Otra entrada breve para responder a una pregunta surgida de este tuit (sigo con la idea de cerrar el curso con mis impresiones de la Escuela Miguel de Guzmán).
Es un tema muy interesante, sobre el que seguramente vuelva en el futuro, pero creo que puedo dar una primera respuesta rápida.
Creo que el punto clave es aclarar los dos posibles significados del término «memorizar» en el aprendizaje matemático. Uno puede estar hablando de «aprender de memoria» las tablas de multiplicar, como si fuera la lista de los reyes Godos, o los afluentes del Duero por la derecha. Esto es lo que pide el currículo LOMCE de Madrid donde, sin mencionar nada que tenga que ver con la idea de multiplicación, y en ¡1º de Primaria!, aparece un punto que dice «Memorizar las tablas del 0, el 1, el 2 y el 5». Hay muchas barbaridades en el currículo de primaria de la LOMCE, pero creo que si tuviera que dar un primer premio esta sería mi elección.
Pero creo que también se puede usar el término memorizar refiriéndose al estado final de aprendizaje. Se puede trabajar la multiplicación, y uno de los resultados finales del proceso debería ser que el alumno sepa de memoria las tablas de multiplicar. No sé lo suficiente de psicología del aprendizaje (mejor dicho, no sé nada) para profundizar en las diferencias cognitivas, pero como matemático me parece claro que son enfoques distintos y que son el resultado de procesos de aprendizaje diferentes.
En el tema de las tablas de la suma es evidente que Aharoni está hablando de esta segunda forma de memorizar, porque se detiene a tratar el tema de cómo sumar dos números de una cifra, y del problema de pasar «la frontera del 10», en el ejercicio de calcular la suma 8+5. Esta es una etapa crucial del aprendizaje de la suma. Los niños que aprenden/descubren técnicas de cálculo flexible, de descomposición numérica, y que piensan en 5=2+3 para concluir que 8+5 = 10 + 3 = 13, son niños que van en la buena dirección en el camino del aprendizaje de las matemáticas. Por el contrario, los niños que hacen esta cuenta basada en memorizar (en el primer sentido) las tablas de la suma, o simplemente contando, están avanzando en una dirección con peores resultados de aprendizaje.
En el tema de la multiplicación la cosa queda menos clara, me parece que por el problema del significado del signo «x» en la multiplicación, del «veces» o «multiplicado por» del que ya hemos hablado aquí. Me resulta muy significativo que un buen matemático (en el sentido de investigador en matemáticas) con amplia experiencia en aulas de primaria, se mueva en este tema de forma insegura. Está claro que es un tema que no tenemos resuelto. Mi impresión es que si adoptamos el término «veces», el significado de la multiplicación queda mucho más claro, y el aprendizaje de las tablas de multiplicar puede estar basado en la comprensión. Sobre este tema espero poder dar algo más de información durante el próximo curso. En los libros de 2º de Primaria de Polygon ya aparecen las tablas (el 2, el 3, el 4, el 5 y el 10), y estarán presentes en algunas de nuestras aulas este próximo curso.
Por último, sobre el libro de Aharoni. Lo tenía un poco aparcado, pero este tema me ha hecho revisarlo, y coincido con @danicapoblog en que sería muy positivo tener el libro accesible en castellano, como ayuda para esas familias, me parece que cada día más numerosas, que son conscientes de los problemas en el aprendizaje matemático de sus hijos, pero que no terminan de entender cuál es el problema de fondo, o que no tienen las herramientas para luchar contra él. Me apunto el tema para septiembre.
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Un buen experimento para un adulto es aprender a multiplicar, es decir las tablas, en base no digo 7, 8 .. vamos ya en base 4 o 5 seria suficiente!! Si alguien lo consigue de manera razonable antes de final de julio ya tendrá la respuesta!
Me parece un ejemplo interesante. Pero ojo: aprender a multiplicar, y aprender las tablas de multiplicar, son cosas distintas. De forma más precisa, para multiplicar hacen falta las tablas de multiplicar, y la propiedad distributiva.
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El ejemplo que propones, aprender las tablas en base 4, por ejemplo, añade la dificultad de «desaprender» lo ya conocido, para memorizar, por ejemplo,
Y planteas también un tema interesante, sobre el que querría escribir en algún momento: ¿cuál es el papel de la base b en la comprensión de la aritmética elemental (en particular, en la formación de maestros)?
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Supongo que estamos todos de acuerdo en que la tablas, deben memorizarse. Si nos centramos solo en discutir este punto (lo que no contradice el marco general que presentabas, sinó que propone centrarse en uno) mi pregunta seria ¿cómo lo organizamos? ¿en que intervalo de tiempo? ¿cómo proponemos problemas de multuplicación a niños que no se saben la tablas? etc.
Pero… deben saberlas, verdad?
Desde mi punto de vista, sí, en algún momento de 3º-4º de primaria los alumnos deben tener las tablas en su memoria. Sin tablas de multiplicar no es posible el cálculo mental, ni la estimación, ni casi nada.
Sobre qué problemas se pueden proponer durante su aprendizaje, y cómo plantearlo, creo que todo depende del significado de la multiplicación. Si lo que hacemos es lo usual en España, «dos por uno es dos, dos por dos son cuatro, dos por tres son seis, …», creo que no hay demasiado margen para la comprensión. Si optamos por «una vez dos son dos, dos veces dos son cuatro, tres veces dos son seis, …» creo que todo es mucho más sencillo. Como decía en la entrada, espero poder dar más detalles de cómo funciona esto dentro de unos pocos meses.
Sinceramente no tengo ni la más remota idea de cómo contestar tus preguntas. Como profesor (habitualmente) en el primer ciclo de la ESO veo que la mayoría de los alumnos no han asimilado en Primaria la propiedad distributiva(no me refiero a su formulación algebraica, sino a su utilización en contextos aritméticos). A veces me da la impresión de que los investigadores se pasan de optimistas con lo que se puede llegar a entender con 7-8 años. Por ejemplo aquella serie de posts de Keith Devlin sobre las bases de la multiplicación más allá de la suma repetida, pues también veo que muchos alumnos empiezan la ESO sin tener claro lo que nosotros llamaríamos, apelando a la Combinatoria, «Regla del Producto»
Por cierto, no son pocas las voces que apuntan que se debería dar toda la Aritmética elemental con calculadora…
En cualquier caso, un debate muy pertinente como siempre, Pedro.
En este punto estamos atascados, en efecto. Está claro que muchos alumnos no entienden la propiedad distributiva. La pregunta es si no la pueden entender por una cuestión de desarrollo cognitivo, o si el problema está en el planteamiento. Puede ser verdad que a veces se precipitan los aprendizajes, pero en este caso concreto yo me inclino porque el problema está en el planteamiento de la multiplicación, centrado en las tablas, aprendidas de forma mecánica, y en el algoritmo .
Sobre la calculadora en la aritmética, otro tema en el que estamos atascados, en efecto. Habría que precisar qué se quiere decir cuando se afirma que hay que estudiar la aritmética elemental con calculadora. Es evidente que en nuestras aulas de primaria se hacen demasiados cálculos tradicionales, pero en mi opinión una de las herramientas básicas para adquirir sentido numérico es saber hacer *cierto tipo* de cálculos, y el sentido numérico es casi imprescindible para adentrarse en las matemáticas más avanzadas.