Los algoritmos (1) – La suma y la resta

Este curso he repensado bastante la asignatura de Aritmética (para maestros) y he dedicado cierto tiempo a pensar sobre los algoritmos básicos de la aritmética. Además, algunos debates como el que originó este tuit

sobre determinantes, me han convencido de que quizá sea hora de hacer un repaso al tema. Esta entrada es el comienzo de una serie sobre los algoritmos de las matemáticas básicas (entendidas como las matemáticas previas a la universidad). El ritmo será el que se pueda, y durará lo que me dure la cuerda, y/o el interés de los lectores.

Mi intención es seguir el orden en que van apareciendo en el currículo, pero antes de empezar a hablar de sumas y restas creo que merece la pena hacer algunas consideraciones generales.

Me parece que sigue sin estar nada claro cuál es el papel de los algoritmos en estos tiempos, cuando estamos rodeados de dispositivos que hacen todo tipo de cálculos, de forma más rápida y más fiable de lo que lo podrá hacer ningún ser humano. Creo que debería ser uno de los temas centrales de debate en didáctica de las matemáticas, y me parece que no lo está siendo. Por supuesto, lo que voy a exponer aquí son solo mis opiniones, ya me gustaría tener datos. Además, estas opiniones van evolucionando con el tiempo.

Voy a tratar de resumir en un párrafo mis reflexiones sobre el tema, que se pueden ver en versión ampliada en esta presentación, donde recojo mi intervención en la mesa redonda que la IX Escuela Miguel de Guzmán dedicó al tema.

Me parece evidente que el estudio de los algoritmos no puede ser ya un fin en sí mismo, como lo era, de forma justificada, hasta hace unos cuantos años. Mi tesis de inicio es que un algoritmo merecerá ser estudiado si, no solo se entiende, sino que ayuda a comprender ideas y conceptos que sean relevantes. Algunas veces se oye que a algunos alumnos les gusta calcular, por el puro gusto de calcular. Bien, no tengo problema en aceptar eso. Pero todos tenemos nuestros gustos y aficiones, y que haya un colectivo al que le resulte atractiva la actividad X no es razón para imponer esa actividad a toda la población. Sobre todo, si resulta que hay otros alumnos a los que esa imposición/requerimiento les aleja de la disciplina completa, o les impone una dificultad adicional, muchas veces decisiva, en el aprendizaje de las matemáticas.

Un último comentario previo: un mismo algoritmo se puede presentar de muchas formas. En particular, en la figura se muestran dos ejemplos que corresponden al algoritmo tradicional de la suma, y que probablemente corresponden a tratamientos bastante distintos del mismo. Cuando hablemos de un algoritmo, habrá que asumir que se trata de forma adecuada o, en todo caso, discutir en qué consistiría esa presentación adecuada.

suma

Si queremos hablar de algoritmos para sumar y restar en los primeros cursos de primaria,  deberíamos tener claro antes cuáles son los conceptos fundamentales de esa etapa, y que deberían ser desarrollados en paralelo con los algoritmos. Este caso me parece claro: la notación posicional y, más en general, el sentido numérico.

Empezando por la suma, voy a considerar tres algoritmos distintos. Primero, una presentación rápida, y después hablaré de las ventajas e inconvenientes que les veo.

  1. El tradicional, mostrado en la figura anterior, y que no necesita presentación.
  2. Explorando sobre el tema me encontré con un vídeo de un alumno que sumaba como se muestra en la figura.
    suma-2Me parece una propuesta muy interesante, y que también puede verse como otra forma de escribir la suma en fila
    748 + 597 = 1200 + 130 + 15 = 1345
    Me parece evidente que escribir la suma como en la figura facilita los cálculos al alumno.
  3. Los algoritmos ABN. Creo que ya son bastante conocidos, pero aquí va una presentación en dos líneas “en aras de la completitud”.  El acrónimo proviene de algoritmos Abiertos Basados en Números. En la tabla de la derecha se muestra un ejemplo. Si queremos sumar los números 36 y 43, lo que se hace es disponer lainformación en una tabla, e ir pasando cantidades del número menor al mayor. Evidentemente, cuando hemos pasado el número completo, en la casilla correspondiente aparece la suma final. La forma de pasar es flexible, y alumnos con diferentes habilidades de cálculo suma-ABNencontrarán caminos distintos (de ahí el adjetivo de abiertos). Creo que la escritura no está del todo estandarizada (se puede argumentar que no hace falta, por supuesto) y si se buscan ejemplos es posible que no aparezca la columna de la izquierda del ejemplo, las cantidades que se van pasando. En este blog se puede encontrar más información.

