La división (y III)

Para terminar, por lo menos de momento, con el tema de la división, una entrada breve sobre un tema que puede parecer un detalle, pero que creo que tiene su importancia. ¿Qué notación se debería usar para la división con resto? ¿Cómo escribimos que, al dividir 27 entre 6, el cociente es 4 y el resto 3? Por supuesto, siempre se puede utilizar el lenguaje usual, y seguro que esto es lo más conveniente al principio, pero conforme avanza el estudio, una notación adecuada tendría muchas ventajas. De entrada, si le pedimos a un alumno de primaria o secundaria que nos escriba el resultado de dividir 27 entre 6, como división en los enteros, la alternativa mayoritaria sería sin duda la disposición del algoritmo tradicional (aunque no les hiciera falta para llegar al resultado, porque el cálculo es así de sencillo). Si queremos reforzar el cálculo mental y posponer, o prescindir de, el algoritmo traidicional, necesitamos una buena notación.

En el mundo anglosajón, la notación usual es escribir 27 \div 6 = 4\,R\,3. Creo que tiene un grave inconveniente: el signo igual que aparece no es en realidad un igual. También escribimos 35 \div 8 = 4\,R\,3, de manera que estamos abriendo la puerta a un conflicto cognitivo: “si dos cosas son iguales a una tercera, también son iguales entre sí”. No conozco ninguna otra alternativa que se use, y no se me ocurre ninguna que pueda ser mejor que recurrir a la mal llamada “prueba de la división” (en realidad, es la definición de división), es decir, escribir 27 =4 \times 6 +3.

¿Cuáles son los inconvenientes de esta notación? Sólo veo dos posibles:

  • puede costar un poco al principio, aunque es posible que esta percepción sea simplemente debida a que no estamos acostumbrados a ella, y no sea en absoluto así para niños que empiezan con el tema. En todo caso, si una opción es adecuada, dedicarle el tiempo necesario para asimilarla bien desde el principio es siempre rentable en el aprendizaje a medio y largo plazo.
  • la segunda es un poco más seria, y es el papel aparentemente simétrico de divisor y cociente. Para resolver esto, tendríamos que establecer el convenio de que uno de los dos, digamos el cociente, va siempre el primero, y trabajar ejemplos como 29 =4 \times 6 +529 =7 \times 4 +1.

Todo lo demás me parecen ventajas: la más importante, desde luego, esta notación facilita la comprensión de la operación y la interpretación de los resultados. Es una relación numérica “como todas” y por tanto evidencia qué ocurre con el cociente y el resto cuando dividendo y divisor se multiplican o dividen por un mismo número. Y es la natural para hacer cálculo mental: estoy convencido de que alumnos acostumbrados a ella no se encontrarían en el arranque de la trigonometría con el problema que me comentaba mi hija, y que seguro que es familiar para muchos profesores de secundaria. Al tratar de reducir un ángulo de 740º, ¿cómo se dividía por 360?