El máximo común divisor

El pasado sábado hubo una interesante conversación en twitter alrededor del máximo común divisor y los algoritmos para calcularlo. @druizaguilera proponía este diagrama conjuntista para determinar los factores comunes: mcd-conjuntos

@raulf aportó este otro enfoque:

mcd-cuadraditos

 

todo empezó con este tuit del pasado 7 de febrero: https://twitter.com/dacilgonz/status/696336412078186498

Estos días he seguido dándole vueltas al tema, y han cristalizado algunas ideas sobre las que llevaba tiempo pensando.

El primer comentario es que los métodos propuestos son realmente algoritmos para calcular intersecciones de multiconjuntos, y mi gran pega es que enseñan muy poco sobre qué es el máximo común divisor. Mi impresión es que la mayor dificultad de este tema no es el cálculo, sino la comprensión del concepto, para poder aplicarlo en la resolución de problemas. Del vídeo que enlacé en su día sobre lo que hacían mal en Singapur en los años 70, me interesa cada vez más una de las cosas que se mencionan: los procedimientos y la comprensión conceptual hay que trabajarlos en paralelo (el vídeo dura 5 min, y este tema se empieza a tratar a los 40 seg):

Para trabajar en paralelo la comprensión y el cálculo del mcd (y del mcm) me parece más interesantes las actividades que proponen Cecilia Calvo y David Barba en su trabajo publicado en SUMA, y que los autores han puesto aquí (vía @druizaguilera).

El tema del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo lo trato en magisterio, a todos los alumnos les suena la receta de “factores comunes …”, y lo hacen bien, en general, sin necesidad de procedimientos ad hoc. Lo que me sorprende es que ninguno parece estar familiarizado con el hecho de que a partir de la factorización de un entero es fácil escribir el conjunto de sus divisores, lo cual es tanto como decir que no tienen idea de por qué funciona la receta que usan para calcular el máximo común divisor. Creo que es un tema sencillo de entender, no hay más que pararse a comparar el conjunto de divisores de un número como 36 con su factorización. La relación entre factorización y divisores da mucho juego (estos temas han sido para mí un descubrimiento reciente, a raíz de impartir clases en magisterio: la aritmética elemental está llena de relaciones que dan lugar a auténtico pensamiento matemático). Por ejemplo, a partir de la relación entre factorización y divisores se pueden contar el número de divisores de un entero: si n = p^2\cdot q^3\cdot r (p, q y r son números primos distintos, claro), entonces n tiene 24 divisores. A la inversa (examinar un problema al revés es una de las mejores formas de profundizar en su comprensión), puedo construir números con, por ejemplo, 18 divisores, de estas formas: p^8\cdot q, $p^5\cdot q^2$, p^2\cdot q^2 \cdot r. ¿Cuál es el número más pequeño que tiene 18 divisores?

Hay otro aspecto quizá incluso más importante. Los pedagogos dicen (y en este punto estoy de acuerdo con ellos) que algo se ha aprendido de verdad cuando el conocimiento se puede transferir a otra situación. Y aquí radica la extraordinaria potencia del método matemático: que las ideas y las estrategias que involucra son transferibles a una cantidad sencillamente sorprendente de situaciones. Cuanto más especializado sea un procedimiento, menos transferible será. No dudo de que las propuestas del principio de esta entrada sean útiles para que los alumnos hagan los cálculos necesarios para superar el examen correspondiente, lo que dudo es qué quedará de todo eso un año después de haber hecho ese examen.

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2 pensamientos en “El máximo común divisor

  1. Por mi experiencia trabajando estas cuestiones en 1º de ESO (desde la factorización hasta la aparición de los divisores “ocultos” agrupando los factores primos), me temo que no todos los alumnos de 11/12 años(muchos entran con 11 en 1º y esta unidad suele ser la 1ª o 2ª) tienen la capacidad aún para entenderlo así. , sobre todo cómo encontrar el número de divisores a partir de los exponentes. (Imagino que esta sensación de inutilidad de lo explicado es la que habrán sufrido muchos compañeros que no enseñan cómo resolver ecuaciones con propiedad, y por eso han dejado de hacerlo y recurren al “lo que está sumando pasa restando”)
    Sería realmente útil saber si hay investigaciones sobre el razonamiento multiplicativo alrededor de esta cuestión, que supongo que también engloba pensamiento algebraico.

    • No pretendía sugerir que en 1º de la ESO se pueda tratar el tema en general, tal y como lo presentaba en la entrada. Pero algo se tiene que poder hacer, aunque sólo sea comparar la factorización de 12 con sus divisores. Y eso es importante para entender la divisibilidad, y captar algo de la idea detrás del algoritmo para el cálculo del mcd. Estoy de acuerdo en que el razonamiento multiplicativo está poco desarrollado: la razón me parece la de siempre, lo que se trabaja en primaria es poco más que las tablas de multiplicar. En mi texto de 1º de primaria incluí esta actividad: un niño tiene 3 pantalones de colores distintos, y 2 camisetas distintas. Colorea las formas en que puede vestirse. La he probado en algún niño cercano, y no les planteó dificultades. Creo que conseguiré enterarme en algún momento qué tal ha funcionado en el aula.
      Sobre la sensación de inutilidad, lo sé, la entiendo, y creo que cualquier profe la experimenta en primera persona, aunque sólo sea cuando corrige los exámenes. Pero creo también se debería reflexionar sobre la “inutilidad invisible”: les entreno en esa receta clarita, y una mayoría razonable lo hace bien en el examen, bien. ¿Y qué ocurre un año después?
      Como siempre, muchas gracias por la reflexión.

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