Voy a atreverme a aventurar unas pocas reflexiones sobre comparación de estos algoritmos, dejando claro que son reflexiones personales, que han cambiado en estos últimos años, que pueden cambiar en el futuro próximo, y que tengo más preguntas que respuestas.

En primer lugar, decir que el algoritmo tradicional me parece una buena opción. Eso sí, por supuesto, trabajando con números del tamaño adecuado al desarrollo del alumno, y no “llevándome 1”, sino reagrupando las 12 unidades en una decena y dos unidades, con el apoyo gráfico/manipulativo necesario.

El algoritmo 2 me gusta mucho. Creo que usa de forma muy natural la notación posicional, y que cuando se calculan sumas de esta forma se está haciendo un uso intenso de las descomposiciones numéricas. Su gran ventaja, me parece, es que se adapta muy bien a las técnicas de cálculo mental y cálculo aproximado. Si queremos hacernos a la idea del orden de magnitud de una suma, es evidente que debemos a sumar desde la izquierda. Solo le veo un inconveniente, y es que no veo cómo trasladarlo al caso de la resta, como veremos más abajo. Y creo que este es un inconveniente muy serio. La pregunta surge sola: ¿sería adecuado trabajar los algoritmos 1 y 2, en paralelo o de forma secuencial? Creo que solo una posible experiencia de aula nos podría iluminar en este punto.

Sobre el ABN, entiendo el éxito relativo que están teniendo en las aulas. Lo que me parece que ocurre en muchos casos es que sustituyen a un tratamiento puramente mecánico del algoritmo tradicional. Y claro, tras años de ver que tus alumnos no entienden nada, hacer por fin algo que se entiende tiene un atractivo evidente. Sobre el algoritmo en sí mismo, es desde luego un buen ejercicio de cálculo mental. Pero si se piensa (como es mi caso) que una de las razones fundamentales de trabajar un algoritmo de la suma es trabajar la comprensión de la notación posicional, entonces creo que surgen muchas dudas. Por los ejemplos que se ven en la red, y por lo que he visto hacer a mis alumnos al tratarlos en la asignatura de aritmética, no me parece que profundizar en la comprensión de la notación posicional sea su fuerte. Pero esta cuestión está abierta, desde luego.

Para terminar con la suma, por supuesto que otra alternativa sería olvidarse de algoritmos, trabajar el cálculo mental (pensado), desarrollando las estrategias adecuadas, de forma realmente flexible, y pasar a la calculadora cuando el tamaño de los números lo requiera.

La resta.

Restar es intrínsecamente más difícil que sumar. Y esto se evidencia tanto en la comprensión del concepto como en los algoritmos. Empezando por los algoritmos tradicionales, hay dos formas de arreglar el problema que surge cuando la cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo.

resta

En el recuadro rojo de la figura (la resta de la izquierda) se muestra el algoritmo tradicional en España (y en otros países europeos). Aquí el problema de cómo se presenta en las aulas es claro. Decir “me llevo una” en el caso de la suma puede ser poco adecuado, pero en el caso de la resta es simplemente disparatado. No hay una, ni me la llevo a ningún sitio. Estamos simplemente trasladando la cantilena de la suma a una situación completamente distinta. Desde luego, con ese lenguaje es imposible que los alumnos entiendan nada, y mi impresión es que muchos niños empiezan a naufragar con la introducción del algoritmo de la resta. La idea para justificar el algoritmo es sencilla, otra cosa es que sea natural, o fácil de captar por el alumno de 1º-2º de primaria. Lo que hace el algoritmo es usar la propiedad de compensación: sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo. La diferencia se mantiene, y ya podemos hacer la cuenta. El lenguaje que se ha usado en España para presentar este algoritmo deja bien claro que la comprensión nunca ha estado entre nuestras preocupaciones a la hora de enseñar matemáticas.

La alternativa de la derecha, usada en el mundo anglosajón y en Asia (y llegando a nuestras aulas) consiste en desagrupar una decena, expresándola como 10 unidades. En el ejemplo, en lugar de 4 decenas y 2 unidades, tenemos 3 decenas y 12 unidades, y ya podemos seguir con el cálculo. Lo que he visto en las aulas es que se usa el término “prestar” y tampoco me parece adecuado, porque creo que deberíamos enseñar a nuestros alumnos que lo que te prestan tienes que devolverlo, y aquí no hay devolución posible. Creo que la verbalización del procedimiento debe estar adaptada al vocabulario de los niños, por supuesto, pero también debe reflejar el proceso de manera correcta. ¿Tomamos una decena, y la expresamos como 10 unidades? Quizá haya mejores alternativas. De nuevo, la experiencia de aula es imprescindible.

