Cumpleaños y resumen

A punto de cumplir 5 años este blog acaba de llegar a las 200.000 visitas (¡muchas gracias a todos los lectores!).

Estos meses el blog ha estado completamente abandonado, por «culpa» de algunos proyectos de los que espero poder hablar pronto. Mientras tanto, creo que es buen momento para echar la vista atrás y una buena forma de hacerlo es repasar las 10 entradas más visitadas desde el comienzo del blog. Debo aclarar que en las estadísticas de wordpress casi la mitad de los accesos son a la página de inicio, que aparece en la dirección masideas-menoscuentas.com, y que en el caso de este blog es simplemente la última entrada publicada. Los accesos que se muestran son por tanto los que se hacen directamente al enlace de la entrada en cuestión. Si tenemos en cuenta los accesos totales desde su publicación, estas son las diez entradas más visitadas:

El número de dos cifras (01/10/2012). 13 686 visitas.
Los algoritmos tradicionales – La división (24/05/2013) 7 677 visitas.
El área lateral del cono (24/06/2014) 7 214 visitas.
La multiplicación (31/08/2013) 7 046 visitas.
La división: una operación con dos significados (18/10/2013) 6 824 visitas.
Libro de 1º de Primaria (04/09/2014) 5 224 visitas.
Los libros de Singapur (I) (23/03/2013) 5 116 visitas.
Las tablas de multiplicar (25/08/2012) 4 052 visitas.
La regla de tres (13/09/2012) 3 466 visitas.
Los algoritmos (1) – La suma y la resta (26/11/2016) 3 159 visitas.

Las cosas cambian un poco si nos fijamos en las visitas durante el último año, pero creo que sorprendentemente poco Este es el resultado en ese caso:

El número de dos cifras 6 137 visitas.
El área lateral del cono 5 397 visitas.
Los algoritmos (1) – La suma y la resta 3 159 visitas.
La división: una operación con dos significados 2 959 visitas.
Los algoritmos tradicionales – La división 2 914 visitas.
Libro de 1º de Primaria 2 005 visitas.
La multiplicación 1 365 visitas.
Los libros de Singapur (I) 745 visitas.
Una anécdota sobre innovación educativa 733 visitas.
La regla de tres 585 visitas.

Por si no consigo resucitar el blog antes de las vacaciones, cierro esta breve entrada deseando a todos los lectores un feliz descanso veraniego.

El vértice de las parábolas

El propósito de esta entrada es explicarme un poco mejor a cuenta del debate que tuvimos hace unos días, sobre el dibujo de parábolas, y que empezó con este tweet de @JosePolLezcano:

Imposible no encontrar cosas interesantes en el blog de Don Stewardhttps://t.co/BakBGaRELo
Puntos singulares de f. cuadráticas#matemáticas pic.twitter.com/wEHZiogOyF

— José Pol Lezcano (@JosePolLezcano) April 20, 2017

Me parece que el enfoque más extendido en nuestro país lo que pretende es llegar a un listado de instrucciones del tipo: 1) encuentro el vértice, 2) puntos de corte con los ejes, etc.

De alguna manera, el cómo encontrar el vértice me parece menos importante que resaltar que la idea que subyace a esta forma de proceder es algo así como: que al menos sepan dibujar la parábola, aunque no hayan entendido nada. Y el argumento que ya he oído bastantes veces es «que aprendan a hacerlo ahora, ya lo entenderán más adelante».

Bueno, estoy convencido de que este razonamiento está en la raíz de nuestro problema con la enseñanza de las matemáticas. Claro que algunos alumnos sí lo entienden más adelante. Hay gente que, a pesar de haber recibido una enseñanza «tradicional» consigue darle sentido a las cosas, atar cabos, y desarrollar interés por las matemáticas. Pero hay otros muchos alumnos que no consiguen entender casi nada, que se ven cada vez más obligados a reducirlo todo al aprendizaje memorístico, y que engrosan la legión del desinterés, el rechazo, y el fracaso con las matemáticas.

Una prueba evidente de que este enfoque no funciona es que cuando en una clase de 1º de Ingeniería de Telecomunicación⁽¹⁾ les pedía dibujar $y = 1 - x^2$ , una parte significativa de los alumnos se encontraban con dificultades. No recordaban el procedimiento, ni nunca entendieron cómo dibujar parábolas «sencillas».

Antes de exponer algunas líneas alternativas que me parecen más adecuadas, una aclaración preventiva. Por supuesto que soy consciente de que cambiar el enfoque en un aula es complicado, y que las dificultades pueden venir de muchas direcciones. Lo que necesitaríamos es que el sistema se moviera en esa dirección. Pero un requisito previo para ello sería que una clara mayoría de los profesores sean conscientes del problema, y a veces dudo de que esto sea así.

Para empezar, la actividad del blog de Don Steward que aparece en el tweet inicial me parece más interesante que empezar a dibujar parábolas con el «método general». Después podríamos seguir tratando parábolas como $y= (x-2)^2$ , $y= 1 - x^2$ , $y= (x+1)^2-2$ , $y= 2(x-3)^2+1$

Llegados a este punto, el paso siguiente me parece claro: tratar el caso general agrupando cuadrados, y reduciéndolo a uno de estos.

