El vértice de las parábolas

El propósito de esta entrada es explicarme un poco mejor a cuenta del debate que tuvimos hace unos días, sobre el dibujo de parábolas, y que empezó con este tweet de @JosePolLezcano:

Me parece que el enfoque más extendido en nuestro país lo que pretende es llegar a un listado de instrucciones del tipo: 1) encuentro el vértice, 2) puntos de corte con los ejes, etc.

De alguna manera, el cómo encontrar el vértice me parece menos importante que resaltar que la idea que subyace a esta forma de proceder es algo así como: que al menos sepan dibujar la parábola, aunque no hayan entendido nada. Y el argumento que ya he oído bastantes veces es “que aprendan a hacerlo ahora, ya lo entenderán más adelante”.

Bueno, estoy convencido de que este razonamiento está en la raíz de nuestro problema con la enseñanza de las matemáticas. Claro que algunos alumnos sí lo entienden más adelante. Hay gente que, a pesar de haber recibido una enseñanza “tradicional” consigue darle sentido a las cosas, atar cabos, y desarrollar interés por las matemáticas. Pero hay otros muchos alumnos que no consiguen entender casi nada, que se ven cada vez más obligados a reducirlo todo al aprendizaje memorístico, y que engrosan la legión del desinterés, el rechazo, y el fracaso con las matemáticas.

Una prueba evidente de que este enfoque no funciona es que cuando en una clase de 1º de Ingeniería de Telecomunicación(1) les pedía dibujar y = 1 - x^2, una parte significativa de los alumnos se encontraban con dificultades. No recordaban el procedimiento, ni nunca entendieron cómo dibujar parábolas “sencillas”.

Antes de exponer algunas líneas alternativas que me parecen más adecuadas, una aclaración preventiva. Por supuesto que soy consciente de que cambiar el enfoque en un aula es complicado, y que las dificultades pueden venir de muchas direcciones. Lo que necesitaríamos es que el sistema se moviera en esa dirección. Pero un requisito previo para ello sería que una clara mayoría de los profesores sean conscientes del problema, y a veces dudo de que esto sea así.

Para empezar, la actividad del blog de Don Steward que aparece en el tweet inicial me parece más interesante que empezar a dibujar parábolas con el “método general”. Después podríamos seguir tratando parábolas como y= (x-2)^2y= 1 - x^2, y= (x+1)^2-2, y= 2(x-3)^2+1

Llegados a este punto, el paso siguiente me parece claro: tratar el caso general agrupando cuadrados, y reduciéndolo a uno de estos.

Unos comentarios finales:

  1. Es verdad que si el objetivo de la unidad es que el alumno aprenda a dibujar el caso general, este enfoque necesita más tiempo, de eso no hay duda.
  2. El tratamiento que propongo aparece en los libros de texto. El problema, claro, es que no da tiempo a todo, y si hay que elegir, la inercia y esa tendencia a tratar el caso general hacen que casi siempre se opte por el enfoque “tradicional”.
  3. Creo que la alternativa a la que se enfrenta el docente en la realidad es: dispongo de N horas para el tema, y quiero que mis alumnos lleguen a hacer ciertas cosas en el examen de la semana que viene. Por mucho que nos diseñen el siguiente examen, por poco que podamos intervenir, muchas veces es suficiente reducir la complejidad técnica de los ejercicios, para que sean tratables sin los “métodos generales”.
  4. Si nos paramos a pensarlo, lo realmente importante no es qué van a saber hacer los alumnos en el examen siguiente, sino qué van a recordar un año después. Creo que si pensáramos esto más a menudo, muchas decisiones serían diferentes. Y sí, si en algún sitio hubiera dos grupos de alumnos A y B, similares, y en los que se pudieran hacer los dos tratamientos un curso dado, y ver un año después qué recuerda cada grupo de alumnos, me parece que tendríamos un estudio muy interesante.

