Geometría y razonamiento (II)

En los comentarios de la entrada anterior sobre este mismo tema surgió la problemática de demostrar cosas que “son evidentes”. Es cierto que demostrar cosas que “se ven” tiene sus peligros, y ya escribí sobre ello en esta entrada sobre el Teorema de Bolzano. Lo que quiero presentar hoy son los dos resultados que más me gustan para intentar combatir este problema. El resultado no es nada evidente, quizá hasta desafía la intuición, pero se puede demostrar con geometría elemental.

El primero es sobre ángulos en la circunferencia. Me voy a permitir presentar el resultado, para los lectores que estén en mi situación de hace un par de años. Es un resultado que tenía completamente olvidado cuando lo redescubrí preparando las matemáticas para maestros, y que creo recordar que sólo lo estudié en el dibujo técnico de un primer curso de ingeniería, donde usamos el libro de Puig-Adam de Geometría Métrica (estoy hablando del curso 83-84,  estoy seguro de que de este tipo de cosas no quedan rastros en las ingenierías, seguramente de forma totalmente justificada). Lo que no sé si es tan explicable es que no volviera a oír hablar de estas cosas a lo largo de una licenciatura en matemáticas.

Los ánguloarco-capazs \angle APB y \angle AQB se llaman ángulos inscritos, y el ángulo \angle ACB es el ángulo central correspondiente. El resultado afirma que todo ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente. En particular, por tanto, los ángulos \angle APB y \angle AQB son iguales, e iguales al ángulo \angle AXB si X es cualquier punto del arco de circunferencia de color morado en la figura, que se llama arco capaz del segmento AB. Pues bien, que el ángulo \angle AXB sea el mismo en todo el arco de circunferencia, es un resultado que no es muy intuitivo, en particular cuando el punto X está cerca del punto B. Hay varias demostraciones de este resultado. Esta es la que me parece más sencilla de entender:

Veamos priarco-capaz-caso-1mero el caso en que el segmento PA es un diámetro, como en la figura. En este caso, el resultado de deduce de manera inmediata de la observación de que el triángulo CBP es isósceles.

La segunda parte de la demostración se basa en la observación de que el caso general se puede reducir al primero, considerando el diámetro que pasa por C, tal y como se muestra en la figura. El resto es sólo escribir el argumento, aunque es cierto que si se decide hacerlo la elección del lenguaje más adecuado es importante.

arco-capaz-caso-2

El segundo es sobre secciones de pirámides (y prismas): si consideramos dos pirámides de igual base y altura, como las de la figura, y las cortamos por un plano horizontal, las secciones que se obtienen son iguales.

piramideLa demostración de esto la voy a dejar como “ejercicio para el lector”. Me parece una aplicación muy bonita de la semejanza de triángulos, ya que lo que hay que hacer es simplemente demostrar que, en los dos casos:

  1. el triángulo que se obtiene al cortar la pirámide con un plano horizontal es semejante a la base.
  2. la razón de semejanza depende sólo de la altura del plano de corte.

Un último comentario: en especial en este segundo ejemplo, lo que he visto en muchos de mis alumnos es una especie de “reacción complementaria” a la que se produce cuando les demuestras algo “que se ve”. Este resultado no es muy intuitivo, y cuando termino la demostración lo que veo en muchas caras es algo así como “vale, las matemáticas dirán lo que quieras, pero yo sigo viendo otra cosa” …

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5 pensamientos en “Geometría y razonamiento (II)

  1. Recuerdo la primera vez que vi el el resultado del angulo inscrito. Fue en tercero de BUP, en clase de matematicas. Recuerdo la estupefaccion: eso no puede ser cierto. La profesora, que habia estudiado biologia y estaba haciendo una substitucion, no sabia explicar porque era verdad. A la mayoria de la clase le daba igual ocho que ochenta. Lo que la profesora dice tiene que ser verdad y no hay sitio para la duda. Despues de insistir durante un par de dias diciendo que no me lo creia, otra profesora de matematicas me explico porque es cierto. Desde entonces duermo tranquilo 🙂