La mayor dificultad de la resta queda en evidencia al tratar de buscar un análogo del segundo algoritmo para la suma. No veo alternativa mejor que la que muestra la figura, basada en una idea que circuló por twitter hace unos días.

Seguramente sea un ejercicio interesante, para 1º de la ESO, para trabajar la aritmética de los enteros, y hacer eso tan importante, y que tan pocas veces hacemos, que es reflexionar sobre las conexiones entre diferentes temas. Pero si hablamos de algoritmo para la resta en 2º-3º de primaria, no me parece una alternativa.

En cuanto a los algoritmos ABN, en la figura se muestra un ejemplo. Me parece que la tabla es suficientemente explícita: voy quitando del número mayor, y cuando lo he quitado todo me encuentro resta-abncon la diferencia.

Para terminar, una breve comparación. Sobre los ABN, los comentarios son los mismos que para la suma. Y no es casualidad, porque las ideas subyacentes son exactamente las mismas, claro.

De nuevo aquí se puede aplicar el comentario final sobre la suma: una opción podría ser prescindir de los algoritmos en columna (y de las tablas de los ABN), trabajar (con números del tamaño adecuado al desarrollo de los alumnos) técnicas de cálculo pensado, y recurrir a la calculadora cuando los números sean más grandes.

Finalmente, mi opinión sobre las dos alternativas para gestionar “las llevadas”: no conozco ningún resultado basado en trabajo de aula, pero estoy convencido de que hacer reagrupamientos en el minuendo es más natural que usar la compensación aumentando el sustraendo. Y creo que hay cierto consenso en el tema, a juzgar por cómo la primera de las alternativas va ganando terreno en las aulas y en los libros de texto. Otra cosa son los problemas que la transición está causando, con libros que empiezan con una alternativa para luego usar otra más adelante, o colegios donde se hace algo parecido, o el desconcierto de algunas familias cuando se encuentran con que no saben cómo resta su hijo. Este es otro tema, que quizá merezca tratarse en otra entrada, esta ya es demasiado larga.

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Matemáticas de 3 a 7 años, Alexander Zvonkin

Es un placer anunciar que el libro de Alexander Zvonkin, Matemáticas de 3 a 7 años, del que hablé hace ya unos años, acaba de ser publicado en la colección Estímulos Matemáticos, una colaboración entre la Real Sociedad Matemática Española y la editorial SM. Más información, aquí.

A vueltas con los libros de texto

Como cada comienzo de curso, hemos asistido al cruce de argumentos habitual sobre el tema de los libros de texto, su excesivo coste, el buen o mal uso que se hace en las aulas, hasta he llegado a ver que el libro de texto, como concepto en sí mismo, no porque sea de mala calidad, es en parte responsable del fracaso escolar

Como llevo un tiempo sin escribir sobre el tema, creo que es hora de volver a tratarlo. Me gustaría centrarme en los aspectos puramente educativos, y para tratar de evitar que un posible debate se desvíe por otros caminos, voy a empezar con una serie de comentarios preventivos.

