Stop teaching calculating, start learning math! Si tuviera que rebautizar este blog, en inglés, me parecería un título perfecto. Creo que es suficiente razón para que no pueda dejar de recomendar una conferencia de Conrad Wolfram (el de Wolfram Alpha) con ese título. Me parece que lo justo es referenciarla a través del blog de Belén Palop, la amiga que me la recomendó. Suscribo todo lo que dice, aunque es verdad que quedan muchas cosas en el aire: a qué se refiere exactamente con «unos pocos cálculos básicos que sí habría que aprender» y, sobre todo, cómo habría que diseñar esas «nuevas matemáticas». Porque no es evidente, en absoluto, cómo introducir los conceptos y los problemas para que la capacidad de cálculo que tenemos a nuestra disposición ayude a la comprensión, y ayude a «aprender matemáticas».

Pero de lo que quería hablar hoy es de proporcionalidad. Creo que esta semana he dado un paso más en la comprensión de las dificultades de aprendizaje de la proporcionalidad y creo (espero) haber llegado al fondo, al menos en lo que respecta al tema que quiero tratar. Todo surgió a raíz de este problema (recuerdo que doy clase en magisterio, todos mis alumnos son mayores de edad):

Si preparamos una sangría con la siguiente receta: 2 medidas de zumo, 1 medida de ginebra (con 2/5 de alcohol) y
5 medidas de vino (con 1/8 de alcohol), ¿cuál será la proporción de alcohol en la bebida resultante? Da el resultado como
fracción irreducible.

Es un problema que, con alguna variante, llevo proponiendo desde que empecé en magisterio, en el curso 2010-2011. Unos alumnos sabían hacerlo, otros no, pero no había llegado a entender dónde empezaban las dificultades de estos últimos. ¿Que por qué este año ha sido distinto? Bueno, creo en cierto sentido el proceso es incremental: una vez entendida una dificultad, estás en mejores condiciones para detectar la que puede haber por debajo de la anterior. Pero también es cierto que cada año soy más consciente de la importancia de dedicar el tiempo necesario a un problema donde aparecen dificultades, que es mucho más efectivo hacer la mitad de problemas, pero aprovecharlos al máximo. Y, por último, cada año me esfuerzo más en crear el ambiente necesario para que se atrevan a preguntar, por «tonta» que parezca la duda. El caso es que ante la pregunta ¿está claro el enunciado? una alumna preguntó: pero el alcohol del vino, ¿es 1/8 en cada vaso, o 1/8 de los cinco vasos? Mi reacción fue explicarlo como algo «evidente», que era un problema sólo para esa alumna. Pero enseguida me di cuenta de que las cosas no marchaban, y cuando les pregunté la mitad de la clase reconoció que no veía nada claro que las dos alternativas fueran exactamente la misma. Evidentemente quedó claro que había una falta de comprensión muy profunda, que había que solucionar, y tras un par de intentos que funcionaron a medias, el que realmente convenció a la audiencia fue el de la figura, con la pregunta: si tengo una pared con cinco ladrillos, y pinto 1/8 de cada ladrillo, ¿qué proporción de la pared he pintado? (Una vez más, la geometría al rescate).

Me parece que hay pocas ideas más básicas que ésta en proporcionalidad, y en ese entido decía antes que creo haber «llegado al fondo». También creo que merece la pena comentar que algunos de los alumnos que confesaron su falta de comprensión son de los «aplicados», que no tienen ningún problema en seguir la parte más «estándar» de la asignatura, y que apostaría a que fueron alumnos más bien brillantes en secundaria.

Un último comentario: tras haber probado varias alternativas, creo que esta misma idea es la más efectiva para modelar este tipo de problemas. Una vez que los alumnos entienden que el problema de la sangría es exactamente el mismo que la pregunta de qué parte del rectángulo de la figura he pintado de azul, todo resulta sencillo. (Con lo que no hubo ningún problema fue con el «1/8 de 5/8», esa dificultad fue obvia el primer año, y desde entonces le dedico el tiempo suficiente en la teoría).