El vértice de las parábolas

El propósito de esta entrada es explicarme un poco mejor a cuenta del debate que tuvimos hace unos días, sobre el dibujo de parábolas, y que empezó con este tweet de @JosePolLezcano:

Me parece que el enfoque más extendido en nuestro país lo que pretende es llegar a un listado de instrucciones del tipo: 1) encuentro el vértice, 2) puntos de corte con los ejes, etc.

De alguna manera, el cómo encontrar el vértice me parece menos importante que resaltar que la idea que subyace a esta forma de proceder es algo así como: que al menos sepan dibujar la parábola, aunque no hayan entendido nada. Y el argumento que ya he oído bastantes veces es “que aprendan a hacerlo ahora, ya lo entenderán más adelante”.

Bueno, estoy convencido de que este razonamiento está en la raíz de nuestro problema con la enseñanza de las matemáticas. Claro que algunos alumnos sí lo entienden más adelante. Hay gente que, a pesar de haber recibido una enseñanza “tradicional” consigue darle sentido a las cosas, atar cabos, y desarrollar interés por las matemáticas. Pero hay otros muchos alumnos que no consiguen entender casi nada, que se ven cada vez más obligados a reducirlo todo al aprendizaje memorístico, y que engrosan la legión del desinterés, el rechazo, y el fracaso con las matemáticas.

Una prueba evidente de que este enfoque no funciona es que cuando en una clase de 1º de Ingeniería de Telecomunicación(1) les pedía dibujar y = 1 - x^2, una parte significativa de los alumnos se encontraban con dificultades. No recordaban el procedimiento, ni nunca entendieron cómo dibujar parábolas “sencillas”.

Antes de exponer algunas líneas alternativas que me parecen más adecuadas, una aclaración preventiva. Por supuesto que soy consciente de que cambiar el enfoque en un aula es complicado, y que las dificultades pueden venir de muchas direcciones. Lo que necesitaríamos es que el sistema se moviera en esa dirección. Pero un requisito previo para ello sería que una clara mayoría de los profesores sean conscientes del problema, y a veces dudo de que esto sea así.

Para empezar, la actividad del blog de Don Steward que aparece en el tweet inicial me parece más interesante que empezar a dibujar parábolas con el “método general”. Después podríamos seguir tratando parábolas como y= (x-2)^2y= 1 - x^2, y= (x+1)^2-2, y= 2(x-3)^2+1

Llegados a este punto, el paso siguiente me parece claro: tratar el caso general agrupando cuadrados, y reduciéndolo a uno de estos.

Unos comentarios finales:

  1. Es verdad que si el objetivo de la unidad es que el alumno aprenda a dibujar el caso general, este enfoque necesita más tiempo, de eso no hay duda.
  2. El tratamiento que propongo aparece en los libros de texto. El problema, claro, es que no da tiempo a todo, y si hay que elegir, la inercia y esa tendencia a tratar el caso general hacen que casi siempre se opte por el enfoque “tradicional”.
  3. Creo que la alternativa a la que se enfrenta el docente en la realidad es: dispongo de N horas para el tema, y quiero que mis alumnos lleguen a hacer ciertas cosas en el examen de la semana que viene. Por mucho que nos diseñen el siguiente examen, por poco que podamos intervenir, muchas veces es suficiente reducir la complejidad técnica de los ejercicios, para que sean tratables sin los “métodos generales”.
  4. Si nos paramos a pensarlo, lo realmente importante no es qué van a saber hacer los alumnos en el examen siguiente, sino qué van a recordar un año después. Creo que si pensáramos esto más a menudo, muchas decisiones serían diferentes. Y sí, si en algún sitio hubiera dos grupos de alumnos A y B, similares, y en los que se pudieran hacer los dos tratamientos un curso dado, y ver un año después qué recuerda cada grupo de alumnos, me parece que tendríamos un estudio muy interesante.