  • Sí, desde hace unos meses estoy involucrado en un proyecto editorial. No, esa no es la causa de que defienda, con los matices que sea, las ventajas de unos buenos libros de texto. La flecha de la causalidad va en dirección contraria: como siempre he pensado que un buen libro de texto es una buena herramienta, tanto para el profesor como para el alumno, cuando ha surgido la ocasión no he dudado en involucrarme en un proyecto que trata de llevar mejores textos de matemáticas a nuestras aulas.
  • Muchas de las quejas que se escuchan sobre el excesivo coste de los libros de texto en España pueden estar bastante justificadas. Pero eso puede tener que ver con el excesivo número de asignaturas que hay en todos nuestros niveles educativos (bueno, ahí la universidad es una excepción, creo que reducir el número de asignaturas en los grados fue lo más positivo de la “reforma Bolonia” de hace unos años).
  • Desde luego, el coste de los libros de texto no debería ser una barrera para el acceso a la educación de los niños de familias en situaciones económicas difíciles. Y me parece perfectamente defendible que los libros de texto los deberíamos pagar entre todos, vía impuestos, y no las familias. Pero es una decisión política, que se debe tomar en los foros correspondientes.
  • Un lugar común es que a las editoriales no les interesa la educación, que “solo quieren ganar dinero”. Bueno, eso es bastante cierto, ya lo pensaba y nada de lo que he visto últimamente me ha hecho cambiar de opinión. Pero eso no pasa solo con las editoriales y la educación, sino con casi todo en la sociedad en que vivimos, empezando por ejemplo con temas igual de importantes, como la alimentación o la sanidad. Si estamos tranquilos con respecto a lo que comeremos mañana (al menos, los que tenemos la suerte de disfrutar de una situación económica desahogada) no es porque tengamos alrededor entes solidarios que se preocupen de nuestras necesidades, sino porque confiamos en el afán de lucro del panadero, el supermercado, o el restaurador que ponen a nuestra disposición lo necesario, a cambio, claro, de un pago. El tema de la sanidad tiene todavía más aristas, como el papel de los laboratorios farmacéuticos en algunos de los escándalos que han surgido últimamente, el problema de la distribución de medicamentos en los países menos desarrollados, o la falta de investigación en el desarrollo de nuevos antibióticos, por las pocas perspectivas de rendimiento económico que tiene. Creo que los gobiernos deberían tener un papel mucho más activo en este tema, y corregir muchas de las prácticas que vemos. Lo que no me parece una alternativa es recomendar a los ambulatorios que cultiven sus propias cepas de penicilina. En resumen: no creo que sea ningún problema que las editoriales quieran ganar dinero. Creo que el problema es que en España lo consigan con productos tan mediocres.
  • Seguiré usando el término “libro de texto”, aunque es evidente que estamos en un proceso de cambio, y que no está nada claro qué tipo de materiales veremos en nuestras aulas dentro de 10 años, creo que falta mucho por aprender sobre las implicaciones cognitivas de distintas opciones, y hay datos como éste, como mínimo, dan que pensar.

Paso ya al debate estrictamente educativo.

  • El primer argumento que se suele escuchar es que “un buen profesor no necesita un libro de texto”. Eso es cierto, sin duda. Un buen docente (o, mejor, un equipo bien cohesionado) bien formado y trabajador puede hacer un trabajo estupendo sin libros de texto. Lo sé, conozco ejemplos. La pregunta importante es si esa práctica es generalizable a todo el sistema escolar. No es fácil conseguir datos fiables de esto, pero las informaciones que me llegan es que, en los países donde parece que las cosas funcionan razonablemente bien, uno de los factores que ayudan son unos buenos libros de texto. Si algún lector conoce algún país donde parezca que los resultados educativos son buenos, y que ha decidido prescindir de los libros de texto, me encantaría explorar el caso.
  • El problema es cuando se le da la vuelta a la afirmación anterior, cometiendo la falacia más común, la de dar la vuelta a una implicación que solo funciona en un sentido, y se afirma, o se transmite, que los profesores que usan libros de texto es porque no son tan buenos, o tan trabajadores, o les falta iniciativa. Y creo que esta visión se ha extendido bastante, en particular en nuestros centros de formación de maestros. La visión mayoritaria es que un buen maestro elabora sus propios materiales, y en lugar de prepararles para elegir buenos textos y usarlos bien se les prepara para que elaboren unidades didácticas. Aquí la universidad está a la cabeza, porque la ANECA, el organismo que rige la carrera profesional de los profesores universitarios (hay que ser evaluado por ella cada vez que queremos progresar), decidió hace años “dar puntos” a los profesores que elaboran sus propios materiales. Puestas así las cosas, cuando el profesor X tiene que impartir el curso próximo una asignatura como Cálculo para Ingenieros, tiene dos opciones:
      • recurrir a uno de los 3 ó 4 manuales estándar de la asignatura, que son los usados en las mejores universidades del mundo. Además de que no recibirá ninguno de esos puntos si opta por esto, tendrá que luchar contra lo poco acostumbrados que estarán sus alumnos a usar un libro de texto. La mayoría habrán recurrido a ellos solo para hacer algún trabajo, y para hacer los ejercicios K y L de la página J.
      • elaborar sus propios apuntes. En este caso, los alumnos estarán más contentos, y el profesor recibirá esos puntitos de la ANECA. Por supuesto, nadie comprobará si esos apuntes son buenos, malos o regulares. Esta situación me temo que va a peor, porque se está trasladando al procedimiento de evaluación de la docencia que están implementando cada vez más universidades, presionadas por la superioridad en ese sentido.

