De acuerdo, admito que esta vez me he dejado llevar por la tentación del título llamativo. Prometo no abusar del recurso. Pero es que creo que realmente hay una conexión entre como en España estamos tratando estos dos temas. En la figura se puede ver la evolución de la cifra total de MWh de energía solar fotovoltaica en funcionamiento en Alemania y en España, entre los años 2002 y 2011 (los incrementos corresponden, por tanto, a la cantidad instalada cada año). La escala vertical es distinta, pero lo que me interesa es observar lo distinta que ha sido la evolución en los dos países (y supongo que no es difícil averiguar cuál corresponde a España y cuál a Alemania).
Pues bien, creo que este mismo comportamiento, caracterizado por el gusto por los extremos, aparece en muchos aspectos en nuestro país, y en particular en el tratamiento del álgebra a lo largo de la educación preuniversitaria. En muchos países, durante la educación primaria hay algún tipo de introducción al razonamiento algebraico, que generalmente es conocido como preálgebra. Pueden ser cosas muy sencillas, como por ejemplo: dada la serie 3, 5, 7, …. ¿cuál es el siguiente término? ¿Y el término que ocupa el 10º? ¿Y el término que ocupa el lugar n? Estas preguntas ayudan a que los chicos empiecen a pensar despegándose un poco de un número concreto.
En España no se trabajan situaciones de este tipo en la enseñanza primaria, y el álgebra llega, de golpe, normalmente en 1º de secundaria. Y llega «a lo grande», con toda su terminología. Aparecen los monomios, con su parte literal, los monomios semejantes y cuándo se pueden sumar y cuándo no. Por supuesto, es imposible que un estudiante entienda nada. Lo máximo a lo que podemos aspirar es a que manejen correctamente las técnicas, y que empiecen a entender con el uso. Pero esto es un paso en la dirección equivocada, porque introduce el álgebra como un nuevo mundo, con nuevas y extrañas reglas, cuando se debería presentar como la extensión natural de la aritmética. De esta manera, muchos de los alumnos nunca llegan a dominar ni las técnicas, ni mucho menos el razonamiento algebraico.
Si hiciéramos un estudio de la «cantidad de álgebra» (por ejemplo, el número de letras en expresiones matemáticas) que aparece en nuestros libros, a lo largo de los diferentes cursos, creo que la gráfica se parecería bastante a la de la derecha, en tanto que en los casos de otros países, el aspecto sería más parecido a la gráfica de la izquierda. Un ejemplo: en este enlace he puesto un par de fotocopias del tema de potencias. El ejemplo español corresponde a un libro de 2º de la ESO; el otro corresponde a un libro de 3º de educación secundaria de Singapur. En los dos países la educación primaria son 6 cursos, y arranca a los 6 años, de manera que el libro de Singapur corresponde a un año posterior. Quizá esté un poco obsesionado con el tema, y me encantaría leer vuestras opiniones, pero me parece que los ejercicios de Singapur están mejor pensados para ayudar a que el alumno entienda los conceptos básicos.
El álgebra es un tema importante, y volveré sobre él, pero quiero terminar hoy con un par de observaciones sencillas, que creo que facilitarían el paso de la aritmética al álgebra.
- en el tercer ciclo de primaria, lo más usual es recurrir siempre a los decimales, y al cálculo aproximado, hasta el punto de que si le presentamos a un alumno la expresión
como solución de un problema que pide la longitud de una circunferencia, seguramente nos encontremos con la respuesta «pero el problema no está terminado» o «pero eso no es un número». Por supuesto, se debe trabajar a veces con la aproximación decimal de
(o de cualquier otro número), pero también se debería cuidar el trabajo con aritmética exacta. Si un alumno está familiarizado con calculos como
tendrá después mucho más fácil el comienzo de los cálculos algebraicos.
- es fundamental que los alumnos, durante la primaria, entiendan bien el significado del símbolo » = » (a mi amiga Belén Palop le debo la primera referencia sobre la importancia de este hecho – no pretendo que hayamos descubierto nada: una vez localizado el problema, ya he visto que esta dificultad de aprendizaje aparece en bastantes trabajos de didáctica de las matemáticas). Antes de llegar al álgebra (en concreto, a las ecuaciones), se suele obviar el carácter simétrico del signo » = «. El significado es casi siempre «el término de la izquierda produce el de la derecha». Un síntoma evidente de esto es cuando vemos que un alumno escribe
. Está claro que un alumno que usa el símbolo » = » de esta forma tendrá serios problemas con las ecuaciones algebraicas. Hay varias estrategias para resolver esta dificultad de aprendizaje, pero la más sencilla (la descubrí en los libros de primer ciclo de Singapur) es alternar, desde el principio, los típicos ejercicios como
con otros como
.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
Algo similar me sucedió una vez… Un alumno me dijo que raíz cuadrada de 6 «había que resolverlo»… Que esa no era la respuesta final… Es como si creyeran que el símbolo de la «raíz» representa una operación que debe ser «resuelta» obligatoriamente, sin pensar en que la forma más cómoda de representar ese número, o la respuesta en este caso, es así mismo. Creo que razonó un poco cuando le dije que escribir el número en su forma decimal y de forma exacta era imposible…
Tienes razón, pero mi comentario va un poco más allá: que entiendan que el número «raíz de dos» o el número pi, o el número … existen con independencia de sus aproximaciones decimales, es algo que les prepara para el razonamiento algebraico: que una letra, la «x», va a representar un «número genérico».
