Quede claro desde el principio: soy consciente de que el tema del que quiero hablar hoy es bien conocido en didáctica. Algún día intentaré escribir sobre por qué las ideas más relevantes de la didáctica llegan tan poco a las aulas.
El problema con la división es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores: ya he escrito varias entradas sobre el algoritmo de la división, y esta es la primera sobre su significado. Consideremos estos dos problemas:
- Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
- Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?
Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son «problemas de dividir». Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.
El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de «dividir por 1/2» porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.
Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases de magisterio del curso pasado, después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como «Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?»
Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que,una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.
Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
dos cosas:
1. Ésto pasa por «culpa» de la propiedad conmutativa de la multiplicación
2. Creo que lo problemas o se tendrían que resolver mentalmente, (con algún registro escrito para liberar «memoria» o con calculadora. La tradición de hacer resolver el algoritmo tiene la intención oculta y perversa de ejercitar más la mecánica de los algoritmos
1. Tiene que ver con ello, desde luego. Si no se trabaja bien la multiplicación, es muy complicado que la división vaya bien.
2. Totalmente de acuerdo, pero en esta entrada decidí, por una vez, no hablar de algoritmos – siguiendo uno de tus consejos 🙂
Muy interesante los dos sentidos de la división. Otra cosa que he visto no pocas veces es que al hacer divisiones con números mayores (por ejemplo 300:6=50) se sorprenden cuando comprueban que 6×50 da 300!! Parece que no se trabaja lo suficiente esa conexión entre división y multiplicación. Creo que no vendrían mal más ejercicios de «comprobación» de la división (con la multiplicación), sobre todo al comienzo, para no olvidarse de esa conexión.
Por supuesto que no se trabaja, totalmente de acuerdo. Se hacen cuentas, y cuentas, y cuentas. Pero pensar en interpretar los resultados, y en la relación entre las operaciones, es fundamental, y se hace muy poco.
Te dejo un link sobre como he tratado de introducir el concepto de multiplicación y división a mis niños. Yo veo las dos operaciones como el mismo proceso:
http://rodeadosporlasmates.blogspot.com.es/2013/05/cartas-modulo-9.html
Estoy de acuerdo que en secundaria no tienen claro estos conceptos que comentas y que si se tratase desde las dos perspectivas que dices no se atascarían en según que temas.
Muchas gracias por el comentario, me hace mucha ilusión que este blog esté llegando a algunos profes de primaria. Y enhorbuena por el post sobre el tema. Al final, todo se reduce a lo mismo: hay que detenerse en el significado de las operaciones, no sólo en el algoritmo.
Un post realmente interesante. Yo reconozco también que, con ese nombre (partitiva y cuotativa) es la primera vez que veo descrito el fenómeno. Mi pregunta, como tantas veces, es: ¿Y cómo consiguen los alumnos aprehender el concepto si no lo han trabajado explícitamente? Porque un porcentaje alto sigue llegando al concepto.
Respecto a lo comentado por Andrea, una anécdota: después de ver por ejemplo que 30:5=6, pregunto cuánto es 300:50. Siempre hay alguien que dice 60.
Yo he decidido ser cada vez más pesado con mis alumnos. En los problemas pregunto siempre por la estrategia a seguir y después no dejo pasar ninguna operación sin preguntar qué significa el resultado. Los primeros días de 1º suelen pensar que me refiero a cuánto da. Luego se van acostumbrando a decir a qué magnitud aluden.
Bueno, la terminología puede no ser del todo estándar. En inglés dicen «quotative», y quizá cuotativa no sea una traducción del todo correcta. También he visto referirse a este significado como el de «substracciones repetidas». Con respecto a la pregunta sobre el aprendizaje, es desde luego la clave: los alumnos son los que aprenden, y nuestro papel es intentar facilitar su aprendizaje. La diferencia entre una buena y una mala práctica es la proporción de los alumnos que consiguen aprender.
