El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: https://goo.gl/ikzZ1q y http://goo.gl/LBTq1h (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).
No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.
Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!
Por supuesto que la calculadora «moderna» es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
Hola Pedro:
Te leo desde hace un tiempo, pero esta vez no me resisto a dejar un comentario. En las JAEM celebradas en Cartagena a comienzos de este mes, presenté un taller titulado «¿Nos puede ayudar la calculadora científica en nuestra labor de enseñar matemáticas?».
Al igual que comencé el taller, te haría una pregunta, ¿es buena la escopeta? YO creo que la calculadora ni es buena ni es mala, no es mas que una herramienta. Lo que es buena o mala es la «utilización» que hagamos de ella
Pues gracias por el seguimiento, Goyo, y espero que este sea el primer comentario de una larga lista …
Estoy de acuerdo: no hay herramientas buenas o malas en sí mismas, todo depende de cómo se usen. Pero un matiz: hay herramientas que son más fáciles de usar de forma positiva, y otras menos. Volviendo a mi entrada: ¿cómo harías buen uso de una calculadora como la que muestro en la entrada, es decir, una calculadora que te contesta con la escritura completa del algoritmo tradicional de la división (el comprimido, además)? Supongo que todo es posible, no digo que no, pero no me parece evidente …
En esta ocasión también coincido contigo. Yo creo que es suficiente ( por ejemplo de cara a comprobar la validez de nuestros cálculos ) con que no indicase que el resultado de la división es un cociente de 2675 y queda un resto de 173,
Es como les digo a mis alumnos, la calculadora te da el resultado que yo ya sabia desde un comienzo, tu tienes que mostrarme el camino que has utilizado para llegar a ese resultado. Que es justo lo que no te muestra la calculadora que nosotros utilizamos. Bueno, con mis alumnos de los primeros cursos de la eso le llamamos, COMPROBADORA 😉
Llevado al extremo, como si quiere el alumno dibujar grupitos de 325 bolitas, hasta llegar a completar los 869568 que le pido. QUe está claro que esa es la idea implícita en el ejercicio ( lo que el debe de ver) pero también está claro que ese no es un camino digamos muy eficiente
Hola, Goyo. Asistí a tu taller y me gustó mucho cómo utilizas la calculadora para enseñar a pensar matemáticamente. Creo que en el caso que comenta Pedro el problema no es la calculadora, sino el hecho de que se siga insistiendo en dar protagonismo en la enseñanza a este tipo de algoritmos. Por cierto y ya que se ha mencionado: cuánto daño hace lo de descomponer sistemáticamente con el palito. Muchos alumnos lo ponen incluso para factorizar números como el 10 o el 6 o hasta los primos, lo que demuestra que no tienen ni idea de lo que están haciendo.
Hola Elena. Primero muchísimas gracias por tus palabras.
En cuanto al comentario dos apuntes. Primero, no me parece mal que se enseñe el algoritmo tradicional, es otro posible camino. Lo que me parece nefastobes que se enseñe solo esa posibilidad de trabajar, y es mas, se exija su utilización. Es como comentaba en el taller, para que es la descomposición en factores, para hallar el M.C.D.? Y si me resuñta mas facil el algoritmo de Euclides o el de Aitor? No está resolviendo bien el problema?
Y en cuanto al palito tienes toda la razón, y diria mas, que piensan los alumnos ( yo también tengo de estos ) que para calcular luego el M.C.M. vuelven a descomponer los números? Como les suelo preguntar. Que pasa, te sobra tiempo o crees que puede cambiar la descomposición?
NaCl U2 Yo!
Goyo: la enseñanza de los algoritmos tradicionales no es mala en sí misma, desde luego. El problema es que, por sus propias características, los algoritmos tradicionales no son fáciles de entender (sobre todo cuando su aprendizaje se precipita). Esto hace que el aprendizaje consuma una gran cantidad de tiempo, sobre todo si queremos hacer aritmética con números realmente grandes. Más importante: dificultan otro tipo de aprendizajes, como resulta evidente cuando intentas que un alumno haga algo de «cálculo mental».
Algo parecido a eso es lo que les cuento a los alumnos cuando damos la propiedad distributiva. ¿Para que se les enseña? ¿Para hacer los siguientes 30 ejercicios, que no son mas que aplicación directa de la propiedad?
NO, es para que puedan utilizarla y hacer mas sencillo el cálculo mental.
Pero si nadie se lo cuenta no lo ven, y ya tienen otra nueva cosa mas para aprender de memoria sin entender realmente su autentica utilidad.
Como les suelo decir, no os fiéis del libro de mate, que de lo que está lleno es de trampas, no solo de problemas 😉
Sí, y lo malo es que la mayoría se acostumbran a esa forma cuadriculadita de aprender matemáticas y luego es tan difícil sacarles de ahí. Yo siempre digo que a veces preferiría que supieran menos cosas. Por ejemplo, la fórmula de la ecuación de segundo grado en 2° de ESO sin que hayan tenido oportunidad de jugar de verdad con las ecuaciones. Luego ya no hay manera de que busquen formas propias de resolverlas.
Ahí está la clave Elena. En tener ganas de aprender. Y en enseñarles la mayor cantidad posible de caminos, para que cada uno encuentre el suyo.
¿Conoces como resolver la ecuación de segundo grado con regla y compás?
Y volviendo a las calcus modernas, has resuelto el problema que planteé en el taller de encontrar la ecuación de la parábola que pasa por tres puntos, como por ejemplo (1; -1), (3; 5) y ( 0,5 ;- 0,3)
NaCl U2 Yo!