    Luego volvio a aparecer el resultado en dibujo tecnico de COU. Se usa para construir ciertos triangulos. Por ejemplo, dadas las longitudes de dos lados y un angulo diferente del definido por los dos lados dados. La profesora sabia usarlo, pero tampoco sabia porque era cierto. De hecho, el dbujo tecnico estaba lleno de teoremas geometricos que usabamos y nunca justificabamos…

    • Efectivamente, creo que la mayoría de los matemáticos tenemos recuerdos de ese estilo …
      Mi tesis es que a los 6-7 años la mayoría de los niños son así de curiosos, y que les interesa el porqué de las cosas. Después de años de aceptar hechos que nadie cuestiona, sólo en unos pocos sobrevive ese interés.
      He vuelto a revivir ese “eso no puede ser cierto” con la sección de la pirámide. No conocía el resultado, y se me ocurrió pensando sobre esos temas. Tuve que repasar varias veces la (muy sencilla) demostración, para convencerme de que sí, que la intuición me engañaba …

    • Olvidé el comentario sobre el dibujo técnico: en efecto, eso ya pasaba hace 30 años. Es muy, muy triste, que la poca geometría clásica que ven los alumnos sea en ese entorno, y de esa manera.

  2. Hombre, no es exactamente cierto que la única geometría sintética (interpreto así “clásica”) aparezca en Dibujo Técnico: simultáneamente, en 1 de ESO, ven cosillas sobre mediatrices, bisectrices, ángulos, el Teorema de Pitágoras… En 2º de ESO tenemos prescritos en el curriculum resultados imposibles de explicar, como las fórmulas de volúmenes y (sobre todo) áreas de cuerpos geométricos.
    Esta semana he estado muy ocupado en 1º de ESO mostrando por qué se multiplican las fracciones de ese modo, con dibujos como prueba. Tenías que ver cómo se divide en dos la clase: alrededor de un octavo interesado y el resto sin entender por qué hay que ver la razón “si total después hay que multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador”. El hecho de que al principio de la unidad hiciese una pequeña encuesta y la mitad de la clase pensase que se multiplicaban fracciones “multiplicando en cruz” (pues ya trabajan fracciones en 6º) no les sirve de razón…
    Para terminar este “speech”, ¿sabes dónde aparecían en el antiguo BUP resultados clásicos? Pues cuando veías el producto escalar en 3º (ángulo inscrito en la semicircunferencia, Ths de la Altura y el Cateto…). La semejanza, inmediatamente antes que la trigonometría y la ecuación punto-pendiente de la recta en 2º y 3º… Tengo que reconocer que algo hemos mejorado…

  3. Para empezar por lo fácil: tengo claro que los que queremos explicar los porqués vamos contracorriente. Pero cualquiera que haya tenido a un niño de 3-4 años alrededor, en la etapa del ¿y por qué? debe tener claro que los niños no nacen como los vemos luego en secundaria (y en la universidad), y que por tanto algo debe haber en el sistema educativo que les mata, o al menos les duerme, la curiosidad. Al menos, eso pienso yo. Si un día descubriera que se trata simplemente de la evolución natural, pensaría en serio en dedicarme a otra cosa 🙂
    En cuanto a la geometría sintética, bueno, es verdad que puede no estar peor que hace 30 años. Ya dije en la entrada que algo muy parecido pasó en mi BUP de hace más de 30 años …
    Pero, salvando Pitágoras, ¿cómo define el libro la mediatriz? ¿cuántos alumnos entienden por qué hay una única circunferencia que pasa por 3 puntos? Por no mencionar que la geometría es la parte del temario que con más frecuencia se ve “de pasada”, sobre todo cuando el profesor no es matemático (vale, junto con la estadística).
    Tengo claro que el problema es de enfoque, desde el currículo. Como dices: les gusta mucho más hacer hincapié en las fórmulas, de lo que sea, y en cualquier cosa que suene a receta …

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