Las demostraciones

La mayoría de los alumnos que entran en la universidad no saben distinguir cuándo se encuentran ante una demostración, cuándo ante un contraejemplo, cuándo ante la comprobación de un hecho en algún caso particular, y podríamos seguir. La causa es clara: la mayoría no se han tropezado nunca ni siquiera con un esbozo de argumento-demostración. Y la pena es que al no trabajar este tema les estamos privando de una de las competencias más importantes que les podrían aportar las matemáticas: la capacidad de razonar, argumentar, criticar, estudiar si un argumento es completo o no …

No se trata, por supuesto, de insistir en formalizar las ideas de manera prematura, ni obsesionarse con el rigor absoluto. Creo que la clave para poder trabajar este tema cuanto antes es lograr un equilibrio entre los argumentos y los hechos intuitivamente claros. Y, por supuesto, elegir muy bien las demostraciones que se van a trabajar.

¿Cuáles deberían ser las características de una demostración adecuada para primaria/secundaria? Desde mi punto de vista, las siguientes:

  1. que demuestre un hecho que no sea intuitivamente claro; de lo contrario, podemos crear el efecto del que ya hablé en esta entrada, a propósito del Teorema de Bolzano.
  2. que sea enriquecedora, en el sentido de que maneje conceptos que se están estudiando, y que por tanto ayude a entenderlos con mayor profundidad.
  3. que el alumno pueda, al menos, intentar descubrirla por sus propios medios, o con algunas indicaciones.
  4. que deje la puerta abierta a explorar variantes: generalizaciones, casos particulares, …

Por supuesto, hay algunas demostraciones que no cumplen todos estos requisitos, pero cuyo estudio me parece imprescindible, como el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º. Otras, como la demostración visual de la suma de los primeros n números impares, son totalmente recomendables. Su belleza y sencillez puede ayudar a que alguno de nuestros alumnos descubra el mundo de las matemáticas.  Pero si pensamos en un resultado cuya demostración cumpla los cuatro requisitos mencionados anteriormente, mi favorito ahora mismo es el siguiente:

Si tomamos 3 múltiplos de 4 consecutivos, uno de ellos (y solo uno) es múltiplo de 3.

El resultado se puede introducir ya al final de primaria, cuando se estudia la divisibilidad por primera vez. Aunque sólo sea a través de ejemplos, me parece una buena herramienta para trabajar múltiplos y divisores. Es posible que muchos de los alumnos tengan ya totalmente anestesiada la curiosidad, pero si en alguno de ellos sobrevive algo de interés, creo que propiedades como esta pueden despertar el deseo de aprender más sobre los números.

Además, la demostración es elemental y formativa. Se trata simplemente de darse cuenta de que, a partir del resto de dividir N entre 3, podemos calcular los restos de los siguientes múltiplos, N+4 y N+8. Creo que con alguna ayuda no es imposible que algunos alumnos descubran, o completen, el argumento por sí mismos.

Por último, el 3 y el 4 del enunciado no tienen mucho de especial (si algo, naturalmente). 4 se puede cambiar por 5 o por 7, y el resultado sigue siendo cierto. Por tanto, bien al nivel completamente elemental de estudiar ejemplos, o bien al nivel de determinar cuándo se puede generalizar el argumento-demostración, nos queda abierta la puerta a estudiar para qué parejas de números un resultado análogo sigue siendo cierto.

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4 pensamientos en “Las demostraciones

  1. Te comento mi experiencia:
    Como alumno en los 90 tengo un recuerdo vívido de que la primera vez que vi una demostración fue en 1º de BUP, en la unidad de números racionales/irracionales, cuando el profesor nos demostró (del modo largo) que la raíz de 2 era irracional. Aquella demostración tenía varios problemas obvios:por un lado no teníamos la madurez algebraica necesaria para ir cambiando de variables tan alegremente, y por otro descansaba en hechos elementales que tampoco dominábamos previamente (si un cuadrado perfecto es par, su raíz es par; puedes escribir cualquiera racional como fracción irreducible)
    Como profesor cuando iniciamos la unidad de álgebra intento, después de ser muy pesado con la traducción del lenguaje algebraico al natural y viceversa (pero muy pesado, en serio), que razonen sobre hechos muy básicos de los números naturales, como que la suma de dos pares es par, o (más interesante) que la suma de dos impares es par. El año pasado tuve la suerte de que un alumno con talento me preguntó en medio de una clase aún de Aritmética por qué se cumplía una cosa que había advertido: si sabes el cuadrado perfecto n², para calcula el siguiente, (n+1)², solo tienes que sumarle los dos números n y n+1. Cuando llegamos a Álgebra volvimos sobre el tema (en aquel momento, para hacerle ver esto de otro modo, le dije que probase a escribir los cuadrados en línea, entre cada dos su diferencia para que viese cómo aparecían los números impares (es el modo standard de escribir las diferencias en progresiones aritméticas de orden superior) y que probase con los cubos a ver qué pasaba.
    Este enfoque que utilizo tiene complicaciones y fallos: por un lado se identifica demostración (a este nivel) con comprobación algebraica (como en la unidad de Trigonometría, por cierto), y por otro se encubre el razonamiento. La siguiente vez que vemos una demostración es en el Teorema de Pitágoras, donde dependiendo del tiempo que tengamos vemos solo la del cuadrado dividido de dos modos distintos, o también alguna que surja, como la del presidente Garfield (este año en 3º directamente les puse el vídeo de la demostración líquida, pues ya las habíamos visto en 2º, y más que nada para discutir sus entresijos)