La pregunta del 30:5 es también un clásico, desde luego. Hace unos años llegó a publicarse en papel una columna, de las que había antes en la contraportada de El País, en la que se decía que era imposible una cifra de deuda. No recuerdo el detalle, pero el argumento era que no podía ser que la deuda de EEUU fuera de 1200 millones de dólares, porque entonces al dividir esos 1200 millones de dólares entre los 400 millones de ciudadanos americanos, la deuda que le tocaría a cada uno sería de 3 millones de dólares …
Sobre interpretar el resultado de cada operación, completamente de acuerdo. Desde el 2º año en magisterio me di cuenta de que era imprescindible para que se cuidaran de darle sentido a lo que estaban intentando hacer para resolver un problema.
Creo recordar que el periódico que lo publicó tradujo equivocadamente «bilions» por «billones», cosa no cierta ya que el bilion USA equivale a nuestros mil illones. La lección interesante es esta competència matemática de tener un sexto sentido que nos alerta y decimos «no puede ser» y después buscamos una justificación o ejemplo explicativo. Conseguir esta actitud en los alumnos seria genial y difícil
No, yo hablaba de otra cosa. Era un artículo de opinión, originalmente escrito en castellano. El único error era decir que el resultado de dividir 10 millones entre 2 millones es 5 millones. Fue bastante sonado, y hubo una segunda columna donde la periodista se disculpó (ya se sabe, con humildad, pero recurrió al socorrido «es que soy de letras»). La pena es que por aquel entonces aun no coleccionaba este tipo de cosas. El error de traducir billion por billón es un clásico, desde luego.
Por si aún te interesa la columna en cuestión, mira lo que escribió Malaprensa después del fail:
Almudena Grandes hace el ridículo otra vez
Ya que no lo recogiste regalito, http://elpais.com/diario/2009/01/12/ultima/1231714801_850215.html
Muchas gracias a los dos. Efectivamente, a ese artículo me refería. Con seguidores así es un placer bloguear 🙂
Como siempre, tocas temas interesantísimos y, como siempre, muy bien explicados, Pedro. ¡Me encanta tu blog!
Mi hijo acaba de empezar (hace 15 días) en 2o de Primaria en un cole en Costa Rica y mi visión de lo que están haciendo es aún incompleta. Lo que sí que puedo decir del libro que siguen (que es de USA) y también del que estuvo trabajando en verano (también de USA), es que las fracciones se ven a la par que la suma y la resta, y no esperan a la multiplicación. Los conceptos de 1/2, 1/3, ó 4/6 como una parte de un todo ya están introducidos cuando empiezan a multiplicar. Trabajan de manera gráfica tanto las fracciones como las equivalencias entre fracciones (ojo, no he visto que manejen aún, por ejemplo, 6/4).
Mi experiencia personal con mi hijo es que el concepto de fracción ha entrado con mucha más naturalidad que el de división partitiva y, con diferencia, que la cuotativa. Entender que 2/6 es igual que 1/3 –insisto, una vez representado gráficamente–, ha sido mucho más sencillo que los repartos de peces en cestas.
Muchas gracias por el comentario, Belén.
Sobre las fracciones, esa es también mi impresión. Las fracciones propias sencillas están perfectamente al alcance de los chicos desde el principio de primaria, e introducirlas poco a poco es la mejor forma de que interioricen el concepto.
una pregunta (curiosidad pura): no manejan el 6/4, pero y el 1 y 1/2, o 1 1/2 es decir el número mixto, lo manejan?
Tienen la fantástica costumbre de poner algún ejercicio de avance con cosas de lo que no han visto. Encuentro uno de esos justo al final del tema de fracciones, con una imagen de 2 círculos cortados por la mitad, 3/2 coloreados y varias respuestas a elegir la cantidad correcta. Cuando venga el peque del cole miro a ver si lo sabe hacer, que me has dejado con la curiosidad ahora a mi 🙂
Es mi primera vez en este blog. Soy Docente de Primaria, en Uruguay. Encontré este artículo justamente buscando ampliar mis conocimientos sobre el tema. Obviamente que dispongo de literatura de Didáctica de la Matemática y de la Disciplina propiamente dicha. Pero al comenzar el año escolar, inmediatamente me di cuenta de que los niños no «tenían» apropiado el sentido relacionado con la división cuotativa. Es verad, casi no se trabaja y cuando incursionan en el campo racional enloquecen y nosotros con ellos. Justo hoy estuve trabajando los dos sentidos y solitos pudieron «descubrirlo», luego de semanas de trabajo secuenciado.