Unos comentarios finales:

Es verdad que si el objetivo de la unidad es que el alumno aprenda a dibujar el caso general, este enfoque necesita más tiempo, de eso no hay duda.
El tratamiento que propongo aparece en los libros de texto. El problema, claro, es que no da tiempo a todo, y si hay que elegir, la inercia y esa tendencia a tratar el caso general hacen que casi siempre se opte por el enfoque «tradicional».
Creo que la alternativa a la que se enfrenta el docente en la realidad es: dispongo de N horas para el tema, y quiero que mis alumnos lleguen a hacer ciertas cosas en el examen de la semana que viene. Por mucho que nos diseñen el siguiente examen, por poco que podamos intervenir, muchas veces es suficiente reducir la complejidad técnica de los ejercicios, para que sean tratables sin los «métodos generales».
Si nos paramos a pensarlo, lo realmente importante no es qué van a saber hacer los alumnos en el examen siguiente, sino qué van a recordar un año después. Creo que si pensáramos esto más a menudo, muchas decisiones serían diferentes. Y sí, si en algún sitio hubiera dos grupos de alumnos A y B, similares, y en los que se pudieran hacer los dos tratamientos un curso dado, y ver un año después qué recuerda cada grupo de alumnos, me parece que tendríamos un estudio muy interesante.

Adenda: pocas horas después de publicar la entrada he visto los ejercicios de la prueba externa de 4º de la ESO de Madrid (¡gracias, @lolamenting!). Curiosamente, 2 de las 20 preguntas son sobre parábolas. Creo que merece la pena completar la entrada con ellas. Creo que sería muy interesante ver cómo las han contestado los alumnos.

parabola-1

parabola-2

(1) Sí, es verdad, Ingeniería de Telecomunicación ya no es lo que era, y en una universidad «normal», como la de Alcalá, hay alumnos de todo tipo, la nota de entrada es 5, o poco más. Pero son alumnos que han cursado, al menos la inmensa mayoría, Matemáticas II.

¿En qué manos estamos/hemos estado?

Esta mañana he escuchado una muestra clara de anumerismo en boca de una persona que mandó mucho, y durante muchos años, en nuestro país. Han entrevistado a Felipe González, en la cadena ser, y hablando del desarrollo de Andalucía, ha repetido por dos veces el siguiente argumento: si una cantidad es mucho más pequeña que otra, aunque crezca más, no alcanzará a la mayor, porque la mayor crece sobre una base que ya es mucho mayor …

Lo siento, no puedo conceder el beneficio de la confusión, porque lo dice dos veces, de forma muy «didáctica». Minutos 8’40» y 17’20» de este audio.

Ya sé que no tiene formación matemática pero, ¿nadie de los que tuvo alrededor todos los años en el gobierno le pudo explicar que si algo vale la mitad que otra cantidad, la pequeña crece el 2,5% anual, y la mayor crece el 1,5% anual, se igualan al cabo de (aproximadamente) 70 años?

Los matemáticos y los profesores de matemáticas

Esta mañana leí una entrada muy interesante, y muy valiente, en el blog de @lolamenting: Cuando la clase de mates la da un matemático. No voy a repetir sus argumentos, solo recomendar su lectura, subrayando una vez más que, como ya se dice en la entrada, no se puede generalizar, hay no matemáticos que son estupendos docentes de matemáticas, y matemáticos que no lo son. En particular, matemáticos que no consiguen bajar de un nivel de abstracción excesivo para la edad de sus alumnos.

A raíz de mi tweet sobre la entrada surgió un hilo que me parece interesante, en particular sobre el sistema de oposiciones.

Uno de esos temas del que parece que nadie quiere hablar. Bravo, @lolamenting !! https://t.co/5MbRftDF3d

— Pedro Ramos (@MsIdeasMnosCtas) February 13, 2017

No es fácil conseguir la información sobre los distintos sistemas de oposiciones que funcionan ahora en España. Quizá sea mucho pedir, pero creo que sería interesante que los lectores que conozcan alguno envíen esa información vía un comentario, especificando si la prueba de matemáticas tiene examen de problemas, si lo ha tenido durante estos últimos años, y una impresión de su nivel de dificultad.

La prueba que conozco algo es la de Madrid, ha tenido fase de problemas, excepto en un par de convocatorias en los 90. Los problemas me parecen excesivamente difíciles. Son un filtro, claro, lo que no está claro es que filtren del todo bien. Estoy convencido de que hay que examinar sobre conocimientos matemáticos, desde luego, pero habría que hacerlo con una prueba que realmente evaluara la comprensión de esos conocimientos. No es fácil hacerlo en una oposición, por eso me gusta tanto la prueba de Massachussets, que creo que consigue hacerlo con un examen tipo test. Aquí está el ejemplo que tienen de muestra en su página web para el nivel de profesor de High School, el equivalente a nuestros últimos 4 años de enseñanza preuniversitaria. Y aquí la página con la información general sobre el sistema de acreditación.