Lo de los verbos es increíble… «resolver un polinomio», «calcular pi», «hallar una ecuación»… Por cierto, lo de operar con pi en primaria me parece crucial. Yo en 1º de ESO nunca les hago hacer la operación con decimales (menudo rollazo), pero muchos otros profes sí. Les obligo a hacerlo a cabeza pensando en tartas (por lo de pi… «pai») y lo hacen estupendamente. Además, aprenden que 4pi + 3 es eso, 4pi + 3, pero 4pi·3 es 12pi. Luego asumen el álgebra de una forma mucho más natural (explico este cacho de geometría antes que la introducción al álgebra, pero eso me cuesta peleas a veces).
La verdad es que hasta hace poco no había pensado en este tema: me he dado cuenta al ver cómo operaban con «pi» mis estudiantes de magisterio. Y me alegro de que tu experiencia corrobore mis impresiones. Eso sí: me temo que de nuevo estamos en minoría.
Menuda diferencia en los ejercicios de España y Singapur para el tema de potencias, se ve claramente que en España se trata de aplicar reglas y en Singapur te obligan a pensar!
Exacto. No he tenido tiempo de hacer una comparación exhaustiva, pero cada vez que miro algo mi diagnóstico es parecido. Ya estoy convencido de que la diferencia en los resultados entre Singapur y España depende, esencialmente, del enfoque de la enseñanza de las matemáticas.
Hola Pedro, estoy intrigado con la forma en que comentas que en Singapur presentan las matemáticas escolares. ¿como puedo conseguir esa información? Gracias.
Los libros de Singapur están a la venta en http://www.mathsnoproblem.co.uk
En un privado te mandaré alguna muestra, me interesa tu opinión sobre el tema.
Con respecto a las potencias, es cierto que (por lo que me he encontrado) se le da demasiada importancia a los cálculos mecánicos y a los automatismos. También es cierto que no es exclusivo de la unidad de potencias; sucede con los polinomios, el Teorema de Pitágoras, las ecuaciones… en general con todo (por eso me hace gracia cuando algún compañero que no es de Matemáticas dice que la dificultad de esta materia es la abstracción, cuando trabajamos con cualquier concepto como si no tuviese un significado). Que conste que para comparar ejercicios de potencias quizás sería más adecuado observar estos enlaces de 3º:
Exponente natural, Exponente entero, Refuerzo de exp. entero (Tampoco supone un gran avance, ya lo sé)
Respecto al uso del signo igual, reconozco mi fracaso todos estos años al intentar que comprendan las manipulaciones básicas de las ecuaciones (al estilo de Euclides). No he logrado jamás un nivel de comprensión aceptable, ni en 1º, ni en 2º ni siquiera en 3º de la E.S.O.
Finalmente (perdón por la extensión), me gustaría saber si hay alguna garantía de que en el tercer ciclo de primaria la mayoría de los alumnos pueden acometer el trabajo con \pi. Si conocieseis algún estudio sobre madurez estaría encantado de leerlo.
Muchas gracias por el comentario, me ha parecido muy interesante.
Desde luego, también en España hay unos libros mejores que otros, los enlaces que comentas me parecen mejores que el ejemplo de 2º de mi entrada.
Sobre el ágebra en la ESO, primero una aclaración: tengo claro que lo tenéis especialmente complicado, porque a las dificultades propias de la edad se añaden todos los malos hábitos que traen la mayoría de la primaria. Y una pregunta: tengo claro que si tienes un grupo en 3º al que ya le han presentado las «recetas» clásicas, va a ser imposible «reprogramarlos». Pero ante un grupo de 1º, ¿has localizado la dificultad de aprendizaje?
Sobre el tema del cálculo con \pi en primaria: desde luego, la madurez depende mucho del trabajo que se haya hecho antes, y no, no conozco ningún estudio en España sobre el tema. Lo que sí sé es que esto se hace en otros países, a ese nivel, y desde luego estoy convencido de que es un requisito previo para el álgebra. En otras palabras: entender que una letra puede puede simbolizar un número concreto, y extender la aritmética a las expresiones correspondientes, me parece un paso previo a entender que una letra puede simbolizar un número genérico.
Sobre el tema de calcular con \pi, antes olvidé comentarte que te puede interesar la respuesta de Lola, un poco más arriba.