    Aunque cada vez es más complicado saber qué se hace en cada sitio (una consecuencia creo que desafortunada del desarrollo de los entornos de ayuda al aprendizaje virtual), no es difícil imaginar hacia dónde se deslizan las cosas con la actual estructura de incentivos …

  • Lo que me resulta más llamativo es que esta situación de una mayoría de estudiantes nada acostumbrados a usar con criterio libros de texto convive con el énfasis que se pone en la importancia del “aprender a aprender”. Es verdad que en estos tiempos cualquiera que quiera aprender algo tiene a su disposición materiales estupendos, pero me parece difícil que alguien que está aprendiendo tenga el criterio para elegir algunos de entre los más adecuados. Ya sé que hay experiencias realmente sorprendentes sobre lo que se puede conseguir en esta dirección, lo que no conozco es comparativas con lo que habrían conseguido esos niños con buenos libros de texto y buenos maestros a su alrededor.
  • Una imagen que escuché en una presentación de Marshall Cavendish, que no había oído, y que me ha gustado mucho, es esta analogía con la música: el libro de texto es la partitura, y el profesor es el intérprete. Me encanta el jazz, y por supuesto que valoro la música improvisada, pero también soy consciente de lo que aporta un buen intérprete a cualquier partitura, por muy escrita que ya esté. En el aula, un docente no tiene por qué limitarse a seguir mecánicamente el libro de texto, como a veces se critica. Cuando un niño dice “no lo entiendo”, o hace una pregunta interesante, o hace algo mal, la reacción del profesor para conducir la situación, localizar la dificultad de aprendizaje, o buscar un enfoque alternativo que solucione el problema, es lo que diferencia al docente excelente del bueno, o del menos bueno.
  • En resumen, a la afirmación del principio de “un buen profesor no necesita un libro de texto” (que como dije suscribo) contrapondría esta otra, que también me parece cierta: “un buen libro de texto es una excelente herramienta para cualquier profesor (y para los alumnos)”.

Los currículos en espiral

A raíz de este artículo publicado en El Español el pasado domingo, del vídeo donde se habla de la repetición de contenidos en España, y de su mención a cómo estudian las fracciones en Singapur, me han hecho algunas preguntas interesantes, y he pensado que la mejor forma de tratar de contestarlas podría ser rescatar una de las entradas en la cola de borradores, la dedicada al tema de los currículos en espiral.

Nuestros currículos, ya desde la LOGSE, están diseñados en espiral. Pero si nos fijamos en los currículos de Singapur, también dicen que su diseño es en espiral. Lo que sigue es un extracto de la introducción al currículo de matemáticas de primaria de 2007.

Care has been taken to ensure that there is continuity from the primary to the secondary levels. Using a spiral design of the curriculum, each topic is revisited and introduced in increasing depth from one level to the next. This enables students to consolidate the concepts and skills learned and then further develop them.

El 2013 cambiaron el currículo de primaria, y este curso llegan a 4º (van a curso por año, no como aquí …). Siguen mencionando el diseño en espiral, como puede comprobarse en esta página, donde también se puede ver la estructura general de las diferentes etapas educativas. Una aclaración preventiva: no tengo datos de cuántos alumnos cursan esas matemáticas fundamentales de 5º y 6º de primaria, ni estoy defendiendo esa separación tan temprana. Tampoco tengo datos de cómo funcionan esas pasarelas que aparecen en etapas posteriores de la estructura. Esos aspectos organizativos son relevantes, pero no me parece un tema estrictamente curricular. En todo caso, cuando se piense en ello merece la pena tener en la cabeza cuál es la alternativa que usamos en España, y que es la que parece que peor funciona: la repetición de curso.

Volviendo al diseño en espiral, puede ser un poco exagerado decir que en España estudian en todos los cursos lo mismo, pero me parece claro que hay demasiada repetición. Se introducen las fracciones en 3º, y en 4º de primaria ya suman fracciones (lo cual no me parece malo en sí mismo), pero algo falla, porque siguen repitiendo la suma en 5º y en 6º, y como cualquier profesor de primeros cursos de ESO podrá corroborar, sigue siendo necesario trabajarla en 1º y 2º de secundaria, y sigue siendo fuente de errores durante toda la etapa. Algo parecido pasa con la multiplicación y la división (empezando en este caso en 5º). Esto no es solo un problema de los alumnos con más problemas de aprendizaje. Ya sé que es solo una anécdota, pero me parece significativa: el otro día una compañera de departamento que imparte la asignatura de Probabilidad y Procesos Estocásticos en 2º de Ingeniería de Telecomunicación, me contaba que en un problema aparecía la suma de una serie, y que el obstáculo para una cantidad significativa de sus alumnos había sido darse cuenta de que \frac{1}{3^x}=\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^x. El problema me parece claro: en ningún momento se le dedica a cada cosa el tiempo suficiente para poder lograr un auténtico aprendizaje comprensivo, que es el único que permite que ese conocimiento siga allí cuando los alumnos vuelven de las vacaciones de verano.