No es perfecto, claro, pero creo que evalúa bastante bien el conocimiento real de las matemáticas del nivel adecuado. Y no es el único examen, por supuesto que en la prueba hay que pasar otro tipo de test, y evaluar otro tipo de competencias.

Una nota final: esta prueba de acreditación la debe pasar cualquier persona que quiera dar clase en Massachussets en este nivel educativo, independientemente de la titularidad del centro. Lo mismo ocurre en Francia, como nos contó Irene Ferrando este pasado diciembre en este seminario. Cuando uno se para a pensarlo, resulta llamativo que en nuestro país se pueda dar clase y recibir un sueldo financiado con dinero público sin haber acreditado ante ninguna instancia pública que se tiene la formación adecuada. Claro que es todavía más llamativo que haya docentes dando formación religiosa financiada con fondos públicos. Está claro: Spain is different …

Prueba final de primaria de Singapur (II)

Aquí está la segunda parte:

Sara compró 1,2 kg de uvas. ¿Cuánto le costaron?
María pagó 945 € por una mesa y 4 sillas. El precio de cada silla era $\frac{2}{7}$ del precio de la mesa. ¿Cuánto pagó María por la mesa?
Rosa compró 150 naranjas y 100 manzanas para sus vecinos. Repartió las naranjas por igual y le sobraron 17 naranjas. También repartió por igual las manzanas, y le sobraron 5 manzanas. ¿Cuántos vecinos tiene Rosa?
En la figura, ABCD es un cuadrado, EBFG es un rectángulo y $\angle EBC = 252^{\circ}$ . Calcula $\angle ABF$ .
Un jugador dispone de cuatro intentos en la primera ronda de una competición. La tabla muestra la puntuación que obtiene Pablo en los tres primeros intentos.
Pablo se clasifica para la siguiente ronda si la puntuación media de tres de sus cuatro intentos es al menos 25. ¿Qué puntuación debe obtener Pablo en su cuarto intento para clasificarse?(En el resto de problemas se pide explícitamente que se muestre el razonamiento)
En la figura, CDEF es un paralelogramo. AFC y BFE son líneas rectas y |BA|=|BC|. $\angle ABF = 30^{\circ}$ y $\angle DEF = 54^{\circ}$ .
(a) Calcula $\angle EFC$ .
(b) Calcula $\angle FBC$ .
Al principio Ben tenía 90 € y Sandra tenía 48 €. Cada uno compró una camisa del mismo precio. La cantidad de dinero que le quedó a Ben y a Sandra está en la razón 4 : 1. ¿Cuánto les costó cada camisa?
Luis tiene un trozo de cuerda de longitud 13 w cm. Con una parte de la cuerda construye un triángulo cuyos lados miden w cm, 3 w cm y 20 cm.
a) Expresa la longitud del resto de la cuerda en términos de w, de la forma más sencilla posible.
b) Luis usó el resto de la cuerda para construir un rectángulo de 2 w cm de largo. Si w = 6, ¿cuál es la anchura del rectángulo?
En un concierto el 55 % de las entradas se vendieron al precio inicial y el 40% de las entradas se vendieron a mitad de precio. Sobraron 20 entradas, que se regalaron. En total, se recaudaron 7200 €. ¿Cuál fue el precio de venta inicial de las entradas?
Una tienda ofrecía 80 impresoras con un descuento del 25% durante una semana de rebajas. El gráfico muestra la cantidad de impresoras que quedaban sin vender al final de cada día.a) ¿Qué día se vendieron más impresoras?
b) ¿Qué porcentaje de las 80 impresoras se vendieron durante los tres primeros días de rebajas?
c) Durante las rebajas, el precio de venta rebajado de cada impresora fue 120 €. Cuando terminaron las rebajas, el resto de las impresoras se vendieron al precio anterior, sin descuento. ¿Cuál fue la cantidad total del dinero obtenida de la venta de las 80 impresoras?
En un colegio, el 70% de los miembros de la orquesta y el 60% de los miembros del coro son niñas. La orquesta y el coro tienen el mismo número de niños. La orquesta tiene 20 niñas más que el coro. ¿Cuántos miembros tiene la orquesta?
A las 11:50 Carla empezó a montar en bicicleta y se movía a 25 km/h. Fue desde su casa al parque, que estaba a 10 km. Estuvo en el parque 1 h 50 min.
a) ¿A qué hora se fue del parque?
b) Cuando se fue del parque, volvió a casa por el mismo camino y tardó 40 minutos. ¿Cuál fue la velocidad media de su viaje de regreso, , en km/h?
La figura muestra un triángulo rectángulo.
a) Calcula el área del triángulo.
b) Daniel quiere cortar un triángulo como el de la figura de una pieza rectangular de cartón de 60 cm de largo y 100 cm de ancho. ¿Cuántos triángulos podrá cortar, como máximo?
La figura muestra un camino de 2 m de ancho en un jardín rectangular de 28 m de largo. El borde del camino está formado por cuadrantes de circunferencia con centro W, semicircunferencias con centro en Z y líneas rectas. Sabemos que |WX|=|YZ|.
a) ¿Cuál es la anchura del rectángulo del jardín?

