a+b+c = 180 º

Mi intención hoy es reflexionar sobre cuál es la mejor manera de presentar a los alumnos (digamos de 4º – 5º de primaria) el hecho de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Antes de nada, una aclaración (seguramente innecesaria): cualquiera de las opciones que voy a presentar, o cualquier otra que se nos pueda ocurrir, será mucho mejor que lo desgraciadamente habitual en nuestras aulas – el libro enuncia el resultado, como “verdad revelada”, y a partir de ahí el hecho es cierto “porque lo dice el libro”.

Claramente, el resultado debería ser introducido de forma experimental, midiendo los ángulos en una serie de triángulos y comprobando que la suma es en todos los casos (aproximadamente) 180º. Pero me parece esencial una segunda fase, en la que se presente un argumento general. Veamos dos opciones:

Opción 1: en la figura vemos la idea, creo que suficientemente conocida. Se colorean los ángulos de un triángulo hecho en cartulina, luego el triángulo se recorta por las flechas, y se comprueba que los tres ángulos completan un ángulo llano.

angulos-triangulo-colorear

Opción 2: se considera la recta paralela a uno de los lados que pasa por el vértice opuesto. Evidentemente, este enfoque requiere haber trabajado antes la igualdad de los ángulos alternos-internos. (Este es un resultado más sencillo de entender y, en todo caso, se puede comprobar fácilmente recurriendo al corte de una cartulina).

angulos-triangulo-paralela

Me falta la experiencia de aula para decantarme claramente por una de las dos opciones (o por alguna otra). Si tengo que dar mi opinión, me inclino por la segunda. Es muy posible que mi gusto por las matemáticas me condicione demasiado, pero creo que el argumento es suficientemente sencillo para que se entienda ya en estos cursos, y le veo dos ventajas: la primera, su belleza; la segunda,y más importante, que muestra cómo un resultado matemático – un teorema – se deduce usando resultados previamente establecidos. ¿Qué opináis?

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10 pensamientos en “a+b+c = 180 º

  1. Hola Pedro ( y al resto, claro)
    Yo tengo una visión un poco diferente, soy profe de secundaria 😉 je je je Pero no he podido resistirme a comentar esta entrada. Yo uso un camino intermedio entre los dos que planteas.
    Yo les hago recortar el triangulo en un papel, y doblando y uniendo las puntas ( parecido al camino 1 ) comprueban que suman 180 grados. Y la conexión con el segundo camino es que se dobla por una paralela a uno de los dos lados, de forma que el vértice toque el lado, y los otros dos vértices se doblan por perpendiculares a la paralela.
    Ademas de comprobar la suma de los tres ángulos, sirve para ver los ángulos alternos-internos, el rectángulo interno, la mitad de la altura… Vamos que a mi al menos me suele dar mucho juego ( la verdad es que solo algunas veces, pero cuando entran al trapo es un subidón 😀 )
    NaCl U2 Yo!

    • Muchas gracias por la aportación. La verdad es que hay un problema con mi entrada. Pienso en qué se hace en primaria, y lo que tu comentario sugiere es ¿qué hacer en secundaria, si asumimos que en primaria no se ha hecho ningún intento de argumentar nada? Supongo que en ese contexto (el real en nuestro país), tu enfoque es muy razonable. Pero me gustaría ver cómo funciona el otro enfoque, más formal. Yo lo intento con mis alumnos de magisterio. Como dices, con algunos alumnos funciona, con otros no tanto. Pero creo que sí consigo con algunos esa expresión inconfundible de ¡claro, qué sencillo! (Incluso una vez escuché un
      ¡qué chulada! (y sí, el subidón merece la pena)

  2. Yo estaria por la primera:generar un pequeño mundo de triángulos lo más distintos posible y ver lo que pasa… incluso en primero de ESO. Hay tiempo para descubrir este tipo belleza del que hablas un poco más tarde.
    Y ahora abro debat de medida: saben los alumnos de Primària ( o de secundaria o de Magisterio) lo que es un grado. cuando dicen que la suma son 180º? qué contestan cuando loes preguntamos cual es la medidada de un grado? es grande o pequeño?

    • No tengo tan claro que haya tiempo después. Creo que si un alumno de 12-13 años no ha tenido ninguna oportunidad, aunque sea mínima, de descubrir la belleza de un argmento matemático, a los 15-16 va a ser mucho más complicado. Yo creo que en la ESO intentaría la segunda (pero claro, para ello sería muy conveniente que en primaria ya hubieran pasado por el primer enfoque).
      Donde sí coincidimos completamente es en el tema de la estimación, el “sentido de las unidades de medida”. Me lo apunto para una futura entrada. Es una de las muchas cosas que me gusta de los libros de Parker y Baldridge que uso en magisterio. Fijaros en esta página, y cómo deja bien clara la unidad de medida de los ángulos.

  3. El otro día Grogorio Morales (el de los puntitos y los mosaicos http://www.tocamates.com/2013/07/mosaicos-de-tela.html) me propuso la solución “del jardinero” que rodea el jardín triangular de ángulos a, b y c. Cada vez que llega a un vértice gira 180-a, 180-b y 180-c Para llegar a donde comenzó (supongamos que fue a) Como ha dado una vuelta completa ha girado 360 grados… es un poco algebraica la parte final pero es muy bonita ¿no crees?

