La división (y III)

Para terminar, por lo menos de momento, con el tema de la división, una entrada breve sobre un tema que puede parecer un detalle, pero que creo que tiene su importancia. ¿Qué notación se debería usar para la división con resto? ¿Cómo escribimos que, al dividir 27 entre 6, el cociente es 4 y el resto 3? Por supuesto, siempre se puede utilizar el lenguaje usual, y seguro que esto es lo más conveniente al principio, pero conforme avanza el estudio, una notación adecuada tendría muchas ventajas. De entrada, si le pedimos a un alumno de primaria o secundaria que nos escriba el resultado de dividir 27 entre 6, como división en los enteros, la alternativa mayoritaria sería sin duda la disposición del algoritmo tradicional (aunque no les hiciera falta para llegar al resultado, porque el cálculo es así de sencillo). Si queremos reforzar el cálculo mental y posponer, o prescindir de, el algoritmo traidicional, necesitamos una buena notación.

En el mundo anglosajón, la notación usual es escribir 27 \div 6 = 4\,R\,3. Creo que tiene un grave inconveniente: el signo igual que aparece no es en realidad un igual. También escribimos 35 \div 8 = 4\,R\,3, de manera que estamos abriendo la puerta a un conflicto cognitivo: “si dos cosas son iguales a una tercera, también son iguales entre sí”. No conozco ninguna otra alternativa que se use, y no se me ocurre ninguna que pueda ser mejor que recurrir a la mal llamada “prueba de la división” (en realidad, es la definición de división), es decir, escribir 27 =4 \times 6 +3.

¿Cuáles son los inconvenientes de esta notación? Sólo veo dos posibles:

  • puede costar un poco al principio, aunque es posible que esta percepción sea simplemente debida a que no estamos acostumbrados a ella, y no sea en absoluto así para niños que empiezan con el tema. En todo caso, si una opción es adecuada, dedicarle el tiempo necesario para asimilarla bien desde el principio es siempre rentable en el aprendizaje a medio y largo plazo.
  • la segunda es un poco más seria, y es el papel aparentemente simétrico de divisor y cociente. Para resolver esto, tendríamos que establecer el convenio de que uno de los dos, digamos el cociente, va siempre el primero, y trabajar ejemplos como 29 =4 \times 6 +529 =7 \times 4 +1.

Todo lo demás me parecen ventajas: la más importante, desde luego, esta notación facilita la comprensión de la operación y la interpretación de los resultados. Es una relación numérica “como todas” y por tanto evidencia qué ocurre con el cociente y el resto cuando dividendo y divisor se multiplican o dividen por un mismo número. Y es la natural para hacer cálculo mental: estoy convencido de que alumnos acostumbrados a ella no se encontrarían en el arranque de la trigonometría con el problema que me comentaba mi hija, y que seguro que es familiar para muchos profesores de secundaria. Al tratar de reducir un ángulo de 740º, ¿cómo se dividía por 360?

 

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6 pensamientos en “La división (y III)

  1. Es final de curso y tu con tu extraña habilidad parar provocar preguntes nos estas quitando horas de sueño!. Con lo contento que estaba yo con el 25:3= 8R1 y ahora me entran dudas.
    El único comentario que se me ocurre es decir que,desde una óptica en la que una operación escrita és la “explicación” a nivel simbòlico de la operación aplicada, sea en forma de algoritmo o de manera indicada, el contexto del problema es importante para decidir el papel del resto. Llegados aquí la respuesta del problema se deberia expresar cómo “tocan 8 a cada uno y sobra una”, pero no me convence mi respuesta.
    Lo que creo importante ( y no viene al caso de esta discusión, pero ya que va de resto, lo suelto) es que el contexto es el que marca si una división es decimal o no: no vas a sacar decimales si repartes hamsters a los nietos, por ejemplo.

    • Con tu segundo párrafo, completamente de acuerdo. Y admito que es muy posible que lo mejor, en primaria, sea quedarse en el “tocan a 8 y sobra 1”. Pero también tengo dudas, porque si queremos trabajar la división antes del algoritmo tradicional, creo que sería conveniente tener una forma más compacta de escribirla. (El primer párrafo me lo tomo como un cumplido, muchas gracias por estar tan atento … )

  2. ¿Qué te parece la opción 27:6=4+3:6? Así se pone de manifiesto el concepto de fracción como división 27/6=4+3/6. Además les servirá a los alumnos (mucho más adelante) a la hora de calcular integrales racionales cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador.

    • Pues creo que es una opción muy interesante. No me gustan los números mixtos, porque de nuevo es una notación confusa, que luego se mezcla con el producto de números enteros y fracciones, pero explicitando el signo + todo queda claro. Lo que no tengo claro es cómo de adecuada es para un niño que ya sabe multiplicar, y que se está iniciando en la división, cómo se entiende ese resto 3:6, frente a la alternativa D = q x d + r. Me parece que es un tema que sólo la investigación de aula nos podría aclarar. Muchas gracias por tu aportación.

  3. No tengo nada claro cómo solucionar el dilema sobre esta notación, en 1º de ESO suelo evitar que escriban resultados de divisiones en ejercicios sin contexto (es decir, en ejercicios mecánicos de división dejamos las divisiones en forma de caja y como mucho escriben D=d·c+r). Lo que sí he notado es que tanto alumnos en las tareas de aula como el común de la gente en su vida cotidiana tienden a evitar la división. Por ejemplo, si en un problema típico de reparto se pregunta por cuántos paquetes de 8 galletas se necesitan para empaquetar 40 galletas, la mayoría de la gente no pensará conscientemente en 40:8=5, sino más bien en 8·5=40, invocando la memoria de la tabla de multiplicar. La primera vez que vean la misma estructura con datos como 17 y 425 galletas quedarán bloqueados (supongo que esto estará relacionado con lo que sucede en etapas posteriores con números como 0’65 y 1’3, por no hablar de irracionales) Es más, cuando en 1º de ESO se recalca el significado de la división entera como resta repetida se suele apreciar que esta resulta una idea novedosa, cuando me consta que se ha trabajado en Primaria. Qué difícil es todo lo elemental…

    • Totalmente de acuerdo en que el problema de comprensión de la división está bastante extendido. Pero creo que la razón de fondo es que se dedica mucho tiempo al algoritmo (que es el más complicado, eso está claro) y no se trabaja lo suficiente con la idea. Pensando estos días en el tema, estoy cada vez más convencido de que las claves para entender la división son dos: la primera, por supuesto, los problemas; la segunda, la relación D = c x d + r.
      Como dices, lo elemental a veces no es nada elemental. Y creo que el error más común es pretender soslayar los conceptos fundamentales, porque “son difíciles y no hay tiempo”, cuando lo que habría que hacer es dedicarles el tiempo necesario, y prescindir de cosas menos importantes. Cuando lo elemental se construye sobre bases firmes, las cosas son después mucho más sencillas. Por ejemplo, la división de polinomios no causaría tantos problemas si la comprensión de la división entera fuera adecuada.

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