b) Calcula el área del camino. Toma $\pi = 3.14$ .
Yolanda rellenó dos tipos de botellas, grandes y pequeñas, con la bebida que preparó. Llenó 3 botellas grandes y 5 botellas pequeñas con 7.2 l de bebida.
Con el refresco que le sobraba le faltaban 0.5 l para rellenar otra botella grande, pero sí pudo rellenar una botella pequeña, tras lo que le sobraron 0.3 l de bebida.

a) ¿Cuál es la diferencia entre la capacidad de las botellas grandes y las botellas pequeñas?

b) ¿Cuántos litros de refresco preparó Yolanda?
Paula y Jaime compraron macetas que tenían los precios que se muestran en la figura.
a) Paula compró el mismo número de macetas grandes que de macetas pequeñas, y se gastó 175 $ más en las macetas grandes. ¿Cuántas macetas compró en total?

b) Jaime se gastó la misma cantidad de dinero en macetas grandes que en macetas pequeñas. ¿Qué fracción de las macetas que compró eran grandes?
Ana, Bea y Coral son tres amigas que tienen el mismo número de monedas. Ana y Bea tienen cada una combinación de monedas de 50 céntimos y monedas de 10 céntimos. Ana tenía 9 monedas de 10 céntimos y Bea tenía 15 monedas de 10 céntimos. Coral tenía solo monedas de 50 céntimos.
a) ¿Qué amiga tenía más dinero y qué amiga tenía menos dinero?

b) ¿Cuál es la diferencia en valor total de las monedas que tienen Ana y Bea?

c) Bea usó todas sus monedas de 50 céntimos para comprar comida. Después de eso tenía 10 € menos que Carla. ¿Cuántas monedas de 50 céntimos tenía Carla?
Isabel usa palillos para hacer figuras que siguen un patrón. Las cuatro primeras se muestran a continuación.
a) En la tabla se muestra el número de palillos necesarios para hacer cada figura. Completa la tabla para la figura 5 y la figura 6.
b) ¿Cuál es la diferencia en el número de palillos necesarios para hacer la figura 9 y la figura 11?

c) ¿Cuántos palillos necesitaría para hacer la figura 30?

Desde luego, da bastante que pensar … Recuerdo que el tiempo para esta parte es 1 h 40 min. Y ese esa es mi principal crítica. Me parece que la presión de tiempo en esta prueba es, vista desde aquí, enorme. Son 18 preguntas, varias de ellas auténticos problemas para ese nivel, algunas con varios apartados, y el tiempo es menos de 6 minutos por pregunta …

Sobre la diferencia de nivel con una prueba como esta de Cataluña, o ésta del INEE, mejor no hablar …

Aparte de la presencia de la geometría deductiva, de la que ya he hablado, un detalle que me parece muy interesante es la profundidad con la que tratan la aritmética, con problemas como el 15. Aquí son inimaginables antes de llegar al álgebra, y creo que es un error. Como ya he comentado alguna vez, me parece que tratar problemas como estos sin herramientas algebraicas es muy importante para profundizar en la comprensión de la aritmética, y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. La herramienta que aquí echamos de menos para resolver estos problemas es su famoso modelo de barras. Me parece que estas representaciones con barras de cantidades desconocidas son una buena estrategia para pasar después a representarlas con la x del álgebra, y para ayudar a entender que esa famosa x tiene un significado detrás.

Una prueba final de primaria de Singapur

El objetivo de esta entrada no es iniciar un debate sobre las pruebas externas, sino enseñar un ejemplo que he conseguido hace poco de una prueba final de Primaria de Singapur para mostrar qué matemáticas (y con qué nivel de profundidad) hacen en esa etapa educativa. Empecemos con la prueba, al final algunos breves comentarios.

Hoy voy a mostrar la primera parte de la prueba. Son 15 preguntas tipo test y otras 15 preguntas de respuesta corta. Espero que la calidad de las imágenes sea suficiente.

Redondea 31 804 al millar más cercano.
(a) 30 000 (b) 31 000 (c) 31 900 (d) 32 000
La figura tiene 6 ángulos. ¿Cuántos son mayores que un ángulo recto?
En la figura PQ y RS son rectas. ¿Cuál de las afirmaciones es cierta?
Calcula el valor de 9g-4+2g si g=6.
(a) 18 (b) 38 (c) 46 (d) 62
Un ortoedro de altura 10 cm tiene una base cuadrada de lado 3 cm. ¿Cuál es su volumen?
¿Cuál dirías que es el peso total aproximado de 8 monedas de 1 euro?
¿Cuál de los siguientes es el desarrollo de un cubo? (aquí, una pequeña imagen de un cubo)
Tai estuvo en el colegio desde las 7 am hasta las 4 pm. ¿Cuántas horas estuvo en el colegio?
(a) 7 (b) 9 (c) 10 (d) 11
La figura muestra la posición de una bandera en el campo ABCD. ¿Qué vértice del campo está al sureste de la bandera?