    • Sí, está muy bien. Una variante, la del conductor: vas por el primer lado, luego giras a grados y recorres el segundo lado marcha atrás, giras b grados y recorres el tercer lado hacia adelante. Finalmente, giras c grados y estás igual que al principio, pero en dirección opuesta. Total: has girado 180º.
      Y seguro que hay alguna otra forma de argumentarlo.
      Mi reflexión es que la “puramente geométrica” me parece tan sencilla de entender como la que más. Muchas veces las demostraciones pueden ser demasiado formales, o complicadas, o abstractas, para introducirlas en los primeros niveles de la enseñanza. Pero cuando un hecho importante se puede *demostrar* con un argumento sencillo, creo que estamos ante un tesoro que no deberíamos desaprovechar.

  4. Hola Pedro, yo creo que una *demostración* como la que propones usando la paralela está lejos de la mayoria de los alumnos de primaria (y de algunos de los de secundaria), prefiero presentarles justificaciones más enactivas (como la que comentas recortando las esquinas de un triángulo de papel) asumiendo la pérdida rigor pero valorando su valor explicativo del resultado que tenemos entre manos.
    Una actividad que me gusta presentar a los alumnos en relación a la suma de ángulos de un triángulo (adaptable para la suma de ángulos de un cuadriláter cualquiera) está relacionada con la elaboración de mosaicos. Les pido a cada grupo que haga muchas copias de un mismo triángulo (cualquiera) y que itente con ellos recubrir su mesa de trabajo. El resultado nos permite descubrir que la suma de los ángulos de todos los triángulos que tenemos entre manos es 180ª. Adjunto una imagen para ilustrar lo que les propongo: http://www.evernote.com/shard/s134/sh/0d623f31-67c9-4ccb-a6da-8f23c1b56454/613fbc76efe7f2e5f14864ebbcf463a6

    • Muchas gracias por tu aportación, Cecilia.
      No lo sé (y este no lo sé no es una forma educada de llevar la contraria; realmente, no lo tengo claro). Me pregunto si no estaremos cometiendo el error más común en educación: subestimar a los chicos. No tengo nada en contra de los argumentos intuitivos, las argumentaciones usando material, y las actividades alrededor de propiedades. Creo que tienen un gran espacio en las matemáticas elementales, y deben ser el principal recurso para muchas situaciones. Pero también creo que hay algunos pocos hechos que quizá sí se podrían demostrar. De lo contrario, nos resignamos a que muchos alumnos no tengan ningún contacto con esa parte de las matemáticas, y otros muchos lleguen a primer curso de carreras científicas sin saber lo que es una demostración.

  5. “(…) nos resignamos a que muchos alumnos no tengan ningún contacto con esa parte de las matemáticas, y otros muchos lleguen a primer curso de carreras científicas sin saber lo que es una demostración.”

    Que la geometría es un asunto que no preocupa demasiado en educación obligatoria ya se lo confirmo yo. Unos porque nunca la han catado y otros por que la desprecian; es el triste legado que nos ha quedado de aquella fiebre llamada “Matemática(s) Moderrna(s)”.

    El tema de las demostraciones… Le comento una conversación que presencié previa a una reunión de departamento (el de matemáticas de cierto instituto) y que ilustra perfectamente la apatía generalizada en el profesorado fente a éste asunto.

    Una compañera estaba malmetiendo contra un profesor de matemáticas de otro instituto de la misma localidad que el nuestro. La 2ª compañera, con peermiso de una 3ª, le dice a la primera:

    – No será para tanto mujer.

    – No exagero. A sus alumnos de bachillerato les cuenta la demostración de la irracionalidad de raíz de 2 – replica la 1ª.

    – Bueno, bueno. Pero seguro que después no se la pregunta en el examen – contesta la 2ª intentando quitar importancia a la maldad del profesor malmetido.

    Y yo callado… ya que a mis alumnos de 3º de ESO (un grupito muy majo que me había tocado en gracia) ya les había sometido a ese maltrato. También me callé que los muy desnaturalizados estaban interesadísimos en que les contara cómo demonios se le había ocurrido a Herón aquella fórmula para el área de los triángulos y que tanto les fascinaba.

    • No conozco la historia de cómo la geometría “clásica” desapareció del currículo, pero creo que recuperarla en alguna medida es un paso necesario para corregir el rumbo. Y es irónico que esto ocurra en plena moda de la “competencia matemática” (y digo moda porque me parece sobre todo un debate semántico, que está dispersando la atención del núcleo fundamental), olvidando que una de las competencias fundamentales que puede aportar la formación matemática es la capacidad de razonamiento y de pensamiento abstracto.
      En qué medida esta situación es culpa del currículo, responsabilidad del profesorado, o producto de otras circunstancias, lo ignoro. Pero, como casi siempre, creo que el problema empieza en primaria, y si no plantamos unas mínimas semillas del razonamiento en esa etapa, es complicado luego cambiar la actitud hacia las matemáticas del alumno medio.
      Muchas gracias por su comentario.

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