Proporcionalidad y volumen

La falta de interdisciplinariedad es un problema del sistema educativo. Pero es que incluso dentro de las matemáticas, hay pocas actividades que combinen conceptos de distintas áreas: cuando se hace aritmética, a eso nos dedicamos, luego viene la geometría, o la representación de datos …

Por ejemplo, creo que se trabaja muy poco el tema de cómo cambia el volumen – o la masa – cuando un objeto cambia de dimensiones. No es sencillo desarrollar la intuición al respecto (creo que todos estamos de acuerdo en que hay algo de sorprendente en el resultado del problema de “la humanidad en fila” de la entrada anterior). Si se quiere comprobar cuál es el estado de la cuestión “en la calle”, no hay más que preguntar a una “persona normal”  sobre cómo cambia el peso de una naranja cuando su tamaño – medido por el calibre (el diámetro) – se duplica. Yo lo he hecho varias veces, y la respuesta ha oscilado entre “no lo sé” y “también se duplica, claro”. Cuando el interlocutor ha sido suficientemente paciente, por interesado o por simple aprecio personal, y me ha dejado la posibilidad de explicarle la respuesta, la reacción ha sido de sorpresa total, y además la actitud final suele ser un inconfundible “vale, las matemáticas dirán eso, pero no termino de creérmelo”.

Este tema se debería tratar al menos desde dos puntos de vista.

El primero, desde el punto de vista curricular, sería como ejercicio de adquisición y representación de datos. Al final del segundo ciclo de primaria, y desde luego en el tercero, se podría plantear la siguiente actividad a los niños. “Para mañana, tenéis que traerme los siguientes datos. Tamaño y peso de tres naranjas (o manzanas, u otra fruta de temporada de forma aproximadamente esférica) de vuestra casa: la más grande que encontréis, la más pequeña y una de tamaño medio“. Creo que una cantidad suficiente de casas dispondrían de básculas de cocina de una precisión suficiente. Obsérverse que no he dado detalles sobre cómo medir el tamaño de la fruta. Decidir qué hay que medir sería parte de la actividad, y continuaríamos en la clase del día siguiente con la puesta en común de las diferentes medidas, ventajas, inconvenientes, e investigando la relación entre ellas. Finalmente, representaríamos los datos y estudiaríamos qué conclusiones se pueden sacar de la gráfica correspondiente.

El siguiente enfoque es posible al final del tercer ciclo, y en la enseñanza secundaria, cuando ya se ha hecho un estudio más formal del volumen. Además de la pregunta original sobre la duplicación de la esfera, se podrían tratar cuestiones como esta: ¿cómo cambia el volumen de un cilindro si el radio de la base aumenta un 10% y la altura disminuye un 10%? (Dependiendo del curso, por supuesto, la pregunta se podría hacer de esta forma, o con unos datos concretos para radio y altura).

La creatividad es otro de los aspectos en general poco cuidados (una entrada sobre creatividad y  matemáticas está en la lista),  y creo que todos deberíamos estar atentos para proponer, siempre que fuera posible, una actividad que no tenga “una solución”, sino varias. Relacionada con estos temas, se me ocurre la siguiente: diseña tres vasos cilíndricos de volumen 1/3 l, y estudia la relación entre sus dimensiones. Si el tiempo lo permite, se podrían construir en cartulina y comentar las ventajas e inconvenientes de los distintos diseños.

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9 pensamientos en “Proporcionalidad y volumen

  1. ¡Hola! He llegado a tu blog via recomendación de Clara Grima, me gusta mucho. A favoritos que vas…

    El problema del cilindro y la esfera lo comenté el año pasado con mis alumnos (2º ESO)… pero luego los resultados no acompañaron. El caso es que fue todo un poco “de pasada” ya que era final de curso y apenas me quedaba tiempo (la misma excusa de siempre, lo sé). Creo que al menos la mitad entendieron que el área lateral y el volumen (el problema hablaba sobre latas de conserva de tomate y el envoltorio) no son proporcionales y que hay que pensar algo más. Este año he cambiado de centro, pero la idea de pesar las naranjas/manzanas en casa me la apunto, ya comentaré los resultados.

    Un saludo,
    Ignacio.

    • Muchas gracias por el comentario. Sobre que no funcionó, lo entiendo perfectamente, es casi milagroso cuando funciona! Entre la presión de los programas que comentas, y la malformación casi general de la primaria. Precisamente por eso estoy cada vez más convencido de que hasta que no reorientemos la primaria estaremos luchando contra gigantes (lo que no quiere decir que no debamos seguir haciéndolo, claro).

    • Cierto … pero ten en cuenta que el tema aquí tiene que ver con la proporcionalidad. Sobre la demostración de Arquímedes, tienes toda la razón. Me sentí personalmente estafado cuando leí sobre ella, varios años después de terminar la carrera de matemáticas. Nadie me había indicado que la fórmula para el volumen de la esfera tenía, desde hace más de 2000 años, una demostración tan sencilla, y tan bonita.

  2. Acabarás siendo el Dan Meyer español! Si no conoces sus 3 actos telo recomiendo muchísimo, creo que es por donde tenemos que tirar aunque las altas esferas se sigan centrando en las cuentas.

  3. Interdisciplinariedad. ¡Uf! La verdad es que, probablemente debido a mi formación es una de las cuestiones que más me han obsesionado desde que el momento en el que empecé a enseñar matemáticas. Comparto el enfoque por completo. En este caso particular, siempre me ha encantado lo bien que resulta a la hora de ilustrar el concepto de ‘economías de escala’ el comprobar, apoyándonos en el cálculo de la superficie de un determinado recipiente (p. ej. un cartón de leche), la idea preconcebida de que otro del doble de capacidad necesita del doble de material es falsa. Dado lo alejada que está, de hecho, de la realidad, creo que funciona bastante bien a la hora de romper tales esquemas.

    Por cierto, me uno (fan total) a la recomendación de los problemas en 3 actos de Dan Meyer. Por ejemplo, relacionado con el tema de esta entrada, el curso pasado probé con este (http://threeacts.mrmeyer.com/pizzadoubler/) y funcionó de maravilla. Este curso tengo que poner esto (http://threeacts.mrmeyer.com/popcornpicker/) en práctica sí o sí.

    Y ya que es el primer comentario que dejo por aquí, enhorabuena y gracias por igual. Un blog impagable.

    • Mi camino ha sido el inverso: soy matemático, y creo que durante años no valoré la interdisciplinariedad lo suficiente. El gran problema es que es difícil encontrar ejemplos donde las matemáticas sean relevantes y del nivel adecuado para presentarlas en secundaria (no digamos ya en primaria). Por eso creo que está my bien compartirlos. Muchas gracias por tu comentario, y por los enlaces.

  4. Esta es uno de esos temas cuya respuesta parece sencilla y muy intuitiva (“también se duplica, claro”), pero cuya respuesta no es tan evidente. Lo mismo ocurre con cosas tan cotidianas como las pizzas. Suponiendo que una pizza grande es para 4 personas, ¿a cuántas personas podría alimentar si duplicara su tamaño? (entendiendo al tamaño como el diámetro).

    Excelente como siempre. ¡Saludos! =)

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