En Singapur, por el contrario, no repiten los conceptos. Introducen el concepto de fracción, y comparan, suman y restan fracciones con el mismo denominador en 2º, en 3º tratan los mismos temas pero con el caso de denominadores distintos (eso sí, manteniendo los números del tamaño adecuado para que el alumno entienda lo que está haciendo), en 4º las fracciones impropias, la fracción de un conjunto, y los números mixtos (esto último me parece que sobra, se podría decir eso de “nadie es perfecto”), en 5º tienen dos temas, tratan la multiplicación y la división de una fracción entre un entero, y por último en 6º aparecen fracciones como divisores, y hacen un pequeño repaso. Por si algún lector quiere algún detalle más, aquí he reunido los índices de los temas de fracciones de los textos de Marshall Cavendish. No es el currículo oficial, pero el lector que compare estos índices con el currículo enlazado anteriormente comprobará que la precisión del currículo deja poco margen para los contenidos (no voy a entrar aquí en si esto es bueno o malo, seguramente es posible en un país pequeño, uniforme y centralizado como Singapur, mucho más complicado en España, pero ese es otro tema). Por supuesto en los conceptos y procedimientos tratados en cursos anteriores aparecen en actividades y problemas de cursos posteriores, pero creo que eso es completamente distinto a estudiarlos de nuevo. En cuanto a secundaria, en 1º aparecen cuatro páginas de repaso, eso es todo.

Un último documento: los índices de los libros de primaria. Creo que son suficientes si algún lector quiere hacerse una idea de cómo tratan otros temas.

Y un comentario final: decir que un currículo está diseñado en espiral no es decir gran cosa. El diablo está en los detalles, y un calificativo como ése se puede aplicar a realidades muy diferentes.

 

¿Campaña por un nuevo currículo de matemáticas?

Este año también me fui de vacaciones con la intención de volver con ideas para promover algún tipo de acción pidiendo una revisión de los currículos de matemáticas. Y supongo que, como en años anteriores, la intención se habría quedado en eso, sepultada por el resto de tareas que uno se encuentra de cara al comienzo de curso, de no haber sido por este tuit de hace unos días:

La imagen del tuit es la transparencia 54 del powerpoint de este informe, que me parece interesante en general.

Creo que la gran mayoría de los profesores estamos de acuerdo en que los currículos son demasiado extensos. De hecho, este problema ha empeorado con la LOMCE. Si los informes de organizaciones a las que se recurre tan a menudo cuando se habla de competencia matemática coinciden en que es mejor elegir menos contenidos, para poder tratarlos en profundidad, ¿no debería este tema llegar al debate social? Seguramente las asociaciones de profesores podrían ser la opción natural, pero mis (escasos) intentos en el pasado reciente han tenido resultado cero. Creo que ha llegado el momento de intentar sacar partido de las nuevas tecnologías, y ensayar la participación directa. El objetivo de esta entrada es (aparte de tratar de forzarme a dar el paso) pedir opinión a los lectores, y recabar ideas. ¿Conocéis alguna alternativa que pudiera ser más adecuada que Change.org?

Fin de curso … IX Escuela Miguel de Guzmán

Lo que me parecía imposible hace un año ha resultado no serlo tanto: este fin de curso ha sido todavía más ajetreado que el anterior. No es una queja, porque la mayoría de las tareas son estrictamente voluntarias, y estoy muy contento de cómo van. Algún viaje profesional, las evaluaciones de mis alumnos, el trabajo con los libros de Singapur que llegan a los coles el próximo septiembre y, como guinda, el trabajo en la organización de la IX Escuela Miguel de Guzmán. El objetivo de esta entrada es pasar a limpio mis conclusiones sobre estas jornadas, y que además esto sirva como cierre del curso.

Lo primero, tal y como me comprometí durante la Escuela, aquí están enlazados los materiales que varios de los ponentes y encargados de los talleres ponen a disposición de la comunidad. ¡Gracias!