Adenda: pocas horas después de publicar la entrada he visto los ejercicios de la prueba externa de 4º de la ESO de Madrid (¡gracias, @lolamenting!). Curiosamente, 2 de las 20 preguntas son sobre parábolas. Creo que merece la pena completar la entrada con ellas. Creo que sería muy interesante ver cómo las han contestado los alumnos.

parabola-1

parabola-2


(1) Sí, es verdad, Ingeniería de Telecomunicación ya no es lo que era, y en una universidad “normal”, como la de Alcalá, hay alumnos de todo tipo, la nota de entrada es 5, o poco más. Pero son alumnos que han cursado, al menos la inmensa mayoría, Matemáticas II.

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13 pensamientos en “El vértice de las parábolas

  1. ¿Sabes qué pasa a veces? Que los alumnos son un mundo.
    Yo siempre explico las cosas razonadas. Subo y bajo parábolas, vemos por qué sale esa gráfica, me paso dos días introduciendo el concepto y haciendo que lo entiendan, luego trato de que entiendan cómo se calcularían los puntos de corte (en las parábolas y en cualquier función), me los llevo a la sala de ordenadores y vemos los deslizadores con Desmos, tratamos de adecuar ciertas parábolas a ciertas figuras, hago actividades del tipo https://teacher.desmos.com/marbleslides-parabolas o https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/56e0b6af0133822106a0bed1… En fin, creo que le pongo empeño. La realidad es que un porcentaje de chavales se quedan con la copla pero, también, que casi la mitad siguen perdidos después de dos semanas. Y te dicen eso de “profe, pero ¿qué entra en el examen?”. Y al final casi siempre cedo y acabo explicando cómo dibujar una parábola. Y me desespero, pero de verdad que a veces se nos olvida que en una misma clase hay alumnos que lo entienden todo a la primera y se aburren y alumnos que solo avanzarían un poco si estuvieras dándoles clase solo a ellos.

    • Créeme que puedo decir eso de “sé de lo que hablas”. En magisterio me pasa exactamente lo mismo, con otros temas.
      Y tengo claro que trabajar en esa dirección tiene una componente frustrante, y a veces hasta desesperante. Ya lo he mencionado en la entrada. Mi gran duda es cómo de minoritaria es nuestra posición. Poco más que añadir, salvo agradecerte el comentario y el atento seguimiento, qué rapidez!

  2. Hay tantas cosas que sacrificamos por culpa del exceso de contenidos y/o porque los contenidos no son accesibles para la mayoría…
    Cuando vas acumulando años de darte cabezazos contra la pared, tiendes a elegir las paredes que vas a golpear. En mi caso, reconozco que seguir golpeando en “resolver ecuaciones con sentido”(=evitar lo que está sumando pasa restando, etc.), “evitar cancelar expresiones algebraicas”,… dejan menos tiempo para ser cuidadoso con casos como este del vértice de las parábolas. Si bien introduzco con cierto sentido el contenido, sin pararme tanto como Lola, acabo por reducirlo a un algoritmo. A veces harta ver que una explicación o unas tareas bien diseñadas caen en saco roto porque incluso los mejores alumnos están esperando cómo vas a evaluar los contenidos. Hasta aquí la confesión.
    Pero hay cosas más esenciales, quizás, que también tendemos a evitar o soslayar. Un ejemplo ya lo hemos comentado alguna vez, ¿por qué las funciones afines tienen líneas rectas como gráficas?, pero hay una barbaridad, a distintos niveles: ¿Por qué se cumple el Teorema de Tales? ¿Por qué hacemos así el producto/cociente de fracciones?
    Al final, cabe preguntarse si hacer las cosas de modo más reflexivo en 3º o 4º de ESO va a cambiar algo, o si, hagas lo que hagas, el historial de los alumnos determina ya cómo van a aprender.

    • Estoy de acuerdo, claro. Es solo un ejemplo más, y en 3º – 4º de ESO es muy complicado cambiar la forma de ver las matemáticas. De nuevo, puedo decir que sé de lo que hablas. Por poner un ejemplo, hace solo unos meses lo vi cuando pregunté en el examen de enero que me explicaran qué significaba la operación 2 dividido entre 1/3.