Usa esta información para las preguntas 10 y 11. El diagrama muestra los diferentes tipos de bocadillos en un mostrador. 1/5 de los bocadillos son de atún y ¼ de los bocadillos son de queso o de huevo. Había 3 veces más bocadillos de queso que de huevo.
¿Qué fracción de los bocadillos son de pollo?
(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{3}{4}$ (c) $\frac{9}{20}$ (d) $\frac{11}{20}$
¿Qué fracción de los bocadillos son de huevo?
(a) $\frac{1}{12}$ (b) $\frac{1}{16}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{1}{4}$
Ordena estas distancias de menor a mayor:
La figura 1 es un trapecio de perímetro 36 cm. La figura 2 está formada por 4 de esos trapecios. El perímetro de la figura 2 es 96 cm.
¿Cuánto mide el lado AB del trapecio?
(a) 15 cm (b) 12 cm (c) 3 cm (d) 6 cm
Al dividir un número entre 30 el resto es 8. ¿Cuánto hay que sumarle al número para que sea múltiplo de 6?
(a) 6 (b) 2 (c) 5 (d) 4
Ling y Juni hicieron tarjetas durante dos días. El sábado Ling hizo 19 tarjetas más que Juni. El domingo, Ling hizo 20 tarjetas, y Juni hizo 15. Al acabar los dos días, Ling hizo 3/5 del total de las arjetas. ¿Cuántas tarjetas hizo Juni?
(a) 24 (b) 26 (c) 48 (d) 78
Calcula $8020 \div 5$ .
Calcula la media de 9 y 14.
En la figura ABC es una línea recta. Calcula $\angle k$ .
La figura está formada por 3 cuadrados. Uno de los cuadrados está dividido en 4 triángulos iguales. ¿Qué fracción de la figura está sombreada?
Usa la siguiente figura para las preguntas 20 y 21. La figura muestra un mapa con 5 calles.
Nombra dos calles que sean paralelas.
Nombra dos calles que sean perpendiculares.
¿Cuál será el precio del reloj después de añadirle el 7% de IVA?
¿Cuánta agua (en ml) hay en el vaso?

Usa la siguiente figura para las preguntas 24 y 25. Hemos dibujado un semicírculo.
Mide y escribe la longitud del radio.
Elige un punto C dentro del recuadro y dibuja dos segmentos AC y BC para formar un triángulo ABC tal que |AB| = |AC|.
El siguiente diagrama de barras muestra el número de hijos en las familias de un bloque de apartamentos. 1/3 de las familias tienen 1 hijo. Dibuja la barra que muestra esas familias en el diagrama.
La siguiente tabla muestra el precio de unos trabajos de limpieza.
3 primeras horas: 80 €
Cada hora adicional: 20 €.
La Sra Menon pagó a la empresa 200 €. ¿Cuántas horas duró la limpieza?
Sam dibujó estas figuras. A es una circunferencia, B un triángulo equilátero, C un paralelogramo, D un rombo y E un trapecio.

Nombra las figuras que tienen al menos una recta de simetría.
Una bolsa contiene pajitas de tres colores distintos. 1/4 de las pajitas son azules. La razón del número de pajitas rojas y el número de verdes es 2:3. ¿Cuál es la razón del número de pajitas azules y el número de pajitas verdes?
Meng quiere construir una escalera con cubos de 1 cm.
Las figuras muestran la construcción de 2 cm, luego 3 cm y luego 4 cm.Si continúa de esta forma, ¿cuál será la altura de la escalera formada por 140 cubos?

Como decía al principio, esto es solo la primera parte. La prueba tiene una segunda parte, que dura el doble, que se puede describir como «de problemas» y en la que se puede usar calculadora. En esta imagen está la descripción global de la prueba.

Espero publicar pronto una segunda parte de esta entrada con esos problemas. De momento, aquí está el pdf para los lectores impacientes.

Unos primeros comentarios:

Reitero que no se trata de debatir sobre la idea de las pruebas externas, ni mucho menos sobre la conveniencia de seleccionar estudiantes al final de primaria, como hacen en Singapur.
Sobre el fondo de la prueba, me gusta lo que transmite de cuáles son las matemáticas importantes en primaria. Está claro que el nivel en varios temas es completamente distinto al que vemos por aquí. La gran pregunta es hasta dónde se puede llegar usando mejor todo el tiempo que en España usamos para hacer largas divisiones (y otros temas, importantes, pero que en Singapur consideran poco apropiados para Primaria, como divisibilidad -mcm y mcd-, y potencias).
La extensión de la prueba también es sorprendente, desde luego. 30 preguntas en 50 minutos es correr mucho. Es verdad que hay preguntas cortas, pero hay otras que requieren reflexión. Supongo que esto refleja lo que seguro que nos parece a la mayoría excesiva inclinación por los exámenes que tienen allí.
Pero yendo al fondo, creo que la prueba es equilibrada y bien diseñada. Dejando al margen los temas ya mencionados, creo que dedicar tiempo a preparar una prueba como esta (el famoso «teach to the test») no es tan malo.

