La entrada de hoy es esencialmente una petición de ayuda. El currículo de matemáticas de Bachillerato puede ser desmesurado, pero el de Dibujo es simplemente absurdo. De entrada, reconozco (con algo de vergüenza) mi completa ignorancia de las construcciones geométricas. Algo estudié, claro, pero todo estaba olvidado, y las pocas que ahora entiendo son las relacionadas con mis clases de magisterio. Y son realmente básicas, claro.
El caso es que, en el trimestre correspondiente, mi hija venía el año pasado con una construcción geométrica para hacer, y la mayoría de ellas están basadas en trucos, algunos realmente ingeniosos. Al final, muchas veces recurría a buscarla, y aparecía una página con la receta correspondiente: pincha aquí el compás, traza esto por allí, haz esto y esto otro, y ¡tachán! esto es la solución. Unos cuantos ratos le dediqué al tema de descifrar por qué funcionaban algunas de esas construcciones (no me quejo, fue divertido, y eso también son matemáticas). Y otras muchas veces me di por vencido.
Hoy volvemos a la carga:
Dibuja un rectángulo áureo equivalente a un cuadrado dado.
(Equivalente: de igual área, terminología estándar en dibujo).
Esta no la encuentro, y es lo que me ha decidido a escribir esta entrada de auxilio. Puestos a pedir la luna, ¿algún lector conoce un libro o un sitio web donde se expliquen estas construcciones y por qué funcionan? Y ya, más realistas, ¿algún sitio donde estén bien presentadas?
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
Yo tengo muy olvidadas las matemáticas que hay tras este tipo de cuestiones; pero puedo recomendarte el libro en el que aprendí esas matemáticas:
“Lecciones de álgebra y geometría: curso para estudiantes de arquitectura” de Claudi Alsina y Enric Trillas
https://books.google.es/books/about/Lecciones_de_%C3%A1lgebra_y_geometr%C3%ADa.html?id=z1pBcAAACAAJ&redir_esc=y
Es un libro que trata la geometría y su álgebra de forma muy elegante, bella y con unas matemáticas exquisitas, aunque de cierto nivel.
Muchas gracias, trataré de localizarlo.
Le estoy dando vueltas: ¿qué significa ahí «equivalente»? ¿De la misma área?
Si, igual área. Siento el descuido, es terminología estándar en dibujo …
¿Algo como la octava página de esto pero al revés? http://ies.altair.getafe.educa.madrid.org/archivos/distancia/cartas%20de%20programacion/dibujo/dibtec2bachsoluguia.pdf
Eso es. El del cuadrado a partir del rectángulo parece ser popular, está en muchos sitios (pero en ninguno que haya visto está explicado como en estos apuntes, son los más razonados que había visto, me serán útiles ¡gracias!)
Hice dibujo técnico en el Pleistoceno y nunca vi esas construcciones tan enrevesadas. Era todo razonado y razonable y mucha visión 2D 3D.
¿Qué competencia se supone que cubren esas construcciones en el currículum? (Pregunta seria. No retórica)
También yo hice dibujo técnico. No me fío de mi memoria, pero creo que cosas como las que veo ahora con mi hija me habrían dejado huella …
Mi impresión es que hemos entrado en barrena, y que cada vez ocurre con mayor frecuencia que «exigir más» se convierte en aprender más cosas de memoria.
Y has mirado las competencias de dibujo? Porque igual estamos otra vez en que el BOE dice una cosa y las editoriales interpretan otra. Y como los profes leen más libros de texto que BOEs…. pues se lía parda
Lo de las competencias solo me produce melancolía. ¿Cuándo vamos a aceptar que no sirven para concretar un currículo? Que uno puede interpretar ser competente en la cocina como saber hacer unos espaguetti con tomate de lata, y otro como empezar un curso para obtener una estrella michelín … Si quieres la referencia del currículo de dibujo, te la mando, la tengo localizada.
No entendemos muy bien el idioma, a nivel matemático cual seria el problema encontrado?
Dado un cuadrado, se trata de construir, con regla y compás, un rectángulo áureo (la razón de sus lados es el número áureo) que tenga área igual a la del cuadrado.
¿El número áureo se «realiza» con regla y compás? Creo que si. ¡O quizá me equivoco!
Sí, claro, eso es fácil. Otra cosa es tener un cuadrado de área A, y construir con regla y compás un rectángulo áureo de esa misma área …
El problema inverso, dado un rectángulo áureo construir un cuadrado de la misma área, también es más o menos sencillo.
