Measurement, de Paul Lockhart

Se trata de un libro realmente excepcional. Ya había mencionado a Paul Lockhart en este blog, en concreto su lamento; en él expone su visión negativa sobre cómo estamos presentando las matemáticas básicas a los chicos. En Measurement Lockhart nos presenta el lado positivo, su visión de cómo se podrían presentar muchos de los conceptos más profundos de la geometría y del análisis. Su propuesta es original y realmente brillante.

No es fácil que un libro de matemáticas sea a la vez interesante para el iniciado y accesible para el profano, pero creo que este libro lo consigue. Desde luego, personalmente he encontrado montones de ideas interesantes, y creo que un lector con formación matemática básica también podría entender la mayoría de los contenidos del libro. Eso sí, Lockhart es honesto desde el principio y abre el libro avisando de que la belleza de las matemáticas requiere esfuerzo y reflexión. Como él dice, la única forma de aprender matemáticas es haciendo matemáticas, y en el texto intercala cuestiones y problemas que deja para el lector (no, no es un libro que incorpore las soluciones de los problemas).

Creo que el secreto del libro es saber elegir el enfoque más accesible para cada idea. La primera parte arranca del problema de medir para presentar muchos de los conceptos más importantes de la geometría clásica. Es difícil elegir un tema: uno de los muchos que me ha gustado es el tratamiento que hace de las cónicas, y quiero mostrar un ejemplo de parte del tratamiento que hace de las elipses.

Hay tres formas de introducir la elipse: (1) una circunferencia deformada; (2) una sección cónica; (3) la definición métrica.

proyeccionQue la (1) y la (2) son equivalentes es sencillo de ver, a condición de presentar la elipse como la sección de un cilindro, en lugar de la tradicional del cono. Puede parecer un detalle sin importancia, pero creo que en estos pequeños detalles está muchas veces la clave del éxito: elegir con cuidado el mejor argumento, y no tener miedo de salirse de los caminos usuales. Si consideramos la curva intersección de un cilindro con un plano, su proyección ortogonal es una circunferencia. La figura muestra cómo en una proyección ortogonal las medidas en la dirección paralela a la recta de intersección de los planos no cambian, pero en la ortogonal sí.

Pero lo mejor viene ahora: también es fácil ver, sin una sola cuenta, que el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante, es el mismo objeto geométrico. El resultado es de Dandelin, de 1822. La idea se muestra en la figuelipse-cilindrora. Si colocamos dos esferas (con el mismo radio que el cilindro) y tocando el plano de la elipse, los puntos de tangencia resultan ser los focos.

Para comprobarlo, fijémenos en la distancia entre un punto P de la curva y f1. Las tangentes desde un punto a una esfera forman un cono, y la distancia entre el vértice de ese cono y el punto de tangencia en la esfera es la misma para todas las tangentes. Por tanto, la distancia entre Pf1 es la misma que la distancia entre P  y la circunferencia donde la esfera es tangente al cilindro. Pero esto quiere decir que la suma de las distancias de un punto de la curva a los focos no es más que la distancia entre las dos circunferencias donde las esferas son tangentes al cilindro. Precioso, ¿no?

La primera parte del libro está repleta de contenidos tan interesantes como éste, y por sí misma ya merece la pena, pero es la segunda parte la que me ha resultado más sorprendente, e interesante. A partir del problema del movimiento y de la velocidad, Lockhart introduce el cálculo diferencial, y después el integral. Y lo hace de una forma original y muy bien conseguida. Mi formación en estas áreas fue con el formalismo de Newton, ampliamente mayoritario prácticamente desde los orígenes del tema, y los diferenciales de Leibniz no eran más que un truco para aplicar ciertas reglas mnemotécnicas de forma más sencilla. Lockhart usa los diferenciales de Leibniz a lo largo de todo el tema, y me deja con la duda de si el cálculo diferencial e integral no resulta mucho más fácil de entender de esta forma, al menos para funciones “razonables”, que son las que la mayoría de los científicos e ingenieros se van a encontrar en sus disciplinas.

En resumen, un libro absolutamente recomendable.

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10 pensamientos en “Measurement, de Paul Lockhart

  1. Hola pedro, quería preguntarte por un método que se usa bastante en concertadas llamado EntusiasMat y que venden como basado en las inteligencias múltiples de H. Gardner. ¿Lo conoces? ¿Qué opinión te merece? Gracias y un saludo cordial

    • No, no había oído hablar de EntusiasMat. He echado un vistazo, y no tienen mal aspecto. Hay que partir de la base de que mejorar sobre las prácticas más extendidas es muy, muy fácil. Tendría que poder echar un vistazo a materiales de primaria, para tener una opinión más concreta. Un detalle que no me ha gustado de un vídeo publicitario que he visto es a una clase de niños muy pequeños aprendiendo a contar de la forma usual, con números ya de dos cifras.

  2. Y otra pregunta: usted qué haría su fuera padre y no fuera matemático – ni ingeniero ni de ciencias – y le espantase – por rutinaria y superficial – la metodología que están empleando en el colegio de sus hijos. ¿Cómo plantearía la enseñanza de las mates en casa? Gracias

    • Uff … esta sí es difícil … Cuando mis hijas cursaban 3º, 4º, 5º de Primaria, lo que veía que hacían en el cole era sin duda la principal fuente de frustración en mi vida … No es que la cosa haya mejorado, pero supongo que te acostumbras. Un matemático en casa ayuda, desde luego, pero no es sencillo arreglar los desperfectos del cole. Mis hijas no tienen problemas con las matemáticas escolares, pero es muy frustrante ver cómo de difícil es que aprecien la disciplina, con el enfoque que tienen en secundaria y bachillerato. Qué hacer depende un poco de la edad. Si sus hijas ya están cerca del final de primaria, creo que lo mejor es intentar que algún maestro del cole se interese por actividades como el Concurso de primavera de matemáticas. Si no vive en Madrid, hay actividades parecidas más o menos por todas partes. Si en el colegio no son receptivos al tema, puede intentar contactar con la asociación de profesores de matemáticas de su comunidad.

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