Los algoritmos tradicionales – La división (II)

La última entrada la dediqué por completo al debate algoritmo extendido – algoritmo comprimido. Quedó pendiente otro comentario de David, que me parece incluso más relevante:

Si queremos defender los algoritmos tradicionales (nosotros los defendemos, lo que atacamos es su introducción prematura) su presentación se tendria que “construir” en un “ambiente de resolución de problemas” empezar por algoritmos extensos y a partir de simplificaciones llegar al estándar.

Elegir adecuadamente el momento en que se introduce un algoritmo es fundamental, y estoy completamente de acuerdo en que casi siempre se hace de forma prematura. La práctica usual en nuestros colegios es comenzar con el algoritmo de la suma, y cuando se ha trabajado hacer, como aplicación, problemas con sumas. Y lo mismo se repite con el resto de algoritmos de la aritmética básica. Si tuviera que elegir, creo que este me parece el error más grave en nuestra enseñanza de las matemáticas básicas, y no por casualidad le dediqué al tema la primera entrada de este blog. Voy a permitirme repetir aquí la idea principal: estoy convencido de que el origen de la frase más escuchada cuando se empiezan a trabajar problemas, el “no entiendo el problema”, tiene su origen en que no entienden el algoritmo correspondiente: el algoritmo de la suma en columnas, tal y como se suele presentar (y para esto da igual si las llevadas se justifican adecuadamente o no), tiene poco que ver con la idea intuitiva de contar la unión de dos colecciones de objetos. Me parece esencial que los niños trabajen primero los problemas, y presentar después los algoritmos.

Sería importante que nos acostumbráramos a una precisión terminológica, y a que diferenciáramos las expresiones “saber dividir” y “conocer el algoritmo de la división”: un niño de 5 años, que tiene 6 caramelos y quiere repartirlos por igual entre 3 de sus amigos, encontrará con seguridad una estrategia para hacerlo. Por tanto, al menos en cierto sentido, sabe dividir. Otra cosa es que necesite ir desarrollando estrategias que le permitan manejar números mayores. Es esencial que los niños trabajen, ya desde el primer curso de primaria (y mucho mejor si es antes de haber empezado con ningún algoritmo) problemas variados. Por ejemplo, se podrían plantear en clase problemas como estos:

  • Miguel ha llevado al cole 3 caramelos, Luisa 4 y Ramón 5. En el recreo se comen 2 caramelos cada uno, y el resto se lo dan a María. ¿Cuántos caramelos se come María?
  • Ricardo tiene 10 euros. Le da la mitad a su amigo José, 3 euros a su amiga Luisa, y el resto a su amigo Juan. ¿Cuánto dinero le da a Juan?
  • He comprado 3 bolsas de chuches, y en cada bolsa hay 4 regalices. ¿Cuántos regalices tengo en total?
  • Quiero repartir mis 12 euros entre mis 3 amigos. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?

Por supuesto, para un niño de 6 años se trata de auténticos problemas, que habría que trabajar con calma: quizá en grupos, quizá con alguna indicación del profesor cuando hiciera falta. Para un niño que trabaja desde el principio de esta forma es mucho más sencillo ir desarrollando e integrando progresivamente los algoritmos necesarios para trabajar con números según éstos se van haciendo mayores.

Para terminar, voy a atreverme a hacer una propuesta concreta para el algoritmo de la división:

  • durante el primer ciclo de primaria, se deberían trabajar problemas como los mencionados anteriormente, incluyendo por supuesto conceptos como mitad, tercio, cuarto.
  • durante el segundo ciclo, y conforme se introduce la multiplicación, el tamaño de los números va aumentando. Un niño que ya sabe multiplicar puede plantearse el problema de repartir 170 “lo que sea” entre 9 “lo que sea”. Y explorar distintas alternativas para hacer este cálculo tiene un valor formativo enorme.
    Creo que, hasta este punto, al 100% de acuerdo con lo que sugería el comentario de David.
  • en el tercer ciclo (y, desde mi punto de vista, no antes), se podrían empezar a introducir algoritmos para la división. ¿El estándar, ABN, otros? Mi opinión: no lo tengo claro. Y esto no es una forma diplomática de discrepar del comentario de David. Digo simplemente que no lo tengo claro, y que para poder formarme una  opinión tendría que ver antes de qué serían capaces los niños que llegaran al tercer ciclo, si durante los dos primeros se hubieran dedicado a las tareas propuestas anteriormente.

Los algoritmos tradicionales – La división

El propósito de esta entrada es continuar con la reflexión del comentario de David Barba a mi entrada anterior. Creo que han quedado planteados varios temas muy interesantes. Decía David en su comentario:

¿cuál és el algoritmo estándar el que hacemos en nuestro país, o el que incorpora las restas parciales escritas en el papel como en la mayoría de países del mundo y que és mucho más transparente (por menos comprimido) que “el nuesto”?