Para empezar por el final, la sensación que me quedó al terminar la Escuela fue, como otras veces en estos casos, agridulce. Para ser justos, dulce, pero con un pequeño toque agrio. Por supuesto, fueron días llenos de debates interesantes, intercambio de ideas y propuestas, y muy formativos. El toque agrio viene de la sensación de que estábamos reunidos una parte de la comunidad docente que estamos de acuerdo en muchas cosas, pero quizá olvidando que sigue habiendo una mayoría a la que no llegan estos mensajes. Es verdad que hubo algunas intervenciones en los debates de participantes que manifestaron que participaban en este tipo de eventos por primera vez, que le habían interesado mucho, y que volvían a casa con muchas cosas sobre las que pensar. En resumen: objetivo cumplido, y un detalle en el que creo que podríamos mejorar, tratar de llegar a una parte mayor de la profesión.

Lo que quiero hacer en el resto de esta entrada es dejar por escrito algunos comentarios sobre las ponencias, incluyendo también alguna observación crítica, cuando toque.

Clara Grima, en la conferencia inaugural, nos demostró que se pueden decir cosas muy interesantes, y ser divertida, a la vez. No es algo que se vea con excesiva frecuencia en nuestro mundo …

Cecilia Calvo nos habló de las tareas ricas: su observación fundamental es que hay habilidades básicas que hay que practicar, pero que muchas veces esa práctica se puede hacer a través de esas tareas ricas, donde además hay involucradas actividades con valor cognitivo. En su presentación hay varios ejemplos, y en el espacio Puntmat muchos más. Me parece una propuesta muy interesante, con una sola debilidad: creo que para llevar esto al aula se necesitan docentes muy bien formados.

Juan Francisco Hernández, del Hispano-Inglés de Santa Cruz de Tenerife, nos habló de la clase invertida. Creo que merece la pena echar un vistazo a los materiales que ha puesto a nuestra disposición. No voy a entrar en el debate de fondo sobre la clase invertida, pero sí quiero mencionar que cuando se piensa en una metodología habría que tener en cuenta que una cosa es funcionar bien, o muy bien, con un docente – o un equipo docente – determinado (formado, trabajador, etc), y en un centro determinado, y otra cosa es que esa metodología sea generalizable al sistema escolar. Recomiendo estas reflexiones de El Lolaberinto sobre el tema.

Irene Ferrando habló sobre modelización. En su presentación (15 Mb) hay varios ejemplos muy interesantes. Por otra parte, aquí se aplica la misma observación del párrafo anterior, sobre metodologías “exportables”, y un comentario adicional: en un vídeo donde nos enseñaba un proyecto de estimación de la cantidad de papel de aluminio en un colegio (el proyecto me pareció muy interesante) vimos a un alumno con la famosa “escalera de las unidades”, subiendo peldaños y añadiendo ceros (¿o quitándolos?, nunca lo recuerdo). Los proyectos, la modelización, o la clase invertida, pueden ser buenas herramientas para motivar a nuestros alumnos (y esto es un valor en sí mismo, lo sé), pero creo que si no cambiamos algunas cosas de fondo, los resultados sobre el aprendizaje real serán limitados.

Para terminar, Lurdes Figueiral, la presidenta de la asociación de profesores de matemáticas de Portugal, nos presentó el currículo producto de la reforma de 2011. No recuerdo haber oído nada al respecto (sí, me temo que soy uno más de esa mayoría social que hace bien poco caso a lo que ocurre en nuestro vecino del oeste), pero parece que fue una reforma curricular bastante polémica, hecha en contra de la profesión. La impresión que trasladó Lurdes Figueiral fue muy negativa. Aquí está el currículo. El aspecto no es bueno, desde luego. Un interminable listado de contenidos … Una cosa, al menos, me gusta: los autores dan la cara, en primera página. La reforma se hizo bajo el mandato de un ministro de educación con formación de economista-matemático, Nuno Crato.

No asistí a ningún taller, fueron los ratos que dediqué a las gestiones organizativas, pero todos los comentarios que escuché fueron positivos.

En cuanto a las mesas redondas, al final las dos giraron en torno al tema de en qué debería consistir el aprendizaje matemático elemental (para mí, entendido como el correspondiente a la educación obligatoria) en estos tiempos. En la mesa de las calculadoras, Juan Emilio García nos mostró un par de vídeos que provocaron los momentos más hilarantes de la Escuela. Parece ser que los vídeos ya estaban en youtube. Yo no los conocía, y los quiero compartir aquí, porque además de divertidos me parece que tienen su interés didáctico.