Los algoritmos (0) – Sumas y restas «pasando el 10»

Como primera entrada de este nuevo año (¡Feliz 2017 a todos los lectores!) quiero corregir un error que cometí con la primera entrada de esta serie, en la que hablaba directamente de los algoritmos de la suma y la resta, remedando así (de manera involuntaria) la misma equivocación que está muy presente en nuestras aulas: empezar con los algoritmos de la suma y la resta cuando el niño todavía no ha adquirido la soltura suficiente con la aritmética «pasando el 10», que será una herramienta fundamental en las sumas y restas. Con aritmética «pasando el 10» me refiero a la suma de dos números de una cifra, y a las restas correspondientes, que son los cálculos básicos que aparecen en los algoritmos tradicionales de la suma y la resta.

No se trata, desde luego, de aprenderse de memoria las tablas de la suma, como algunas veces he visto. Pero si al empezar con los reagrupamientos (las llevadas) el alumno tiene que recurrir al conteo para cálculos como $8+7$ o $15 - 6$ , estamos avanzando sobre terreno movedizo: al calcular, el alumno no podrá centrarse en comprender los reagrupamientos, y muchas veces esto terminará en problemas de aprendizaje.

¿Qué hacer, entonces? Me temo que no hay soluciones mágicas, y que la única alternativa es dedicar el tiempo suficiente a la aritmética de los números hasta el 20, con todo tipo de actividades y problemas. Para tratar de ayudar, aquí dejo el capítulo correspondiente del libro de 1º de primaria que sigue siendo accesible aquí.

Otra actividad muy útil, sobre todo por lo que ayuda a comprender la relación entre suma y resta, son los diagramas como los de la figura. No aparecen lo suficiente en los materiales anteriores.

Sobre los deberes

Si pudiera proponer una sola cosa, me conformaría con esta: que cada aula tuviera un calendario donde figuraran las tareas que tiene que hacer cada alumno, con la fecha correspondiente (idealmente, con una estimación del profesor de cuánto tiempo requiere la tarea en cuestión). Ese calendario debería ser conocido, al menos, por las familias y los profesores del aula. ¿Por qué no totalmente público?

Creo que con esa medida el problema podría desaparecer. Si no fuera así, al menos tendríamos datos un poco más sólidos para debatir.

TIMSS 2015 – leve mejoría

El pasado día 29 se publicaron los primeros resultados del estudio TIMSS 2015. Aunque la puntuación obtenida por España apunta a una leve mejoría, las reacciones que he visto en la mayoría de los medios de comunicación me parecen excesivas. Sobre esa carrera que hemos observado entre nuestros políticos para atribuirse los méritos, no tengo nada mejor que decir que recomendar la lectura de esta serie de tuits de @lucas_gortazar (a cuento de los resultados de PISA que salen el 6 de diciembre, pero exactamente lo mismo se puede decir sobre TIMSS):

Mañana es el gran día de la educación a nivel mundial, porque sale la encuesta PISA para 71 países. Algunas pautas para no perderse: 1/n

— Lucas Gortazar (@lucas_gortazar) December 5, 2016

Algunas breves observaciones sobre los resultados de TIMSS 2015.

A diferencia de PISA, la escala de puntuación de TIMSS no se obtiene de una media, sino que es una escala absoluta. El nivel se mantiene (o se trata de mantener) constante mediante una serie de preguntas que se repiten en cada estudio. Desde ese punto de vista, los 505 puntos obtenidos por España en esta oleada son una mejora respecto de los 482 del estudio TIMSS 2011. Sin embargo, hay al menos dos razones para reprimir el entusiasmo:

Si calculamos la media de los resultados de los países occidentales que han participado en los dos estudios, nos encontramos con un resultado de 519 para TIMSS 2011 y 529 para TIMSS 2015. Eso puede querer decir que ha habido una pequeña mejora general, o que la prueba ha sido ligeramente más fácil. Creo que todos los docentes somos conscientes de lo difícil que es mantener el nivel de dificultad de un examen.
En la siguiente figura trato de contextualizar los resultados de España. Para ello, me he olvidado de los países asiáticos, que juegan en otra liga, y he representado los resultados de los países de Europa occidental (junto con EEUU y Rusia). Creo que salta a la vista que no hay demasiados motivos para el entusiasmo. (Un entusiasmo que sí me permitiría sentir si fuera noruego, o polaco).

Los algoritmos (1) – La suma y la resta

Este curso he repensado bastante la asignatura de Aritmética (para maestros) y he dedicado cierto tiempo a pensar sobre los algoritmos básicos de la aritmética. Además, algunos debates como el que originó este tuit

¿Analogías razonables? pic.twitter.com/lSga72z2le

— Pedro Ramos (@MsIdeasMnosCtas) November 4, 2016

sobre determinantes, me han convencido de que quizá sea hora de hacer un repaso al tema. Esta entrada es el comienzo de una serie sobre los algoritmos de las matemáticas básicas (entendidas como las matemáticas previas a la universidad). El ritmo será el que se pueda, y durará lo que me dure la cuerda, y/o el interés de los lectores.

Mi intención es seguir el orden en que van apareciendo en el currículo, pero antes de empezar a hablar de sumas y restas creo que merece la pena hacer algunas consideraciones generales.