Coincido plenamente. Entre esos dos algoritmos, el “extendido” me parece mucho mejor. Supongo que está claro de qué estamos hablando. Por si acaso, he puesto un ejemplo en la figura. En la razón de la preferencia, también coincidencia total: al ser más explícito, es más fácil entender qué se está haciendo, y no olvidarlo con el tiempo.

algoritmos-division

Creo que merece la pena añadir varios comentarios:

  • no conozco estudios al respecto, pero mi impresión es que el “usual” sigue siendo el de uso generalizado. Ya tengo en la agenda el tema para las próximas prácticas. Si consigo que 100 alumnos se interesen por el algoritmo de la división que se usa en el colegio al que van de prácticas, creo que la muestra empezará a tener algún valor. De momento, sólo comentarios parciales. En la mayoría de los casos, ni se contempla la posibilidad del extendido. Simplemente, siempre se ha usado el otro. En algún caso, aún reconociendo que el algoritmo extendido era más adecuado para empezar, la maestra me comentó que había dejado de empezar con él, porque luego a los chicos les costaba pasar al otro.
  • las anécdotas tienen el valor que tienen, pero esta me parece significativa: hace unos años, mi hija mayor llegó a casa diciendo: “papá, no he entendido lo que hemos hecho hoy en el cole”, y allí tenía, delante de mí, una división con divisor de 2 cifras. Por supuesto, no recordaba cómo se hacían, y también por supuesto no podía permitirme decírselo a mi hija de 8-9 años. A esa edad, que un padre matemático confiese tal cosa no habría sido muy indicado … Total, que me lancé a intentar dividir, y lo que me salió fue exactamente el algoritmo extendido. La división estaba bien, y mientras respiraba con alivio, escuché: “No, en el cole no lo hacemos así”. Y bueno, tras empezar a escuchar qué tipo de cosas hacían en el cole, se activó la conexión neuronal correspondiente, y recordé el algoritmo “usual”. No creo haber estudiado en mi EGB ese algoritmo extendido. Creo que fue lo que me salió simplemente porque es lo natural. Este fue uno de mis momentos ¡ajá! sobre educación matemática, y fue quizá donde empecé a descubrir la importancia de que los algoritmos sean “transparentes”, como dice David. Personalmente, a mi me gusta el término “significativos”, porque creo que concuerda muy bien con el significado de este término en teoría del aprendizaje.
  • como dice David, el algoritmo extendido es el usado en la mayoría de los países, con excepción quizá de algunos hispanoamericanos. Estaría encantado de recibir información de nuestros lectores hispanoamericanos. Creo que la pregunta surge de forma natural: ¿por qué, en esto también, Spain is different? Me parece una pregunta muy interesante. Hace unos años leí que en otros países el algoritmo de la división (el extendido) no podía dar el paso necesario para coincidir con el nuestro, por culpa del algoritmo de la resta; es verdad que si en el algoritmo de la resta las llevadas se hacen en el minuendo (lo cual es, por otra parte, lo natural), es más complicado pasar al algoritmo “comprimido” de la división. Pero claro, esto no hace más que cambiar la pregunta: ¿por qué el algoritmo de la resta que usamos en España es diferente al utilizado en la mayoría de los países? Mi hipótesis es que la flecha va justo en sentido contrario: precisamente para poder comprimir el algoritmo de la división, nuestro algoritmo de la resta tradicional toma nota de las llevadas en el sustraendo. Como digo, es sólo una hipótesis. Si algún lector conoce alguna investigación en “historia de la educación matemática” que trate este problema, estaría encantado de leer sobre el tema.

Tenía claro que el comentario de David tenía que contestarlo en una entrda, pero parece que van a ser dos. El tema que planteaba sobre cómo construir los algoritmos lo trataré en la próxima entrada, me parece clave. Termino hoy con su última observación:

¡Será porque escuelas que quieren tener prestigio de “buenas” adelantan los contenidos en matemáticas un curso y esto marca línea?

Totalmente de acuerdo, creo que ese es el origen de la mayoría de los problemas. Nos gustan las apariencias. Ya comenté en la entrada sobre la educación infantil ese fenómeno: los colegios que, para darse nivel, adelantan la suma (el algoritmo tradicional, la suma en columnas) al final del ciclo de infantil. En general, el sistema presiona en dirección a la cantidad, no a la calidad. Pensemos en dos niños que vienen del colegio: uno con 30 cuentas y 10 fichas, y otro que nos dice que estuvieron casi toda la clase pensando. ¿Cómo reaccionaríamos?

Arithmetic for parents

He descubierto hace poco un libro que considero del máximo interés. Un matemático israelí, Ron Aharoni, con amplia experiencia en investigación, se dedica durante 6 años, a tiempo completo, a enseñar matemáticas de primaria en un colegio público. En el libro cuenta sus experiencias y, sobre todo, la visión de las matemáticas elementales que elaboró después de las muchas horas de trabajo y reflexión invertidas en la experiencia. Creo que la visión que proporciona es imprescindible para cualquiera relacionado con la enseñanza de las matemáticas, y para cualquier matemático que quiera descubrir cómo de profundo puede ser el mundo de la matemática elemental. El libro fue originalmente escrito en hebreo, y la edición inglesa puede encontrarse, por ejemplo, aquí.  La Academia de Ciencias Chilena lo ha editado recientemente en castellano (Aritmética para padres y madres), y espero que no tardemos mucho en conseguir que exista una edición a la venta en España.