  3. Llevo más de dos semanas trabajando las parábolas con mis alumnos de académicas de tercero. Empezamos pintando y=x^2 y ellos moviéndola y deformándola con deslizadores en geogebra para deducir dónde está el vértice y cómo queda cuando la ecuación es de la forma y=A(x-B)^2+C. Después vimos cómo encontrarlo si la ecuación es la general, transformándola en una del tipo anterior y deduciendo que la abscisa del vértice es -b/2a. También hallando las raíces y el la abscisa del vertíce como punto medio. Todo con muchos ejemplos, resumiendo todo lo visto anteriormente al principio de cada clase y dejándoles que hagan ejercicios en clase a su ritmo (me niego a mandar listas de ejercicios para casa, igual es un error). Esto por supuesto después de hablarles de las parábolas en la “vida real” y ponerles vídeos e imágenes. Se supone que es un grupo de los “buenos” en un instituto “bueno”. Pues bien, tengo la sensación de que gran parte de ellos siguen sin enterarse bien, ya que no paran de quejarse y decir que esto es muy difícil . Probablemente la razón es tan simple como que la mayoría de los cerebros de 14 años están inmaduros para eso. Aún así tengo la esperanza de que al menos se les quede en la cabeza que en las matemáticas las cosas se deducen y se razonan, aunque eso requiera un al parecer enorme esfuerzo mental.

    • Muchas gracias por el comentario, Elena. Absolutamente relevante.
      Los alumnos no están acostumbrados, lo sé, y no es fácil. Pero tengo claras al menos estas dos cosas:
      1 – aunque nos parezca que no, sí se les quedan cosas. Desde luego, más cosas que con un enfoque más mecánico. Mira por ejemplo en el twitter de @lolamenting, y lo bien que le fue a sus alumnos en la prueba de 4º ESO.
      2 – importante, y creo que lo usamos poco, sobre “esto es muy difícil”. Hay ya mucha evidencia en neurociencia que indica que para un mejor desarrollo del cerebro es importante enfrentarse, al menos de vez en cuando, a actividades difíciles. Nuestros alumnos no están acostumbrados a enfrentarse a tareas exigentes, cierto, pero eso es en sí mismo un problema.

  4. En primer lugar quiero felicitarte por el blog, suscribo lo que escribes empezando por el título y en segundo lugar por esta entrada. Añado mi opinión y mi experiencia personal.
    El currículo de 3º de ESO de matemáticas académicas incluye el tema de transformaciones geométricas (este tema lleva muchos años en 3º de ESO). Los movimientos en el plano son muy importantes para entender cómo el vértice de la parábola y=x^2 se transforma en y=(x-a)^2 (traslaciones horizontales) o y-b=(x^2) (traslaciones verticales). Este razonamiento permite dibujar todo tipo de parábolas de forma sencilla y hace años que está en los libros de texto (bloque de análisis).
    En las 8ª JAEM de Salamanca (año 1997) presenté tres comunicaciones relacionadas con este tema, una de ellas era una unidad didáctica sobre transformaciones geométricas para trabajar con papel (más tarde publicada en proyecto SUR), y otra era una plantilla de funciones en papel vegetal que contenía gráficas elementales (entre ellas y=x^2) que permite dibujar mediante traslaciones y simetrías otras gráficas de la misma familia.
    En mi opinión, el problema no está en el currículo, sino en su interpretación y secuenciación. Falta un trabajo de conexión de procedimientos entre los bloques temáticos que solidifiquen el aprendizaje, lo que además ahorra tiempo.
    A veces, con un simple trozo de papel vegetal, y una buena interpretación geométrica, se encuentra sentido al cálculo.
    El profesor es el que decide el orden en el que da los temas, y cuáles deja para el final, cómo los conecta,y cuáles son más importantes.
    Aprovecho para añadir que la estadística y la probabilidad, también darían para una entrada similar, por su aporte de significado a conceptos básicos como los porcentajes y la probabilidad.
    Saludos y gracias por compartir estos artículos tan interesantes.