Me parece que sigue sin estar nada claro cuál es el papel de los algoritmos en estos tiempos, cuando estamos rodeados de dispositivos que hacen todo tipo de cálculos, de forma más rápida y más fiable de lo que lo podrá hacer ningún ser humano. Creo que debería ser uno de los temas centrales de debate en didáctica de las matemáticas, y me parece que no lo está siendo. Por supuesto, lo que voy a exponer aquí son solo mis opiniones, ya me gustaría tener datos. Además, estas opiniones van evolucionando con el tiempo.

Voy a tratar de resumir en un párrafo mis reflexiones sobre el tema, que se pueden ver en versión ampliada en esta presentación, donde recojo mi intervención en la mesa redonda que la IX Escuela Miguel de Guzmán dedicó al tema.

Me parece evidente que el estudio de los algoritmos no puede ser ya un fin en sí mismo, como lo era, de forma justificada, hasta hace unos cuantos años. Mi tesis de inicio es que un algoritmo merecerá ser estudiado si, no solo se entiende, sino que ayuda a comprender ideas y conceptos que sean relevantes. Algunas veces se oye que a algunos alumnos les gusta calcular, por el puro gusto de calcular. Bien, no tengo problema en aceptar eso. Pero todos tenemos nuestros gustos y aficiones, y que haya un colectivo al que le resulte atractiva la actividad X no es razón para imponer esa actividad a toda la población. Sobre todo, si resulta que hay otros alumnos a los que esa imposición/requerimiento les aleja de la disciplina completa, o les impone una dificultad adicional, muchas veces decisiva, en el aprendizaje de las matemáticas.

Un último comentario previo: un mismo algoritmo se puede presentar de muchas formas. En particular, en la figura se muestran dos ejemplos que corresponden al algoritmo tradicional de la suma, y que probablemente corresponden a tratamientos bastante distintos del mismo. Cuando hablemos de un algoritmo, habrá que asumir que se trata de forma adecuada o, en todo caso, discutir en qué consistiría esa presentación adecuada.

Si queremos hablar de algoritmos para sumar y restar en los primeros cursos de primaria, deberíamos tener claro antes cuáles son los conceptos fundamentales de esa etapa, y que deberían ser desarrollados en paralelo con los algoritmos. Este caso me parece claro: la notación posicional y, más en general, el sentido numérico.

Empezando por la suma, voy a considerar tres algoritmos distintos. Primero, una presentación rápida, y después hablaré de las ventajas e inconvenientes que les veo.

El tradicional, mostrado en la figura anterior, y que no necesita presentación.
Explorando sobre el tema me encontré con un vídeo de un alumno que sumaba como se muestra en la figura.
Me parece una propuesta muy interesante, y que también puede verse como otra forma de escribir la suma en fila
$748 + 597 = 1200 + 130 + 15 = 1345$
Me parece evidente que escribir la suma como en la figura facilita los cálculos al alumno.
Los algoritmos ABN. Creo que ya son bastante conocidos, pero aquí va una presentación en dos líneas «en aras de la completitud». El acrónimo proviene de algoritmos Abiertos Basados en Números. En la tabla de la derecha se muestra un ejemplo. Si queremos sumar los números 36 y 43, lo que se hace es disponer lainformación en una tabla, e ir pasando cantidades del número menor al mayor. Evidentemente, cuando hemos pasado el número completo, en la casilla correspondiente aparece la suma final. La forma de pasar es flexible, y alumnos con diferentes habilidades de cálculo encontrarán caminos distintos (de ahí el adjetivo de abiertos). Creo que la escritura no está del todo estandarizada (se puede argumentar que no hace falta, por supuesto) y si se buscan ejemplos es posible que no aparezca la columna de la izquierda del ejemplo, las cantidades que se van pasando. En este blog se puede encontrar más información.

Voy a atreverme a aventurar unas pocas reflexiones sobre comparación de estos algoritmos, dejando claro que son reflexiones personales, que han cambiado en estos últimos años, que pueden cambiar en el futuro próximo, y que tengo más preguntas que respuestas.

En primer lugar, decir que el algoritmo tradicional me parece una buena opción. Eso sí, por supuesto, trabajando con números del tamaño adecuado al desarrollo del alumno, y no «llevándome 1», sino reagrupando las 12 unidades en una decena y dos unidades, con el apoyo gráfico/manipulativo necesario.

El algoritmo 2 me gusta mucho. Creo que usa de forma muy natural la notación posicional, y que cuando se calculan sumas de esta forma se está haciendo un uso intenso de las descomposiciones numéricas. Su gran ventaja, me parece, es que se adapta muy bien a las técnicas de cálculo mental y cálculo aproximado. Si queremos hacernos a la idea del orden de magnitud de una suma, es evidente que debemos a sumar desde la izquierda. Solo le veo un inconveniente, y es que no veo cómo trasladarlo al caso de la resta, como veremos más abajo. Y creo que este es un inconveniente muy serio. La pregunta surge sola: ¿sería adecuado trabajar los algoritmos 1 y 2, en paralelo o de forma secuencial? Creo que solo una posible experiencia de aula nos podría iluminar en este punto.

