Técnicas versus conceptos

La conferencia de clausura de la jornada sobre innovación que mencioné en la entrada anterior fue impartida por Michèle Artigue. No la conocía (soy un recién llegado al campo de la educación matemática) pero se trata sin duda de una primera figura a nivel internacional. Recientemente ha recibido nada menos que el premio Felix Klein en el año 2013 y la medalla Luis Santaló en el año 2014, dos de las distinciones mas importantes en el área.

La primera parte de su conferencia la dedicó a presentar unos materiales sobre los que estaban trabajando. Me parecieron interesantes. La idea era modelar con Geogebra problemas de persecución. Ahora no encuentro una referencia, pero cuando la consiga volveré a hablar sobre este tema.

Después su conferencia se deslizó hacia aspectos mas abstractos de la didáctica. Antes de seguir, una aclaración preventiva: no pretendo cuestionar el interés de esta didáctica mas abstracta. Lo único que digo es que demasiadas veces peca de excesivamente académica, y alejada de la realidad de las aulas y que, por tanto, puede no resultar del todo accesible e interesante para el profesor de a pie. Este problema no es, desde luego, exclusivo de la didáctica. De hecho, creo que los matemáticos caemos en este error con bastante frecuencia. Para dar un ejemplo en el que he caído personalmente, empeñarse en hablar de epsilones y deltas – o del Teorema de Bolzano – a futuros ingenieros. Y también ocurre en otras áreas alejadas de las matemáticas. La mas prominente me parece el bombardeo de análisis sintáctico y morfológico en los estudios de Lengua de nuestra secundaria.

Total: que en esos aspectos abstractos de la didáctica me perdí completamente, y estuve distraído unos minutos hasta que escuché una expresión ya oída, la teoría antropológica de lo didáctico. Ya me había topado con la etiqueta en alguno texto, sin llegar a entender casi nada, así que intenté concentrarme de nuevo en la conferencia, para ver si conseguía sacar alguna idea en claro. Nuevo fracaso: la jerga me resulta incomprensible. Si algún lector sabe algo del tema, y puede expicar en qué consiste en lenguaje accesible a profanos, le estaré sinceramente agradecido.

De manera que nuevos minutos de distracción, hasta que escuché una frase, pronunciada con total convicción. que captó de nuevo mi atención. Creo que, textualmente (habla un castellano bastante correcto), Artigue dijo: “Pensar que, gracias a las TIC, podemos prescindir de las técnicas y centrarnos en el estudio de los conceptos es un profundo error”. Es una frase que suscribo completamente, pero se trata solo de la entrada al problema, claro. Es una pena que no hubiera tiempo para profundizar en el tema (era ya el final de la conferencia, no hubo turno de preguntas, y la reunión terminaba justo entonces) porque me parece una de las grandes cuestiones de la educación matemática en nuestros días.

Desde mi punto de vista, la clave es que existe una fuerte relación entre algunas técnicas y los conceptos. Dicho de otra forma: para comprender de forma adecuada ciertos conceptos es importante adquirir cierta soltura técnica. Ahora bien, creo que es crucial entrar en el detalle. Por poner un ejemplo sencillo: estoy de acuerdo en que hacer divisiones es importante para comprender los problemas de reparto y, en general, para adquirir sentido numérico. Ahora bien, si el valor fundamental del cálculo de divisiones es éste, es muy posible que tengamos que revisar cómo hacer las divisiones, y qué divisiones hacer. Por una razón muy sencilla: el algoritmo tradicional de la división se diseñó con un objetivo muy distinto, que no es otro que poder hacer divisiones exactas con enteros grandes. Si este objetivo ha quedado obsoleto (personalmente, creo que sí), es muy posible que el algoritmo tradicional haya quedado también obsoleto. Revisar los currículos con esta idea en la cabeza puede ser una tarea apasionante. Si hubiera que hacer un concurso sobre el algoritmo mas caduco, por superfluo a la hora de ayudar a la comprensión conceptual, mi voto creo que sería para la Regla de Ruffini. ¿Y el suyo?

