La ecuación de 2º grado

Veamos hoy algo de Álgebra de secundaria. Los alumnos aprenden el desarrollo del cuadrado del binomio, es decir, que (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab, y dedican unas sesiones a hacer cuentas con la fórmula para familiarizarse con ella. Por supuesto, para la mayoría son cálculos puramente formales, que no entienden en absoluto, y muchos de ellos escribirán en el futuro expresiones como (x+3)^2 = x^2 + 9.

Además, y me parece aún más importante, en ningún momento ven una situación en que este desarrollo algebraico sea útil para algo (bueno, seguramente lo utilicen para simplificar expresiones algebraicas que se les plantean para usar el cuadrado del binomio, pero creo que no es honesto contar esto como una aplicación).

Seguramente en el mismo curso estudian la ecuación de 2º grado, y aprenden a obtener soluciones de expresiones como x^2+6x-7=0. Lo que aprenden es que hay una fórmula mágica que dice cuáles son las soluciones de la ecuación genérica ax^2+bx+c=0. Y lo aprenden de forma que uno puede ver a un alumno (con la asignatura aprobada) que recurre a la fórmula para resolver la ecuación x^2-9 = 0.

¿No sería mucho más razonable enseñar que la ecuación de 2º grado se revuelve completando cuadrados? Es decir, si tenemos que resolver la ecuación x^2+6x-7=0, lo que hay que hacer es darse cuenta de que esa ecuación se puede escribir como (x+3)^2-16=0 y que, por tanto, x+3=\pm 4. Es decir, las soluciones son x=1 y x=-7. No ha sido necesiaria ninguna “fórmula mágica”, sólo cuentas sencillas … y el desarrollo del binomio.

Sí, lo sé, aplicar la fórmula es más rápido, pero si lo que queremos es ser rápidos, nada puede competir con recurrir a una calculadora y apretar una tecla. No creo que aplicar la fórmula de manera mecánica y repetitiva tenga mucho más valor matemático que resolver la ecuación con una calculadora. Sin embargo, si lo que uno quiere es que se produzca un aprendizaje significativo, estoy convencido de que es más provechoso hacer los cálculos más “pensados”, sin recurrir a fórmulas mágicas. En todo caso, tras haber resuelto varias ecuaciones de la forma “lenta”, uno podría introducir la fórmula general (el cálculo que demuestra que la fórmula general no es más que repetir el agrupamiento de cuadrados en la ecuación genérica ax^2+bx+c=0 no estará al alcance de la mayoría de los alumnos).

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5 pensamientos en “La ecuación de 2º grado

  1. Totalmente de acuerdo. Yo me sentí defraudada (con mi educación matemática anterior) cuando me di cuenta del “truco” del desarrollo del binomio para las ecuaciones de segundo grado pero esto no fue hasta llegar a la universidad… Estoy segura de que tanto yo como mis compañeros lo hubiésemos entendido igual de bien si nos lo hubiesen enseñado en la ESO junto con la “fórmula mágica”. Creo que muchas veces se subestima a los alumnos y se va por el camino fácil pero que no aporta nada a la larga…
    En el libro de Vicente Meavilla “Aprendiendo Matemáticas…” (Capítulo 2) se dan ideas sobre cómo introducir este razonamiento del desarrollo del binomio para resolver ecuaciones de segundo grado en la educación secundaria, deberían re-editarse todos los libros de texto!

  2. Sí, había visto la charla y se me había quedado grabado el último problema del depósito y cómo le quita todo lo innecesario hasta dejarlo en “pañales” para que los alumnos investiguen hasta encontrar todos los datos que necesitan. Estamos demasiado acostumbrados a que nos den todos los datos y cuando nos los quitan, a veces, ni sabemos qué es lo que tenemos que buscar…

  3. Recuerdo que cuando estudiaba en enseñanza secundaria la ecuación de segundo grado, la demostración de la fórmula era un auténtico arcano, estaba por completo fuera de mi comprensión.
    Posteriormente, cuando me hice profesor de matemáticas de enseñanza secundaria, intenté enseñar el método de completar el cuadrado, y comprobé que al alumnado le cuesta. Si ya tienen problemas con la fórmula [tex] (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [/tex], ahora tienen que aplicarla “al revés”
    Este “costo” significa tiempo de trabajo, y cuando adoptas este enfoque ves como se te van dos o tres semanas y cómo mengua el tiempo que se puede dedicar a otros contenidos y objetivos.
    El problema es que mientras se insiste en que el alumnado comprenda lo que aprende y que tenga significado para él, por otro lado queremos enseñar muchas cosas, porque de repente todas parecen importantes e incluso imprescindibles.
    Por tanto, hay que elegir muy bien lo que se pretende enseñar en cada nivel: menos cosas y más a fondo cada una.
    Siempre me ocurrió quedarme a mitad del desarrollo de las programaciones, y sentirme mal por eso.
    Por otra parte, ya la aplicación de la fórmula pone en juego capacidades y habiidades: identificar los coeficientes, sustituir las oletras por números y operar….. tampoco hay que despreciarla.

    • Muchas gracias por el comentario.
      Totalmente de acuerdo con el análisis, no tanto con las conclusiones. Es cierto que deducir la fórmula general queda fuera del alcance de un estudiante medio de secundaria, pero lo que creo que sí se puede hacer es ejemplos concretos, para que vean cuál es la idea. Soy consciente, por supuesto, del problema del tiempo y la presión del programa, pero en este caso está claro de dónde se podría obtener: las sesiones que muchas veces se dedican a desarrollar cuadrados de binomios, sin otro objetivo que desarrollar y simplificar expresiones algebraicas, se podrían dedicar a la resolución de ecuaciones de segundo grado.
      Es cierto que hay que elegir entre los programas extensos que tenemos (extensos en la ESO, disparatados en Bachillerato), y la comprensión de los conceptos y procedimientos básicos. Y aquí mi opinión es, claramente, la segunda opción (y es también la opción que he visto que han tomado varios países que aparecen en los primeros puestos en las pruebas internacionales de referencia).
      Y, desde luego, no desprecio las fórmulas, pero aquí también hay una elección: presentamos las matemáticas como un conjunto de fórmulas y algoritmos “mágicos”, que hay que aprender a aplicar de forma competente, o como un conjunto de ideas y procesos. Y me parece que la distinción va en paralelo con lo que los pedagogos llaman actividades de bajo o de alto nivel cognitivo.

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