Sobre el ABN, entiendo el éxito relativo que están teniendo en las aulas. Lo que me parece que ocurre en muchos casos es que sustituyen a un tratamiento puramente mecánico del algoritmo tradicional. Y claro, tras años de ver que tus alumnos no entienden nada, hacer por fin algo que se entiende tiene un atractivo evidente. Sobre el algoritmo en sí mismo, es desde luego un buen ejercicio de cálculo mental. Pero si se piensa (como es mi caso) que una de las razones fundamentales de trabajar un algoritmo de la suma es trabajar la comprensión de la notación posicional, entonces creo que surgen muchas dudas. Por los ejemplos que se ven en la red, y por lo que he visto hacer a mis alumnos al tratarlos en la asignatura de aritmética, no me parece que profundizar en la comprensión de la notación posicional sea su fuerte. Pero esta cuestión está abierta, desde luego.

Para terminar con la suma, por supuesto que otra alternativa sería olvidarse de algoritmos, trabajar el cálculo mental (pensado), desarrollando las estrategias adecuadas, de forma realmente flexible, y pasar a la calculadora cuando el tamaño de los números lo requiera.

La resta.

Restar es intrínsecamente más difícil que sumar. Y esto se evidencia tanto en la comprensión del concepto como en los algoritmos. Empezando por los algoritmos tradicionales, hay dos formas de arreglar el problema que surge cuando la cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo.

En el recuadro rojo de la figura (la resta de la izquierda) se muestra el algoritmo tradicional en España (y en otros países europeos). Aquí el problema de cómo se presenta en las aulas es claro. Decir «me llevo una» en el caso de la suma puede ser poco adecuado, pero en el caso de la resta es simplemente disparatado. No hay una, ni me la llevo a ningún sitio. Estamos simplemente trasladando la cantilena de la suma a una situación completamente distinta. Desde luego, con ese lenguaje es imposible que los alumnos entiendan nada, y mi impresión es que muchos niños empiezan a naufragar con la introducción del algoritmo de la resta. La idea para justificar el algoritmo es sencilla, otra cosa es que sea natural, o fácil de captar por el alumno de 1º-2º de primaria. Lo que hace el algoritmo es usar la propiedad de compensación: sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo. La diferencia se mantiene, y ya podemos hacer la cuenta. El lenguaje que se ha usado en España para presentar este algoritmo deja bien claro que la comprensión nunca ha estado entre nuestras preocupaciones a la hora de enseñar matemáticas.

La alternativa de la derecha, usada en el mundo anglosajón y en Asia (y llegando a nuestras aulas) consiste en desagrupar una decena, expresándola como 10 unidades. En el ejemplo, en lugar de 4 decenas y 2 unidades, tenemos 3 decenas y 12 unidades, y ya podemos seguir con el cálculo. Lo que he visto en las aulas es que se usa el término «prestar» y tampoco me parece adecuado, porque creo que deberíamos enseñar a nuestros alumnos que lo que te prestan tienes que devolverlo, y aquí no hay devolución posible. Creo que la verbalización del procedimiento debe estar adaptada al vocabulario de los niños, por supuesto, pero también debe reflejar el proceso de manera correcta. ¿Tomamos una decena, y la expresamos como 10 unidades? Quizá haya mejores alternativas. De nuevo, la experiencia de aula es imprescindible.

La mayor dificultad de la resta queda en evidencia al tratar de buscar un análogo del segundo algoritmo para la suma. No veo alternativa mejor que la que muestra la figura, basada en una idea que circuló por twitter hace unos días.

Seguramente sea un ejercicio interesante, para 1º de la ESO, para trabajar la aritmética de los enteros, y hacer eso tan importante, y que tan pocas veces hacemos, que es reflexionar sobre las conexiones entre diferentes temas. Pero si hablamos de algoritmo para la resta en 2º-3º de primaria, no me parece una alternativa.

En cuanto a los algoritmos ABN, en la figura se muestra un ejemplo. Me parece que la tabla es suficientemente explícita: voy quitando del número mayor, y cuando lo he quitado todo me encuentro con la diferencia.

Para terminar, una breve comparación. Sobre los ABN, los comentarios son los mismos que para la suma. Y no es casualidad, porque las ideas subyacentes son exactamente las mismas, claro.

De nuevo aquí se puede aplicar el comentario final sobre la suma: una opción podría ser prescindir de los algoritmos en columna (y de las tablas de los ABN), trabajar (con números del tamaño adecuado al desarrollo de los alumnos) técnicas de cálculo pensado, y recurrir a la calculadora cuando los números sean más grandes.

Finalmente, mi opinión sobre las dos alternativas para gestionar «las llevadas»: no conozco ningún resultado basado en trabajo de aula, pero estoy convencido de que hacer reagrupamientos en el minuendo es más natural que usar la compensación aumentando el sustraendo. Y creo que hay cierto consenso en el tema, a juzgar por cómo la primera de las alternativas va ganando terreno en las aulas y en los libros de texto. Otra cosa son los problemas que la transición está causando, con libros que empiezan con una alternativa para luego usar otra más adelante, o colegios donde se hace algo parecido, o el desconcierto de algunas familias cuando se encuentran con que no saben cómo resta su hijo. Este es otro tema, que quizá merezca tratarse en otra entrada, esta ya es demasiado larga.

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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