 

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15 pensamientos en “Técnicas versus conceptos

  1. Es verdad que la regla de Ruffini tiene poco sentido. A mí el más tonto me parece el de la raíz cuadrada (afortunadamente no todo el mundo lo enseña, pero quedan bastantes recalcitrantes, yo he tenido agrias discusiones con mis colegas sobre este asunto). También lo de las reglas de tres compuestas, o, en bachillerato ¿tiene sentido hoy en día enseñar a invertir matrices? Lo curioso es que en la selectividad se insiste en que, aunque lo hagan con la calculadora, deben indicar el algoritmo, lo cuál tendría sentido si se entendiera por qué eso de trasponer, adjuntar, etcétera lleva efectivamente a la inversa, lo cual no sucede. Lo malo es que el borrador de contenidos de la Lomce (y por lo que he oído parece que la versión definitiva no va a cambiar mucho) vuelve a machacar con todo eso.

    • Efectivamente, la lista es larga, y los que propones ocupan puestos destacados. Estoy esperando que salga el currículo de la LOMCE para escribir sobre la raíz cuadrada, en particular, porque lo que dice el actual es “Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas”. Creo que solo la inercia puede llevar a deducir que eso incluye el algoritmo tradicional … Es verdad que la situación puede depender de las autonomías, porque en ese aspecto creo que las diferencias están creciendo. Ahora mismo, en Madrid es impensable usar la calculadora para obtener una inversa en selectividad.
      Muchas gracias por tu comentario.

  2. Yo la raíz cuadrada no la he enseñado nunca, primero porque me parece ridículo y luego porque ni siquiera conozco el algoritmo. Me parece curioso lo de Ruffini y creo que en algún momento ya lo hablamos y no recuerdo la respuesta que me diste: ¿cómo factorizarían un polinomio de grado tres sin un ordenador a mano? Porque en el caso de las raíces, lo que sí veo en clase es aproximar entre qué dos enteros están, por si no tienen una calculadora o un móvil.

    Supongo que los tiros van, en el caso de Ruffini y las inversas de matrices (por cierto, yo sí he contado la demostración en 2º de Bachillerato), más dirigidos a que no haya ejercicios de ese tipo porque no sirven para nada. ¿Es así? Pero vamos, que para mí es bastante más espectacular lo que ocurre en general con las matemáticas de Sociales, sobre todo de 2º. A ver si escribo de una vez el post.

    • Esa era mi idea con el algoritmo tradicional de la raíz cuadrada, que estaba ya casi desaparecido. Sin embargo, cuando he ido preguntando en reuniones de profesores, te llevas sorpresas … El problema es que los currículos no lo dejan claro. En Segovia me dijeron que en Aragón se seguía haciendo. Voy al currículo de Aragón, y ¿qué aparece? Textualmente “Raíces cuadradas exactas”. ¿Cómo se interpreta eso?
      Sobre Ruffini: hablamos del tema, en efecto, pero creo que sin concretar. ¿No sería mejor ver simplemente la división de polinomios? Luego resulta que hay un atajo cuando el divisor es un monomio y se puede “hacer mas deprisa”. ¿Sirve para algo hacerlo mas deprisa? Puestos a hacer las cosas mas deprisa, nada hay mas rápido que darle a una tecla …
      Porque esa es la respuesta que me encuentro muchas veces: que si es mas rápido, que si es mas fácil. Bueno: si los criterios son la facilidad, o la rapidez, de nuevo la tecla es imbatible …

      • Pero aquí la diferencia es notable, primero porque lo más probable es que la tecla no esté a mano (exámenes, por ejemplo) y luego porque al dividir un polinomio de grado 5 entre uno de grado 1, yo seguro que me equivoco en las cuentas. Yo explico la división pero la verdad es que Ruffini me resulta cómodo. Y eso que ya te digo que yo suelo demostrar mucho o, al menos, justificarlo… Igual habría que justificar Ruffini 😛

      • Pero ojo: casi estoy entendiendo que Ruffini es útil para resolver … ejercicios propuestos para ser resueltos usando Ruffini!
        Y ya en serio: todo se puede hacer bien, si se pone el cuidado adecuado. Pero lo que recuerdo de mis años en 1º de Ingeniería es que muchos alumnos tenían un lío considerable entre factorizar polinomios, calcular sus raíces, la división de polinomios, y aquella cosa en la que se ponía la raíz cambiada de signo … Sin por supuesto saber conectar unas cosas con otras.

