¿”veces” o “multiplicado por”?

Desde que escribí esta entrada sobre la multiplicación me quedé con la intriga de por qué en muchos países de habla inglesa 3\times 4 se lee “three times four” y sin embargo la forma más extendida de las tablas de multiplicar parece ser esta.

Hace unos días, de visita en un colegio, tuve la ocasión de participar en una conversación bastante curiosa sobre el tema. El colegio imparte matemáticas en inglés, y tienen un encargado de las matemáticas de primaria británico. Nos estábamos entendiendo perfectamente, la visión que tenemos de en qué deben consistir las matemáticas de primaria es bastante coincidente. Le estaba mostrando algunos ejemplos de mi libro de 1º, y sus comentarios eran positivos. Sin embargo, al llegar a la página de la figura cambió su gesto, y musitó un inconfundible “I don’t like that“. Así que nos enredamos en un animado debate sobre cómo escribir “three times four” o, equivalentemente, cómo interpretar 3 \times 4.

times-multiplied-by

Resulta que a pesar de leer la expresión 3 \times 4 como “three times four”, la interpretaba como 3 + 3 + 3 + 3, es decir, igual que leyendo “tres multiplicado por cuatro” y con el cuatro, por tanto, de multiplicador. Cuando le pregunté por el tema, y si no era cierto que “three times four” tiene en inglés un significado muy claro, su respuesta fue que sí, pero que en matemáticas se interpretaba de la otra forma.

Creo que no se ha estudiado lo suficiente este tema, y el hecho de que “3 veces 4” sea igual a “4 veces 3” no quiere decir que una interpretación diferente a la del lenguaje usual no cause problemas. O que, ya en nuestro país, el “3 por 4”, que no tiene significado para el niño que empieza el estudio de la multiplicación, sea el enfoque mas conveniente.

Estoy convencido de que el uso de “veces” tiene muchas ventajas. Además de lo obvio, que “3 veces 4” tiene, de entrada, un significado claro sobre el que se puede trabajar, dos ejemplos muy concretos sobre dificultades relacionadas con el “multiplicado por”:

  1.  el “doble de 6” es, evidentemente, 6 + 6. En los libros se introduce como 2 \times 6. Ningún problema si esto lo leemos como “2 veces 6”. Pero nada encaja si esto lo hemos introducido como “2 multiplicado por 6”, que debería ser 2+2+2+2+2+2.
  2. cuando llegan las fracciones, uno de los puntos fundamentales es dar sentido a la expresión 3/4 \times 20, interpretándola como “3/4 de 20”. Para ello, muchos libros recurren a un apartado donde presentan “la fracción como operador”. Sin embargo, el papel del 3/4 en esta expresión es exactamente el mismo que el del 2 en el apartado anterior. Pensemos en lo natural que sería pasar de “dos veces seis”, escrito como 2 \times 6 a “media vez seis”, escrito como 1/2 \times 6.
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16 pensamientos en “¿”veces” o “multiplicado por”?

    • En efecto, así es. Ya resulta raro leer 3 \times 4 como “three four times. Pero leer “three times four” e interpretar “three four times” me parece muy, muy artificial. ¿Luego nos extrañamos de que la multiplicación cause dificultades, y que los problemas cause conflictos?

  1. Me da la impresión de que el británico no se ha cuestionado el verdadero significado de la frase porque la tradición histórica le hace dar por hecho su significación.
    Dar clase de matematicas no garantiza su conocimiento en profundidad ni la importancia de los matices, da igual cual sea el idioma que hables o el lugar de nacimiento.
    Yo estoy absolutamente de acuerdo contigo Pedro.
    Y el currículo de primaria de la comunidad canaria apunta contundentemente en esa línea.

    • Lo que no entiendo es lo del “verdadero significado de la frase” cuando es algo tan sencillo (desde el punto de vista del lenguaje usual), como “three times four”. Yo creo que es un poco más sutil, y que estamos ante una manifestación de un curioso fenómeno que se observa con cierta frecuencia en los alumnos, cuando dan una respuesta a un problema que es claramente imposible. Creo que se da una especie de desconexión entre los mecanismos mentales de “hacer matemáticas” y los del “sentido común”, o el lenguaje usual.

      ¿Me puedes enviar la referencia del currículo canario? Me gustaría ver cómo lo plantean.

  2. Hola Pedro, ya sabes que me encanta este tema, en una conversación reciente con una alumna de una escuela británica (que ahora estudia matemáticas) me contó que ella usaba indistíntamente “3 times 4” con el uso que puedes imaginar y “3 multiplied by 4” como 3+3+3+3, siendo este último el que había aprendido en primaria… además no recordaba si le habían contado que eran equivalentes o lo había deducido ella y en todo caso “era la propiedad conmutativa”, lógicamente había hecho la equivalencia mental y le daba igual lo uno que lo otro.
    Por otra parte, en una formación que hice en Durango el otro día les entusiasmó la posibilidad de “darle la vuelta” a las tablas de multiplicar ya que en euskera utilizan regularmente el “veces” para multiplicar y les parecía muy razonable. Apunta un idioma más (llevamos Francés, Alemán, Euskera e Inglés, aunque este último ahora con dudas).