    • Muchas gracias por la aportación, interesante como siempre.
      Estoy de acuerdo en que demostrar que \sqrt{2} no es racional en la ESO puede resultar excesivo pero, sobre todo, que no puede ser la primera demostración que ve un alumno. Dicho esto, ¿no crees que esa demostración, y alguna otra, como que existen infinitos números primos, sí se deberían trabajar en el bachillerato? (Asumiendo, por supuesto, que no todos los alumnos las van a entender del todo).
      Y, por supuesto, “el disclaimer” de siempre: no estoy arrojando a la secundaria la responsabilidad. Se debería empezar a trabajar las demostraciones, argumentos, etc, ya en primaria. Y, como no se hace, en secundaria resulta aún más complicado. Los niños de 8 años pueden ser perfectamente capaces de empezar a razonar sobre, por ejemplo, la aritmética de números pares e impares.

  2. Particularmente me parece interesantisimo tu aporte, y creo que es una parte que deberia trarase a fondo en la formación de maestros. Si queremos que Matemáticas no sea “la clase del silencio” los alumnos tienen que “explicar” y nuestras clases han de promover “buenas preguntas” en éste sentido. Por ejemplo: hemos comprovado que el mcm de 3 i de 5 es 15, y de 3 y de 8 es de 24, si en lugar de hacerles ver que “esto no pasa siempre”, la pregunta es: ¿pasa siempre? estaremos entrado a la idea de contraejemplo como demostración. Este tipo de mentalidad que lo importa en Matemáticas es trabajar los procesos es, a mi entender muy importante. Y el objetivo final es no tener que hacer la pregunta “pasa siempre” sino crear en los alumnos el hábito de plantearse este tipo de preguntas por ellos mismos.
    Y para no quedarnos siempre en Secundaria o sexto, un ejemplo com gente menuda: clase de segundo de Primaria, tema “par, impar” la pregunta final fué “escribe las intrucciones al “robot (personaje vital en nuestras clases) para que al levantar una carta (números entre 0 y 100) ponga en una cesta los cartas que tengan un número pare.
    Al final de 20 minutos de probar targetas que no funcionaban se llegó a “si termina en 0,2,4,6 o 8″ la tiras al cesto”
    Vale la pena decir que a ésta conclusión llegaron cuatro, los demás habian llegado hasta donde pudieron. Una pregunta: ¿esta actividad está en la línea de lo que estas planteando, o he aportado una “versión barata” de tus ideas?
    ¿Estarias de acuerdo en que palabras, como conjetura, no ejemplo, contraejemplo, etc deberian estar presentes en la escuela?
    Para terminar una última pregunta: la demostración líquida del teorema de îtágoras es una demostración, una “mostración” un contexto para provocar una conjetura…?
    saludos i sigue con tu carrera de fondo para cambiar las mates

    • Muchas gracias por el comentario, David.
      Por supuesto: no estoy seguro sobre las palabras, pero desde luego que los conceptos conjetura, contraejemplo, argumento, demostración … deberían estar presentes en primaria. Y también de acuerdo: cuanto antes. El tema de números pares/impares y su aritmética me parece el ideal. Tenía dos entradas en la cabeza: la de los números pares y esta sobre las demostraciones en general, dudando cuál sería más adecuada para abrir el fuego. Con los números pares hay un problema, y es cómo se introducen en la mayoría de los casos. Seguiremos en breve.
      Por último, tu pregunta sobre el teorema de Pitágoras plantea una pregunta básica: ¿qué es una demostración en matemáticas? Y también, por supuesto, el tema de que las demostraciones/argumentos deben adaptarse al nivel educativo correspondiente. Y aquí creo que los matemáticos (como comunidad) tenemos una responsabilidad clarísima: durante demasiado tiempo hemos desdeñado cualquier argumento que no fuera perfectamente formal, y de esa forma hemos hecho poco accesible una parte imprescindible de las matemáticas.

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