Al final de lo que se trata, si no me equivoco, es de construir la raíz cuadrada de phi menos uno. Sería interesante como problema de matemáticas (deducir que se trata de construir ese valor) o de dibujo una vez que se ha aprendido a construir phi y a construir la raíz de una longitud, y siempre que se trate de eso, de un problema para pensarlo (un poco enrevesado, eso sí). Yo también hice dibujo en COU, me gustaba mucho pero muchas cosas las aprendí de memoria y las olvidé (no recuerdo esta) hasta que luego, en la carrera de matemáticas o por mi cuenta, entendí por qué esas construcciones son así (como la de phi y el pentágono regular, que no se suele explicar en dibujo, me temo). Es un problema bonito pero creo que no tiene sentido si se va a buscar en un libro y aprender de memoria, aunque por desgracia ésa es una forma de funcionar muy extendida en nuestro sistema educativo.
Estamos de acuerdo, es un problema bonito, y difícil …
Mi percepción es que la estrategia de memorizar las construcciones sin entenderlas no es la excepción, sino más bien la regla. Algunos de mis alumnos de magisterio han cursado dibujo en bachillerato. Todavía no me he encontrado ninguno que me sepa explicar la construcción más sencilla que uno pueda imaginar, como la tangente a una circunferencia desde un punto exterior.
Si no me he equivocado en los cálculos es equivalente a decir que (10 x (5)^{1/2})^{1/2} y L/5, donde L es el lado del cuadrado se pueden construir ambos con reglas y compás, y efectivamente es así, y por lo tanto se construye simplemente un rectángulo áureo de lados a y a/2(5^{1/2}/2+1) donde a es el producto de los dos números de arriba.
Puede ser, pero creo que no encontrarás un profesor de dibujo que dé por buena esa solución …
Con regla y compass no hay otra manera que yo sepa
Lo que si es sorprendente es que en la asignatura de dibujo del instituto pidan de hacer algo que no pueden justificar a los estudiantes, quiero decir, que el problema se puede resolver, visto que para esto hay que estudiar las extensiones cuadráticas de los enteros y dar una condición algebraica para una construcción geométrica con regla y compás. Me imagino que si es así el que enseña esta asignatura tampoco sabe porque se puede resolver el problema!
Exactamente, creo que ese es el punto importante.
Me ha parecido interesante; he pasado un buen rato buscando información.
a) De este problema específico, en el libro «Geometría sagrada» de R. Lawlor hay una justificación más matemática, aunque no estoy seguro de que sea la misma construcción. Te enlazo la versión en inglés en issuu: ( pág. 51-52, fig. 5.1.d)( yo tengo la versión en papel, en castellano de la ed. Debate)
b) En un libro clásico del enfoque algebraico ( extensiones de cuerpos y Galois), G.E. Martin «Geometric constructions» ed. Springer Verlag, no aparece nada relativo a este tipo de construcciones, por lo que sospecho que no se caracterizan igual que los clásicos de «regla y compás» de las matemáticas algebraicas.
c) Sin embargo, en otro clásico, esta vez Español, «Elementos de Geometría racional», Rey Pastor y P. Puig Adam, vol 1, cap. V «Construcciones y lugares geométricos», y cap. VII, «La equivalencia y las áreas» si que caracterizan los métodos constructivos para pasar, por ejemplo de un cuadrilátero de área conocida a otro con la misma área «equivalentes» los llaman. ( De este tengo sólo versión papel).
d) Por último, en «Geometría métrica» Vol 1. de Puig Adam, hay un extenso análisis de este enfoque, tal como en su referencia conjunta con Rey pastor: cap ix, equivalencia y areas, pags, 167 y sigs:
https://es.scribd.com/doc/213979189/Puig-Adam-Geometria-Metrica-i
(si no te deja verlo completo, prueba con https://simply-debrid.com/)
Hasta hace poco, los libros de Puig Adam, de geometría métrica, se seguían recomendando en asignaturas de ing. industriales y de diseño, para un apartado específico que solía llamarse «trazados de dibujo geométrico». Ahora creo que ya no se incluyen ni esos libros ni ese apartado, se le ha dado más importancia, logicamente a temas de diseño cad, etc. No entiendo el motivo de incluirlos en el currículo de bachillerato, pues en efecto los que se lo aprendan, lo harán como una simple receta, para luego soltarla si es materia de examen y olvidarla inmediatamente. Efectivamente, no pasa esto sólo en matemáticas….
Saludos.
Vaya, leyendo con más calma la demostración del «sacred geometry», compruebo que el rectángulo marcado en la figura 5.1.d es de área igual al cuadrado inicial, pero NO es rectángulo aureo, luego no resuelve el problema que planteabas. Me precipité.