    • Estupendo, añado el euskera … Pero fíjate que, en francés, aunque usan “fois”, dicen las tablas como nosotros. Al menos, es lo que me encontré en la minimuestra de youtube (tres casos de tres vistos).

      Yo también he planteado el tema en algún minicurso con maestros, y al menos han terminado conscientes del problema.

      Sobre la alumna que comentas, es justo ese uso indistinto, una vez que hemos llevado la propiedad conmutativa a la “placa base” lo que puede hacer que el problema para el niño que empieza con la multiplicación nos pase desapercibido.

    • Me quedé dándole vueltas al tema de los maestros y el euskera … Una conjetura razonable: es posible que fueran especialmente receptivos a la idea de cambiar el orden en las tablas porque quizá muchos de ellos no estudiaron primaria en euskera, y por tanto pueden pensar en las tablas sin la “barrera cognitiva” del aprendizaje memorístico de la infancia …

  3. Creo que leer con “veces” es posible pero siempre y cuando no confundamos el multiplicando y el multiplicador y en este sentido hacerlo de derecha a izquierda. Decir 2 veces 6, no es lo mismo que decir 6 veces 2. Aunque el resultado sea el mismo. Nunca debemos olvidar que la multiplicación es lo que es, una suma sucesiva y no es lo mismo 6+6 , que 2+2+2+2+2+2. En este sentido el “Por” lo que refleja es esto mismo. 2 x 6, es decir 6 veces 2. Cuidado con esto ya que podria confundir a un niño para futuras operaciones como puedan ser las potencias, las franciones, etc… Creo yo. Un saludo

    • Bueno, eso de “la multiplicación es lo que es” tiene sus matices. En efecto, es lo que es, pero cómo se escribe es un convenio y, como todo convenio, arbitrario. El acuerdo en nuestro país es interpretar 2×3 como 2+2+2, pero esto no es universal. El revuelo del examen que ha dado lugar a esta polémica tiene su origen en el Common Core, la reforma curricular en EEUU, que opta por interpretar 2×3 como 3+3. Que yo sepa, en Alemania también es ese el convenio, y pasa lo mismo en Singapur.
      Desde mi punto de vista, la pregunta interesante es qué es más adecuado desde el punto de vista didáctico, porque lo que más me interesa es que opción hace más accesible al niño la comprensión de la operación. Le veo varias ventajas a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):
      1 – el niño entiende desde el principio lo que está haciendo
      2 – la propiedad distributiva es mucho más natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
      3 – encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6.
      4 – esto mismo pasa en las fracciones, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
      Es muy posible que esta opción tenga algún inconveniente, pero yo no se lo he encontrado.
      Por último: por supuesto que se podría seguir usando el “por”, sería suficiente leer 3×5 como 5 multiplicado por 3 🙂

    • Me olvidaba otra razón:
      5 – en el álgebra, en expresiones como 2x, el multiplicador se pone a la izquierda. Muchos alumnos tienen dificultades con el álgebra porque no llegan a entender que es simplemente extender la aritmética al cálculo “con letras”. Y es que quizá les cambiamos algunas cosas que se convierten en chinitas en el camino.
      Creo que la lista ya es suficientemente larga como para recopilarla en una próxima entrada.

  4. Exacto Pedro, el álgebra es otra razón más, son muchos los que no consiguen entender que 2X sea el doble de algo, también habría que preguntarse porqué se adopta el punto (ingleses mantienen el aspa) si luego va a suprimirse. Otro convenio que no tengo para nada claro.

  5. Sobre la necesidad del punto para la multiplicación no he pensado, la verdad. Lo que sí es cierto es que el cambio del aspa al punto al pasar de primaria secundaria es demasiado brusco en España. Siempre se habla (con razón) de la necesidad de hacer un poco más suaves las transiciones de etapa, y aquí hay un tema bien sencillo de arreglar. Lo que hacen en el libro de 1º de secundaria de Singapur es introducir gradualmente el punto para la multiplicación, alternando las dos notaciones.

    • Las disposiciones en cuadrícula, puntitos o lo que sea, me parece la mejor opción para justificar la propiedad conmutativa, al menos para niños de 7-8 años. Pero no hace falta girar nada: se trata simplemente de contar por filas, o contar por columnas. De hecho, se trata de la primera aplicación de un principio muy potente en combinatoria: el doble recuento.

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