El primero es una muestra perfecta de por qué hay que dedicarle algo de atención a enseñar a usar las calculadoras:

En el segundo, tres de las estrellas del humor español de los 70, con los cambios de unidades, y nuestra querida regla de tres …

Para terminar, como le dediqué cierto tiempo a pensar sobre mi intervención en la mesa redonda “Las matemáticas en la educación obligatoria del Siglo XXI”, pensé que sería buena idea guardar esas reflexiones de alguna forma. En lugar de escribirlas, lo que he hecho es preparar un vídeo, porque me ha servido además de primera práctica con la herramienta ActivePresenter. Su versión gratuita me ha parecido bastante potente, y sencilla de empezar a usar.

Sirva este vídeo (20 min) de despedida por este curso. ¡Feliz verano a todos los lectores!

¿Memorizar las tablas?

Otra entrada breve para responder a una pregunta surgida de este tuit (sigo con la idea de cerrar el curso con mis impresiones de la Escuela Miguel de Guzmán).

Es un tema muy interesante, sobre el que seguramente vuelva en el futuro, pero creo que puedo dar una primera respuesta rápida.

Creo que el punto clave es aclarar los dos posibles significados del término “memorizar” en el aprendizaje matemático. Uno puede estar hablando de “aprender de memoria” las tablas de multiplicar, como si fuera la lista de los reyes Godos, o los afluentes del Duero por la derecha. Esto es lo que pide el currículo LOMCE de Madrid donde, sin mencionar nada que tenga que ver con la idea de multiplicación, y en ¡1º de Primaria!, aparece un punto que dice “Memorizar las tablas del 0, el 1, el 2 y el 5”. Hay muchas barbaridades en el currículo de primaria de la LOMCE, pero creo que si tuviera que dar un primer premio esta sería mi elección.

Pero creo que también se puede usar el término memorizar refiriéndose al estado final de aprendizaje. Se puede trabajar la multiplicación, y uno de los resultados finales del proceso debería ser que el alumno sepa de memoria las tablas de multiplicar. No sé lo suficiente de psicología del aprendizaje (mejor dicho, no sé nada) para profundizar en las diferencias cognitivas, pero como matemático me parece claro que son enfoques distintos y que son el resultado de procesos de aprendizaje diferentes.

En el tema de las tablas de la suma es evidente que Aharoni está hablando de esta segunda forma de memorizar, porque se detiene a tratar el tema de cómo sumar dos números de una cifra, y del problema de pasar “la frontera del 10”, en el ejercicio de calcular la suma 8+5. Esta es una etapa crucial del aprendizaje de la suma. Los niños que aprenden/descubren técnicas de cálculo flexible, de descomposición numérica, y que piensan en 5=2+3 para concluir que 8+5 = 10 + 3 = 13, son niños que van en la buena dirección en el camino del aprendizaje de las matemáticas. Por el contrario, los niños que hacen esta cuenta basada en memorizar (en el primer sentido) las tablas de la suma, o simplemente contando, están avanzando en una dirección con peores resultados de aprendizaje.

En el tema de la multiplicación la cosa queda menos clara, me parece que por el problema del significado del signo “x” en la multiplicación, del “veces” o “multiplicado por” del que ya hemos hablado aquí. Me resulta muy significativo que un buen matemático (en el sentido de investigador en matemáticas) con amplia experiencia en aulas de primaria, se mueva en este tema de forma insegura. Está claro que es un tema que no tenemos resuelto. Mi impresión es que si adoptamos el término “veces”, el significado de la multiplicación queda mucho más claro, y el aprendizaje de las tablas de multiplicar puede estar basado en la comprensión. Sobre este tema espero poder dar algo más de información durante el próximo curso. En los libros de 2º de Primaria de Polygon ya aparecen las tablas (el 2, el 3, el 4, el 5 y el 10), y estarán presentes en algunas de nuestras aulas este próximo curso.

Por último, sobre el libro de Aharoni. Lo tenía un poco aparcado, pero este tema me ha hecho revisarlo, y coincido con @danicapoblog en que sería muy positivo tener el libro accesible en castellano, como ayuda para esas familias, me parece que cada día más numerosas, que son conscientes de los problemas en el aprendizaje matemático de sus hijos, pero que no terminan de entender cuál es el problema de fondo, o que no tienen las herramientas para luchar contra él. Me apunto el tema para septiembre.