También veo que se me olvidó incluir un enlace:
http://www.aprendematematicas.org.mx/tutoriales/cg.html
Es una buena colección de dichos métodos de construcción con regla y compás, en plan receta, eso si, pero veo interesante el apartado «álgebra geométrica y geometría clásica», donde enlaza a un pdf en el que junto a la construcción se añade una explicación algebraica.
Por último, en https://es.scribd.com/doc/24746286/geometria-plana-t, hay una exposición más de esas «recetas» de construcciones planas, que por lo que veo coincide sospechosamente con buena parte del libro «trazados geométricos» de Carreras Soto.
Saludos.
Muchas gracias por las referencias, aunque no aparezca este problema serán útiles en los próximos meses. En casa saldremos del paso, eso no me preocupa. Lo frustrante es ver qué se está haciendo en algunas aulas. ¿En cuántas? Claro, nadie lo sabe, pero a juzgar por lo que se ve por internet este enfoque de pura receta está muy extendido.
Justo veo ahora un post de Dan Meyer, como siempre interesante, hablando del aprendizaje de recetas y el enfocado a la comprensión: http://blog.mrmeyer.com/2016/teaching-for-tricks-or-sensemaking/
Si te llama la atención este modo de actuar con contenidos matemáticos en otras materias, deberías saber cómo se suele enseñar en 1º de ESO la conversión de unidades en Ciencias Naturales, o la notación científica en Tecnología, Biología y Física y Química de 3º, o cómo despejar una incógnita en la Ley de Ohm en Tecnología de 3º, o la derivada en F&Q de 1º de Bachillerato…
Sé de lo que hablas, créeme, con esos otros ejemplos. No había hablado de ello supongo que porque me ha incordiado menos, porque personalmente no me han supuesto ningún problema.
Y también creo que hay otro matiz: en esas otras asignaturas, esos «trucos matemáticos» son una herramienta para lo otro. Creo que puedo llegar a comprender (que no compartir) la postura de «no voy a perder tiempo en que entiendan esto, que despejen como sea y que nos podamos dedicar a mi materia». Pero me parece que el caso del dibujo es distinto: el único objetivo de estudiar geometría métrica es pensar sobre las construcciones, no trazar segmentos y arcos de circunferencia.
Lo que pasa con el rectángulo áureo y el dibujo técnico creo que entra dentro de un proceso de degeneración global del estilo «contenidos» versus «contextualización» que afecta a todos a nivel general, cuando los temarios los «actualizan» analfabetos funcionales con la colaboración de sus productos es decir docentes que también son analfabetas funcionales. En Italia por ejemplo, esto es lo que hay: http://smarcell1961.blogspot.com.es/2016/06/la-matematica-del-liceo-e-il-compito-di.html?m=1
Por lo que he podido entender, leyendo en diagonal (entender italiano no es tan sencillo, y la traducción automática es horrorosa), parece claro que en Italia están atascados en el mismo punto. Técnicas rutinarias, aprendizaje mecánico y hacer cuentas rápido frente a razonamiento y resolución de problemas.
Resulta que el problema no es tan complicado. Al menos, hay una solución más o menos sencilla si uno mezcla adecuadamente geometría y dibujo. Lo que no sé es si esto le gustará al profe de dibujo …
Si el cuadrado tiene lado a, construimos k*a, donde k es la raíz del número áureo. Luego construimos un rectángulo áureo de esa base (cuya altura resulta ser a/k) y listo.
Las operaciones que hay que hacer para ese proceso son «estándar» en dibujo. Buscando como constuir la raíz de un número me encontré con este vídeo https://www.youtube.com/watch?v=_eOfIzIhZgY , que me parece un ejemplo perfecto del sinsentido de las construcciones explicadas de forma mecánica, porque esa construcción sí es fácilmente entendible, en términos de la geometría ya conocida por los alumnos.
Te queda aun sacar la raiz del aureo o bien de la raiz de la raiz de 5
lo de construir la raíz cuadrada de una cantidad conocida es una de esas cosas que mencionaba como «estándar en dibujo». Se explica en el vídeo que enlazaba en mi comentario anterior, y de verdad que su visión me parece recomendable (son 4 minutos) para comprobar cómo hacen las cosas algunos profesores de dibujo.
Ha sido un debate muy interesante, y ha generado montones de informaciones útiles.
Muchas gracias a todos.
Por supuesto, si mi hija vuelve a casa con otra solución «mas de dibujo», informaré de ella convenientemente.
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