    • Muchas gracias por tu comentario, Mª Jesús.
      Coincidimos en lo básico, desde luego.
      Mi único matiz es que el currículo no ayuda, por su excesiva longitud.
      Y la gran pregunta: ¿por qué el día a día de la mayoría de las aulas transcurre por caminos tan distintos a estos que comentamos? ¿Qué habría que hacer para que cambiaran las prácticas en esas aulas que siguen basando casi todo en aprendizaje memorístico y práctica de técnicas básicas?

      • Estoy de acuerdo en que el currículo es largo pero se puede simplificar quitando algoritmos y reduciendo cálculos. Seguimos sobrevalorando el álgebra y la parte numérica, cuando se puede dar como herramienta dentro del análisis, la geometría y la estadística. Hay que cambiar el chip, usar la calculadora y dejar en segundo plano polinomios y radicales.
        Hay que mirar el currículo en su conjunto y asegurar los pilares básicos, pero los del siglo XXI, no los del XIX.
        El aprendizaje memorístico aporta resultados inmediatos, lo que no ocurre con el comprensivo, necesita un recorrido más largo, y por ello hay que programar para varios cursos, no para uno solo.
        Los objetivos tienen que ser más globales, “entender las traslaciones y aplicarlas en distintos contextos”, se consigue en varios cursos y acabarán comprendiendo los cambios en los valores de los parámetros al hacer este movimiento, no solo de las parábolas, también de otras funciones. El problema es coordinarse con los demás profesores del departamento y seguir una misma línea metodológica.
        Los “Contenidos Importantes” requieren tiempo para su interiorización, y hay que dárselo, programándolos en varios cursos, y entre ellos no están los cálculos con polinomios, por mucho que a algunos les den prioridad absoluta en 3º y en 4º.
        Esta es mi opinión personal, basada en la experiencia, y es la que sigo en mis clases, pero sé que no es general.
        El cambio está en nosotros y como diseñadores de nuestras clases podemos aplicarlo.

  5. Maria Jesús, estoy de acuerdo con lo que dices. Por supuesto, si los profesores, en su conjunto, implementaran esos cambios, el sistema se movería en la dirección correcta. El problema es que eso no ha ocurrido en los últimos 30 años. Y no veo ninguna razón para que ocurra ahora. Mi impresión es que la mayoría del profesorado está instalada en la inercia, y no veo cómo se puede cambiar eso desde dentro.
    ¿Cómo cambiarlo entonces? Esa es la gran pregunta, en efecto.

    • El cambio siempre es una opción personal salvo que la institución en la que trabajas lo convierta en una obligación ligada al sueldo.
      Esta pregunta no es exclusiva del sistema educativo sino de cualquier organización, por tanto puede promoverse desde arriba o desde abajo, de forma voluntaria u obligatoria.
      Nosotros ponemos nuestro grano de arena cuando difundimos nuestro trabajo, pero salvo que estemos en algún consejo de administración, equipo directivo, asociación ligada al tema, etc, no podemos hacer mucho más.
      Promover “buenas prácticas” relacionadas con nuestra materia, dinamizar equipos docentes, colaborar o liderar la participación en proyectos educativos, … mira el tuit de hoy de @iberciencia, Agustín Carrillo es un ejemplo a seguir en estas cuestiones https://twitter.com/iberciencia/status/894184406608433153 también la sociedad andaluza THALES y la FESPM. Muchas personas trabajando en una misma línea, la de mejorar la enseñanza de las matemáticas, este es el motor del cambio. Ya se han conseguido grandes avances, y por ahí hay que seguir.

      • Claro que hay buenas prácticas, y los alumnos que las disfrutan son afortunados. Si hablamos del sistema, ojalá tengas razón, pero no conozco ningún caso de éxito (a nivel internacional) donde los cambios se hayan producido de abajo hacia arriba.

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