Adenda: pocas horas después de publicar la entrada he visto los ejercicios de la prueba externa de 4º de la ESO de Madrid (¡gracias, @lolamenting!). Curiosamente, 2 de las 20 preguntas son sobre parábolas. Creo que merece la pena completar la entrada con ellas. Creo que sería muy interesante ver cómo las han contestado los alumnos.

parabola-1

parabola-2


(1) Sí, es verdad, Ingeniería de Telecomunicación ya no es lo que era, y en una universidad “normal”, como la de Alcalá, hay alumnos de todo tipo, la nota de entrada es 5, o poco más. Pero son alumnos que han cursado, al menos la inmensa mayoría, Matemáticas II.

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4 pensamientos en “El vértice de las parábolas

  1. ¿Sabes qué pasa a veces? Que los alumnos son un mundo.
    Yo siempre explico las cosas razonadas. Subo y bajo parábolas, vemos por qué sale esa gráfica, me paso dos días introduciendo el concepto y haciendo que lo entiendan, luego trato de que entiendan cómo se calcularían los puntos de corte (en las parábolas y en cualquier función), me los llevo a la sala de ordenadores y vemos los deslizadores con Desmos, tratamos de adecuar ciertas parábolas a ciertas figuras, hago actividades del tipo https://teacher.desmos.com/marbleslides-parabolas o https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/56e0b6af0133822106a0bed1… En fin, creo que le pongo empeño. La realidad es que un porcentaje de chavales se quedan con la copla pero, también, que casi la mitad siguen perdidos después de dos semanas. Y te dicen eso de “profe, pero ¿qué entra en el examen?”. Y al final casi siempre cedo y acabo explicando cómo dibujar una parábola. Y me desespero, pero de verdad que a veces se nos olvida que en una misma clase hay alumnos que lo entienden todo a la primera y se aburren y alumnos que solo avanzarían un poco si estuvieras dándoles clase solo a ellos.

    • Créeme que puedo decir eso de “sé de lo que hablas”. En magisterio me pasa exactamente lo mismo, con otros temas.
      Y tengo claro que trabajar en esa dirección tiene una componente frustrante, y a veces hasta desesperante. Ya lo he mencionado en la entrada. Mi gran duda es cómo de minoritaria es nuestra posición. Poco más que añadir, salvo agradecerte el comentario y el atento seguimiento, qué rapidez!

  2. Hay tantas cosas que sacrificamos por culpa del exceso de contenidos y/o porque los contenidos no son accesibles para la mayoría…
    Cuando vas acumulando años de darte cabezazos contra la pared, tiendes a elegir las paredes que vas a golpear. En mi caso, reconozco que seguir golpeando en “resolver ecuaciones con sentido”(=evitar lo que está sumando pasa restando, etc.), “evitar cancelar expresiones algebraicas”,… dejan menos tiempo para ser cuidadoso con casos como este del vértice de las parábolas. Si bien introduzco con cierto sentido el contenido, sin pararme tanto como Lola, acabo por reducirlo a un algoritmo. A veces harta ver que una explicación o unas tareas bien diseñadas caen en saco roto porque incluso los mejores alumnos están esperando cómo vas a evaluar los contenidos. Hasta aquí la confesión.
    Pero hay cosas más esenciales, quizás, que también tendemos a evitar o soslayar. Un ejemplo ya lo hemos comentado alguna vez, ¿por qué las funciones afines tienen líneas rectas como gráficas?, pero hay una barbaridad, a distintos niveles: ¿Por qué se cumple el Teorema de Tales? ¿Por qué hacemos así el producto/cociente de fracciones?
    Al final, cabe preguntarse si hacer las cosas de modo más reflexivo en 3º o 4º de ESO va a cambiar algo, o si, hagas lo que hagas, el historial de los alumnos determina ya cómo van a aprender.

    • Estoy de acuerdo, claro. Es solo un ejemplo más, y en 3º – 4º de ESO es muy complicado cambiar la forma de ver las matemáticas. De nuevo, puedo decir que sé de lo que hablas. Por poner un ejemplo, hace solo unos meses lo vi cuando pregunté en el examen de enero que me explicaran qué significaba la operación 2 dividido entre 1/3.

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