El Teorema de Bolzano

Para cumplir con el compromiso de cubrir en este blog los tres ciclos educativos, le dedicaré esta entrada a un tema de las matemáticas a nivel universitario. Y empezaré con una aclaración. A pesar de haber estado la mayor parte del tiempo dando clases a estudiantes de ingeniería (17 de un total de  20 años) debo reconocer que en este nivel mis ideas están menos claras que en lo que respecta a las matemáticas de la enseñanza primaria y la secundaria. Y creo que la razón es la siguiente: tengo una idea bastante clara de qué matemáticas debería conocer un estudiante que termina primaria y secundaria (y cómo se le deberían contar para que las haya entendido y pueda ponerlas en práctica). Sin embargo, no tengo tan claro qué matemáticas debe conocer, y cómo debe utilizarlas, un químico, un ingeniero de telecomunicación, un informático …

Por supuesto, alguna idea sí tengo en particular sobre las dos titulaciones en las que he pasado más tiempo (Ingeniería de Telecomunicación e Ingeniería Informática). Pero aún en estos casos, no es sencillo conseguir la visión general adecuada.

En todo caso, mi objetivo en este post es tratar un problema más general. Una actitud muy extendida entre los matemáticos es la siguiente: las matemáticas tienen un valor formativo intrínseco. Por tanto, si se le explican matemáticas a un ingeniero, la “estructura mental” que adquiere durante el estudio es muy útil, y esto justifica por sí solo el estudio de esta materia.

Estoy totalmente de acuerdo con esta última frase, pero en mi opinión el razonamiento es incompleto: las matemáticas serán útiles a los alumnos que las hayan entendido. Si por culpa de que los contenidos no son adecuados para la titulación, o no sabemos convencer a los alumnos de que, en efecto, sí son adecuados, o los presentamos de forma demasiado abstracta, será difícil que los estudiantes capten el valor del aprendizaje de las matemáticas. El resultado será seguramente que sólo un pequeño porcentaje de alumnos – quizá los que tengan más gusto por las matemáticas – disfrutará de las ventajas mencionadas en el párrafo anterior.

Un ejemplo concreto, para terminar (y justificar el título del post). Hace 10 años explicaba Cálculo I a estudiantes de Ingeniería de Telecomunicación, y me parecía que demostrar el Teorema de Bolzano era esencial. Encontré hace poco una cita de Henri Poincarè, y creo que en ella se explicita muy bien el problema. La traducción es mía y la cita está tomada de esta página de Morris Kline.

“Cuando un alumno empieza a estudiar matemáticas en la Universidad, tiene un concepto de fracción, una idea de continuidad, y del área de una superficie curva; considera evidente, por ejemplo, que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Si el profesor le dice: “No, eso no es evidente; debemos demostrarlo”, ¿qué pensará el infortunado estudiante? Pensará que las matemáticas son sólo una acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; quizá le disgustará, o quizá se divertirá con ello, como con un juego, y llegará a un estado mental análogo al de los sofistas griegos. ¿Se puede entender una teoría si se construye desde el principio en la forma definitiva que impone el rigor lógico? No, no puede entenderse, sólo se aprende de memoria.”

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7 pensamientos en “El Teorema de Bolzano

  1. La cita de Poincaré me parece acertada y profunda. En educación se dice siempre que hay que partir de los conocimientos del alumnado. Eso vale para cualquier nivel educativo, y también es muy difícil.
    Sin embargo estoy convencido que es uno de los tres o cuatro requisitos importantes para que el alumno pueda aprender, incluso se plantee aprender y no sólo aprobar.

    En otro orden de cosas, propongo un cuarto nivel de enseñanza – aprendizaje de matemáticas, además de primaria, secundaria y universidad: matemáticas para aficionados o forofos.
    Se trata de personas que, con independencia de su nivel de estudios matemáticos, se entusiasman con temas matemáticos.
    Más o menos, los temas a tratar (no todos se interesarían por todos los temas) aparecen en este blog:
    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es

    • Tienes toda la razón con este cuarto nivel de enseñanza. No lo había pensado pero tiene todo el sentido. He echado un vistazo al blog y me ha gustado mucho.
      Lo que pasa es que no me veo en situación de escribir sobre este cuarto nivel. Creo que tengo una visión razonable de los otros tres, por mi actividad docente en estos 20 años, pero este cuarto me resulta nuevo. Tiene que ver con la divulgación, pero no es divulgación. Pensaré sobre ello, y veré si puedo aportar algo.

  2. Pingback: Las demostraciones | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

  3. Pingback: Geometría y razonamiento (II) | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

  4. Pingback: Técnicas versus contenidos | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

  5. Discrepo diametralmente con la frase “si se le explican matemáticas a un ingeniero, la “estructura mental” que adquiere” . Soy ingeniero de caminos con más de 10 años de experiencia y en mi vida laboral jamás he usado una integral, y mucho menos un tensor o una derivada covariante; la operación más complicada que he usado profesionalmente ha sido un coseno. No me convence el manido argumento de ejercitar la mente, si se quiere ejercitar la mente es más práctico estudiar alemán o incluso ruso. Eso no quita para que , si a alguien le molan los laplacianos, pueda estudiarlo como asignatura optativa en la carrera. Digo ésto porque salimos de la carrera con carencias enormes en muchos ámbitos y nos han martirizado con cosas inútiles, en gran parte, porque al catedrático de turno le resulta más cómodo soltar el mismo rollo que hace 20 años.

    • Y tiene todo el derecho a discrepar, faltaría más. Incluso estoy de acuerdo en que hay profesores que puedan contar cosas inútiles, durante años.
      Pero yo también discrepo de su argumento de fondo: por una parte, el cálculo de integrales, o el tensorial, no es precisamente la parte de las matemáticas más adecuada para desarrollar esa estructura mental a la que me refiero; por otra, y más importante, el no haber necesitado de los conocimientos matemáticos adquiridos durante la carrera en el ejercicio profesional no significa que no haya sacado provecho de la forma de pensar que proporciona el aprendizaje matemático; por último, esa forma de pensar que proporcionan las matemáticas se desarrolla cuando se estudian de la forma adecuada, y eso obviamente dependerá de cada experiencia personal (entre paréntesis, en la entrada original ya menciono que me parece que en muchas ocasiones las matemáticas no se presentan de la forma más adecuada a los estudiantes de carreras técnicas).

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