El álgebra y la energía fotovoltaica

De acuerdo, admito que esta vez me he dejado llevar por la tentación del título llamativo. Prometo no abusar del recurso. Pero es que creo que realmente hay una conexión entre como en España estamos tratando estos dos temas. En la figura se puede ver la evolución de la cifra total de MWh de energía solar fotovoltaica en funcionamiento en Alemania y en España, entre los años 2002 y 2011 (los incrementos corresponden, por tanto, a la cantidad instalada cada año). La escala vertical es distinta, pero lo que me interesa es observar lo distinta que ha sido la evolución en los dos países (y supongo que no es difícil averiguar cuál corresponde a España y cuál a Alemania).

fv-instalada-Alemania-EspañaPues bien, creo que este mismo comportamiento, caracterizado por el gusto por los extremos, aparece en muchos aspectos en nuestro país, y en particular en el tratamiento del álgebra a lo largo de la educación preuniversitaria. En muchos países, durante la educación primaria hay algún tipo de introducción al razonamiento algebraico, que generalmente es conocido como preálgebra. Pueden ser cosas muy sencillas, como por ejemplo: dada la serie 3, 5, 7, …. ¿cuál es el siguiente término? ¿Y el término que ocupa el 10º? ¿Y el término que ocupa el lugar n? Estas preguntas ayudan a que los chicos empiecen a pensar despegándose un poco de un número concreto.

En España no se trabajan situaciones de este tipo en la enseñanza primaria, y el álgebra llega, de golpe, normalmente en 1º de secundaria. Y llega “a lo grande”, con toda su terminología. Aparecen los monomios, con su parte literal, los monomios semejantes y cuándo se pueden sumar y cuándo no. Por supuesto, es imposible que un estudiante entienda nada. Lo máximo a lo que podemos aspirar es a que manejen correctamente las técnicas, y que empiecen a entender con el uso. Pero esto es un paso en la dirección equivocada, porque introduce el álgebra como un nuevo mundo, con nuevas y extrañas reglas, cuando se debería presentar como la extensión natural de la aritmética. De esta manera, muchos de los alumnos nunca llegan a dominar ni las técnicas, ni mucho menos el razonamiento algebraico.

Si hiciéramos un estudio de la “cantidad de álgebra” (por ejemplo, el número de letras en expresiones matemáticas) que aparece en nuestros libros, a lo largo de los diferentes cursos, creo que la gráfica se parecería bastante a la de la derecha, en tanto que en los casos de otros países, el aspecto sería más parecido a la gráfica de la izquierda. Un ejemplo: en este enlace he puesto un par de fotocopias del tema de potencias. El ejemplo español corresponde a un libro de 2º de la ESO; el otro corresponde a un libro de 3º de educación secundaria de Singapur. En los dos países la educación primaria son 6 cursos, y arranca a los 6 años, de manera que el libro de Singapur corresponde a un año posterior. Quizá esté un poco obsesionado con el tema, y me encantaría leer vuestras opiniones, pero me parece que los ejercicios de Singapur están mejor pensados para ayudar a que el alumno entienda los conceptos básicos.

El álgebra es un tema importante, y volveré sobre él, pero quiero terminar hoy con un par de observaciones sencillas, que creo que facilitarían el paso de la aritmética al álgebra.

  • en el tercer ciclo de primaria, lo más usual es recurrir siempre a los decimales, y al cálculo aproximado, hasta el punto de que si le presentamos a un alumno la expresión   14 \pi   como solución de un problema que pide la longitud de una circunferencia, seguramente nos encontremos con la respuesta “pero el problema no está terminado” o “pero eso no es un número”. Por supuesto, se debe trabajar a veces con la aproximación decimal de  \pi (o de cualquier otro número), pero también se debería cuidar el trabajo con aritmética exacta. Si un alumno está familiarizado con calculos como  2 \pi - \frac{\pi} {2} = \frac{3\pi}{2} tendrá después mucho más fácil el comienzo de los cálculos algebraicos.
  • es fundamental que los alumnos, durante la primaria, entiendan bien el significado del símbolo ” = ”   (a mi amiga Belén Palop le debo la primera referencia sobre la importancia de este hecho – no pretendo que hayamos descubierto nada: una vez localizado el problema, ya he visto que esta dificultad de aprendizaje aparece en bastantes trabajos de didáctica de las matemáticas). Antes de llegar al álgebra (en concreto, a las ecuaciones), se suele obviar el carácter simétrico del signo ” = “. El significado es casi siempre “el término de la izquierda produce el de la derecha”. Un síntoma evidente de esto es cuando vemos que un alumno escribe  3 + 5 = 8 + 7 = 15 . Está claro que un alumno que usa el símbolo ” = ” de esta forma tendrá serios problemas con las ecuaciones algebraicas. Hay varias estrategias para resolver esta dificultad de aprendizaje, pero la más sencilla (la descubrí en los libros de primer ciclo de Singapur) es alternar, desde el principio, los típicos ejercicios como 3 + \square = 8 con otros como 7 = \square + 5 .