  3. Claro, es que Ruffini tiene tela cómo se explica. Yo dejo claro que se puede hacer la división a mano o así y no es fácil que entiendan los factores pero lo entienden. Lo que digo es que, por ejemplo, si tienen que hallar los puntos de corte con el eje x de una función polinómica de grado 4, pues es un rollo probar con las divisiones.

    • Para hallar los puntos de corte a prueba y error es mas facil substituir los valores de x que Ruffini.
      Divisiones de polinomios es algo que podria hacer aqui y ahora a mano. La regla de Ruffini es algo que vi por ultima vez hace 20 annos y, creo, es inutil hoy en dia. El unico concepto que muestra es que ciertas operaciones se pueden hacer de forma compacta. (Eso en si mismo es un concepto interesante, pero no a ese nivel.) Dada la cantidad de polinomios que dividimos en nuestras vidas, creo que la rapidez pasa totalmente a segundo plano.

      • A lo largo de nuestra vida no, pero a lo largo del Bachillerato, unos pocos. De todos modos, la clave también es esa, tener que hacer ese tipo de ejercicios. Este año me subo por las paredes más que nunca.

      • Pero entonces debe quedar claro que el único interés de Ruffini es acelerar los cálculos que le pueden aparecer en cursos posteriores. Es posible que si fuera profe en 3º o 4º de ESO me viera obligado a dar Ruffini (y otras muchas cosas similares). Pero tendría claro que lo mas razonable sería prescindir de Ruffini junto con los ejercicios que lo requieren …
        Porque siempre tenemos la división tradicional. Un poco mas lenta, sí. Pero con ella también se evitan errores comunes con Ruffini.

    • Muy interesantes los comentarios. Sólo añadiría que, aunque explico Ruffini porque no me queda más remedio, siempre les digo a mis alumnos que el tipo de polinomios que se pueden descomponer por Ruffini son una parte infinitesimal de los polinomios que sirven para resolver problemas (aunque la verdad es que yo nunca he encontrado ninguno, me refiero a problemas de verdad), por lo que me parece más útil que sepan pintar el polinomio con geogebra y saquen conclusiones si necesitan resolver ecuaciones, inecuaciones o lo que sea.

      • Estoy de acuerdo.
        El problema de mecanizar las cosas hasta el punto que se hace a veces es que se puede llegar al absurdo de darle a un alumno el denominador de la función racional ya factorizado, y que lo expanda y luego lo vuelva a factorizar, cuando le pides calcular una integral. Son casos extremos, es verdad, pero siempre me encotraba un par de ellos cuando aparecía algo así en un examen de teleco.

  4. Claro, es que todo lo relacionado con los polinomios, su descomposición y sus aplicaciones está totalmente mecanizado, lo cual es normal dado el tiempo limitado del que se dispone. Por eso me preocupan los temarios de la lomce y sus “estándares de aprendizaje” donde dice textualmente que en 3º de ESO hay que aprender a descomponer polinomios de grado 4.

    • Totalmente de acuerdo. Los currículos de la LOMCE son un sinsentido. No se ha avanzado nada en la dirección de racionalizar los contenidos. Es difícil encontrar un profesor que no te diga que siempre va corriendo, sin tiempo para tratar las cosas con el detalle suficiente.
      Lo que mas me ha decepcionado es que no ha habido voces que llegaran al debate público y que intentaran subrayar este problema. Es verdad que la FESPM ha elaborado unos documentos sobre los currículo (http://www.fespm.es/conclusiones-curriculum-matematicas), y que están bastante bien. Pero han llegado muy tarde, cuando “todo el pescado está vendido”. Yo intenté en su momento que se intentara alzar la voz sobre algunos princpios fundamentales. Pero en ese mundo mi influencia es menos que epsilon …

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