Gracias por compartir conocimientos tan útiles.
Muchas gracias. Comentarios como éste animan a sacar el tiempo para seguir adelante.
Pingback: Los “problemas de ciclistas” | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.
Pingback: Cumpleaños y resumen | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.
En el significado de la división partitiva, sería conveniente hacerle notar a los niños que aquello que se busca es «el tamaño de la parte» mientras que en la división cuotativa se busca «el número de partes»
Buenos dias, desde Argentina, soy docente de primaria. Llego al Blog buscando información sobre la diferencia entre partición y reparto, ya que presenté mi planificación introduciendo los términos y situaciones problemáticas aplicándolos,, y el directivo me plantea que no es necesario hacer la distinción. Le explique mi punto de vista (sinceramente desconociendo esto de cuotativa, solo manejando lo que plantea una colega en un comentario anterior, como «buscar el número de partes») y me dijo que si lo vemos asi, tenia yo razón. La verdad mucho desconocimiento al respecto. No salimos de la mecánica del algoritmo y de la idea de que dividir es sinónimo de repartir, y después los chicos andan perdidos, como bien lo planteaste en tus comentarios. muy enriquecedor el Blog, te felicito y lo hago extensivo para quellos que nos animamos a ir mas alla, de solo hacer una cuenta sin sentido, vacia y mecanizada.
Muchas gracias por el comentario, veo que los problemas en nuestros países son muy similares. Lo del término «cuotativa» es lo de menos, desde luego. De hecho, ya no lo uso en mis formaciones a maestros. Lo importante es tener presentes esos dos significados de la división.
Por fin. El único sitio que he encontrado que me saca de la duda.
Es increíble lo mal que se explican las matemáticas en el colegio. Debería dedicarse la mayoría del curso a asegurarse que el alumno ha entendido los conceptos, y solo una pequeña parte a resolver problemas. Pero lo hacen al revés. Te dan una clase rápida con el concepto y el resto de la evaluación es hacer ejercicios. Y claro, en mi caso fue un desastre. A medida que avanzas los cursos te van quedando más lagunas y al final no te enteras de nada y te desmotivas y frustras.
Muchas gracias por su comentario. En eso estamos, en la batalla por mejorar la enseñanza de las matemáticas.
Muchas gracias por hacer este blog, ahora estoy mas que motivado a mejorar mis clases
respect-
Hola. Muchas gracias por este análisis de la división. Soy un docente de secundaria, doy clases de matemáticas y de física. En las clases de física al calcular la velocidad hemos de dividir el espacio recorrido entre el tiempo empleado. Si un motorista recorre 300 km en 5 horas, ¿cual es su velocidad? Y si otro motorista recorre 30 km en media hora, ¿cual es su velocidad? El significado cuotativo parece el más adecuado, especialmente por el segundo ejemplo. Pero es importante hacer énfasis en el significado del resultado. 60 Km/h significa que se recorren 60 Km en cada hora. Se recorren 300 km en 5 horas y entonces se recorren 60 km en una hora. Entonces mi intuición me ha llevado a hablarles de un tercer significado de la división: les hablo de la división como de «cuánto le toca a la unidad». Si el motorista recorre 30 km en media hora, ¿cuántos km recorre en la una hora, la unidad de tiempo? Ésto ayuda también a entender por qué una división puede dar mayor que el dividendo.
Buenos días:
cuando se aplica la fórmula del movimiento uniforme lo que estamos haciendo es una división de reparto. Tenemos 300 km, y la velocidad es lo que «le toca» a cada una de las 5 horas. También veo que hay alumnos que no tienen clara esta interpretación intuitiva de la fórmula en física, y todo apunta a la falta de comprensión de las operaciones en primaria.
Muchas gracias por su comentario.