En el trabajo en 1º de ESO puedes encontrar casi todos los escenarios posibles en cuanto al trabajo de números enteros y ecuaciones en el colegio: no ver ninguno de los dos temas, ver enteros y no ecuaciones y ver los dos (hasta el momento no he visto el otro caso-menos mal). (Una curiosidad: el hecho establecido desde la LOGSE de organizar los distintos cursos de modo paralelo en los mismos bloques, Aritmética, Álgebra, Geometría,… tiene el efecto perverso de que,cuando comienzas otro curso más por Aritmética, los alumnos tienen la falsa impresión de que todo les suena, y muchos se confían;»total, es lo de siempre»).
Creo que durante mi experiencia como profesor (9 años) solo me he encontrado en un centro al que los alumnos llegasen sin haber visto ecuaciones; pero no sirve para contestar tu pregunta, pues tampoco las dábamos nosotros en 1º, pues la habían eliminado de la programación anual debido a que la unidad de números enteros hacía estragos. Consecuentemente, el retraso de la unidad de ecuaciones provocaba que hasta 3º no se viesen las de 2º grado.
Por si quieres ver ejemplos de estas cosas, te invito a que eches un vistazo por las webs en las que colgaba fichas y exámenes hace unos años. No es que sean para estar especialmente orgulloso, pero quizás te resulten interesantes como ejemplo de trabajo cotidiano en la ESO:
Wiki 2010-11
Totalmente de acuerdo con el comentario que empiezas como «Una curiosidad …» De hecho, creo que es bastante más que una curiosidad, y que el «aprendizaje en espiral» que introdujeron con la LOGSE no ha funcionado (no me atrevo a decir si porque en sí mismo no funciona, o por cómo se ha implementado aquí, no sé lo bastante sobre teoría del aprendizaje). En mi lista de entradas pendientes tengo una sobre este tema concreto.
He echado un vistazo a la referencia de los ejercicios, y en general me parecen razonables, con una excepción: ¿por qué tantos cálculos en los polinomios? Sí, ya sé: no saben hacerlos, pero creo que a base de repetirlos, el aprendizaje que se consigue vale para poco, tenemos que encontrar la forma de darles sentido …
Pues creo que no tengo una respuesta satisfactoria a esa pregunta, Pedro. Me imagino que, tácitamente, uno se pliega al fluir de la ESO hacia el Bachillerato, para el cual la principal razón de éxito es el dominio rutinario de los algoritmos (otra razón más para el comentario que hice sobre la falsa abstracción), y al hecho de que toda la materia de Matemáticas está concebida, desde el BOE hasta el Diario Oficial de Galicia, a su objetivo propedéutico. (Otra curiosidad: he leído en algún sitio, probablemente en el Smart Brief que manda el National Council si te subscribes, que un buen índice de éxito en Algebra I es el éxito previo en las propiedades mecánicas de las potencias- quizás asumimos que la misma correlación se da entre el Álgebra y las Matemáticas de Bachillerato)
También: normalmente las dos cosas que ocupan mayoritariamente la unidad de Lenguaje Algebraico sean, por orden, repetición de algoritmos y traducción del álgebra al lenguaje natural y viceversa. Así se plasma en los ejercicios que elaboro. Y también en los habituales de los libros de texto.
Si quieres comparar, he subido al Drive una ficha de este año:
Ficha de Lenguaje Algebraico
Creo que entiendo perfectamente lo que dices: entre otras cosas, yo estuve haciendo esencialmente lo equivalente durante casi 20 años (en las asignaturas de primeros años de algunas ingenierías). Solo que, ahora que he dado un paso atrás con mi trabajo con las matemáticas elementales formando a estudiantes de magisterio, tengo un diagnóstico muy claro: este sistema no está funcionando. Si no dotamos de sentido a los cálculos – en el caso del álgebra, si no se entiende que las manipulaciones algebraicas no son más que «aritmética con letras» (y se entiende bien la aritmética, claro) -, no se produce un auténtico aprendizaje. Por poner un ejemplo claro: una parte significativa de los alumnos de un primer curso de ingeniería (digamos que alrededor de 1/3) tienen problemas para manipular con soltura una expresión como
.
Sobre el ejemplo de Drive: me gustan los dos primeros ejercicios, y los dos últimos, tengo menos clara la utilidad de los centrales. Algo hay que hacer, de acuerdo, pero yo haría más problemas y menos de esos ejercicios. Una dificultad aquí es que, si ponemos una lista de problemas, muchos alumnos no hacen nada. Algo que he visto en los libros de Singapur, y que puede ayudar a resolver esto, es poner, en *algunos* problemas, un primer apartado del tipo: «Demuestra que tal situación produce esta ecuación». De esta forma, los alumnos que no sepan deducir la ecuación también pueden hacer los siguientes apartados, con las operaciones correspondientes.