Por resumir …

Creo que el debate causado por el tema “veces vs multiplicado por” ha sido muy interesante (gracias a todos por los comentarios) y que merece la pena una última entrada resumen (con la promesa de no volver a escribir sobre este tema en una temporada, es cierto que empieza a resultar machacón).

El debate de darle sentido a la expresión 2 \times 3 se puede tener en el terreno puramente matemático, o en el de la educación matemática. Me voy a centrar en el segundo, porque me parece mucho más importante.

Las dos opciones más extendidas para interpretar 2 \times 3 son “dos multiplicado por tres”, es decir, 2 \times 3 = 2+2+2 y “dos veces tres”, es decir, 2 \times 3 = 3 +3. Es verdad que hay otras propuestas, tendentes a unificar las dos posibilidades, como leer 2 \times 3 en el orden “dos tres veces” o “tres veces dos”, pero me parecen artificiales, también chocan con el orden natural del lenguaje, y quizá podrían ser una buena opción si en algún lugar estuviera escrito el hecho inamovible de que 2 \times 3 tiene que ser “dos multiplicado por tres”. Pero es que no es así, si echamos un vistazo al resto del mundo es fácil darse cuenta de que existen las dos opciones.

En inglés casi siempre dicen “two times three”, aunque es verdad que esa expresión la interpretan en algunos lugares como “2+2+2” y en otros como “3+3” (este hecho me ha llamado mucho la atención desde que lo descubrí). En la reforma del Common Core de EEUU han optado por unificar lenguaje usual y sentido matemático, y seguro que esto es lo que ha dado lugar a la confusión del alumno que ha hecho saltar toda esta polémica.

En Alemania (y presumo que en los países de influencia germana) también usan el “veces”, y lo interpretan según el lenguaje usual:

multiplicacion-alemania

4veces3-Singapur

 

 

En Singapur también es este el convenio y creo que en Asia en general es la alternativa mayoritaria.

 

 

 

 

Una vez comprobado que se puede elegir, estas son las ventajas que le veo a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):

  1. (y más importante), se entiende mejor. Un niño de 4-5 años que se está iniciando en los números y en el lenguaje está en condiciones de interpretar la expresión “dos veces tres”. Por el contrario, la expresión “tres multiplicado por dos” resulta muy abstracta para los niños de 7-8 años, y lo que ocurre muchas veces es que aprenden de memoria las tablas de multiplicar y son justo las tablas las que le dan sentido a las expresiones como “siete multiplicado por ocho”. Eso es poner el proceso de aprendizaje completamente al revés, y las dificultades en la resolución de problemas son inevitables.
  2. la propiedad distributiva (en uno de los dos órdenes) es completamente natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
  3. encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6. Si somos coherentes con el “multiplicado por”, el doble de 6 debe escribirse 6 \times 2 lo que resulta un tanto peculiar, ¿no?
  4. en el álgebra, en expresiones como 2x, el multiplicador se pone a la izquierda. Un error sorprendentemente común en los primeros cursos de secundaria es encontrar alumnos que escriben x + x = x^2. Me pregunto si una de las razones de que ocurra esto es no tener del todo asumida la multiplicación, y el sentido de “dos veces x“.
  5. con las fracciones pasa algo parecido, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
  6. Y, hablando de operadores, en la multiplicación el operador es el multiplicador, y los operadores van casi siempre a la izquierda (es cierto que hay operadores que actúan por la derecha, pero son pocos, y propios de matemáticas mucho más avanzadas).

He pensado en ventajas del “tres por dos”, pero no se me ocurre ninguna, salvo naturalmente la dificultad del cambio. Me interesa de verdad escuchar alguna otra.

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4 pensamientos en “Por resumir …

  1. No se si habéis leído el “Afterword” de Alexander Givental a la traducción al ingles del libro “A. P. Kiselev, Adapted from Russian by Alexander Givental-Kiselev’s Geometry, Book II. Stereometry-Sumizdat (2008)”, que podéis bajar desde libgen por ejemplo http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=F6E08AB304B09F681D184D2BA27DC42C , creo que aclara mucho sobre el tema de la terminología y del vocabulario no necesario en educación.

  2. Pingback: ¿Por qué decimos multiplicado por? | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

  3. Pingback: ¿Memorizar las tablas? | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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