse de que hay metodologías menos innovadoras pero que se pueden centrar en que el niño piense y haga matemáticas, y no se limite a calcular.

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