¿Por qué decimos multiplicado por?

Ayer caí en la cuenta, al escribir esta frase en unas notas sobre división de fracciones: “dividir por 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2”. Y como al escribir esta entrada, sobre las ventajas de usar “veces” en lugar de “multiplicado por”, terminaba diciendo que no veía ninguna razón para el uso del “multiplicado por”, salvo la fuerza de la costumbre, a riesgo de resultar pesado quiero volver sobre el tema para aclarar que “multiplicado por” refleja el hecho de que la multiplicación es la operación inversa de la división, y que en ambos casos el operador actúa por la derecha.

Eso sí, creo que se trata simplemente del “gol del honor” (y en tiempo de descuento). La terminología “veces” me parece más indicada para introducir la multiplicación, y creo que lo adecuado sería añadir en algún momento (seguramente al principio de la secundaria) que “3 veces 4” se dice también “4 multiplicado por 3” (que resulta ser igual a “4 dividido por 1/3”).

 

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El problema de la vaca

No sé si seguirá siendo conocido aquél problema sobre un ingeniero, un físico y un matemático, en el que el matemático terminaba diciendo “Sea una vaca redonda y sin rozamiento …”. No, no voy a hablar de ese problema, pero si de otro problema con una vaca, y que tiene algo tiene que ver con el modelado o, más en general, con la interacción matemáticas-realidad.

El disclaimer habitual cuando hablo de mis alumnos de magisterio: creo que son una buena muestra del alumno medio, y me encantaría recibir información sobre cómo funciona el problema en un aula de 3º-4º de ESO.

En el problema hay una vaca en el exterior de un recinto, y está atada a la valla. Se pregunta por la región en la que la vaca puede pastar, y en función de la geometría del corral, y de la longitud de la cuerda, pueden aparecer versiones de dificultades muy variadas, cosa que siempre me parece interesante. El caso es que ya lo había planteado un par de años, sin ningún dibujo de apoyo en el enunciado, y me encontraba con que, sencillamente, la gran mayoría  alumnos no entendían el problema cuando lo trabajaban antes de clase. De forma que este año me decidí a incluir un dibujo, y este era exactamente el enunciado que aparecía en la hoja de problemas de hace un par de semanas:la-vaca-y-el-corral

Lo sorprendente (al menos, a mi me lo parece) es que, al pedirles en clase que contestaran lo que había hecho sobre el primer apartado, y lo entregaran, una clara mayoría de los alumnos (al menos el 80%) sigue sin ser capaz de hacer algo coherente. La respuesta mayoritaria fue dibujar una circunferencia, con centro en el punto donde está atada la vaca, pero ignorando completamente el recinto rectangular. Y creo que esto pone de manifiesto un tema que no sé si se ha estudiado lo suficiente, y es la curiosa interacción (o falta de ella) entre los procesos mentales que usan muchos alumnos al tratar de resolver problemas de matemáticas, y los procesos del “sentido común”, que usan cuando no están “haciendo matemáticas”.

Por supuesto que es algo conocido, por ejemplo, cuando se dan respuestas claramente absurdas, sin reflexionar un momento sobre si la solución tiene o no algún sentido. El “tratamiento” para arreglar esto también me parece claro: plantear problemas que tengan conexión con el entorno conocido, y pedir que se reflexione sobre lo trabajado. Pero, ¿de verdad que no se le puede plantear un problema como éste a un alumno que no se haya dedicado al pastoreo?