Los determinantes y la regla de Cramer

El fin de semana pasado, este tuit

originó un debate muy interesante que terminó en torno al valor del cálculo de determinantes en 2º de Bachillerato, y en el interés de la regla de Cramer para resolver sistemas lineales.

Me quedé con la idea de escribir una entrada, aunque fuera breve, para contestar a este último tuit de @ER_enrique:

Lo primero que querría decir es que seguramente sea radical en este tema no por falta de respeto a los algoritmos, sino porque los valoro y los respeto mucho. Una parte relevante de mi trabajo de investigación de los últimos 25 años estuvo dedicada a la búsqueda de buenos algoritmos para resolver problemas geométricos, en el área que se conoce como Geometría Computacional. Esta versión en inglés de Wikipedia tiene una descripción muy completa del área.

Pero de lo que me interesa hablar aquí es de qué significa conocer un algoritmo, y qué valor formativo tiene. Supongamos que conocer el algoritmo de Cramer significa memorizar un proceso como:

Para resolver un sistema lineal 3×3, hago lo siguiente:

  1. Calculo el determinante de la matriz del sistema.
  2. Calculo los determinantes que obtengo al sustituir cada columna por la columna de términos independientes.
  3. El valor de cada variable es el cociente correspondiente.

Entonces estoy cada vez más convencido de que el valor formativo de conocer y ejecutar esto es cero, y que es equivalente (desde el punto de vista formativo) a decir: usa tu software o herramienta algebraica preferida, teclea el sistema y lee la solución.

No se trata de cargar las tintas con los profesores, ya sé que tenemos la restricción del currículo. Por eso precisamente traté de lanzar esta campaña hace unas semanas. Lo que haga cada docente en su aula, mientras tengamos los currículos que tenemos, es obviamente una decisión personal (y complicada), y lo que querría argumentar en el resto de esta entrada es por qué el algoritmo de Gauss, me parece más formativo que el de Cramer.

La idea del algoritmo de Gauss, transformar un sistema en otro equivalente sencillo de resolver, es muy intuitiva, y convencer a los alumnos de que hay un par de operaciones elementales que transforman mi sistema en otro equivalente también me parece accesible. Quizá no formalmente, pero lo que sí se puede hacer es convencer al alumno haciendo un par de ejemplos.

Dicho esto, lo que me parecería realmente formativo (y quizá ambicioso, sí) es proponer que los alumnos programaran el algoritmo de Gauss. No es tan complicado, dejando aparte por supuesto temas de estabilidad numérica. Una de las pocas cosas que recuerdo de mi COU es cuando me puse a programar el algoritmo en BASIC, en un ZX Spectrum recién llegado a casa. Ver que aquéllo me daba las soluciones de un sistema 20×20 moló mucho.

Para terminar, en medio del debate de twitter le eché un vistazo a los currículos que tenía a mano: Alemania (bueno, un Länder, que allí tienen la educación más descentralizada que en España), Francia, Gran Bretaña y Singapur. En ninguno de esos lugares tratan los determinantes en sus equivalentes al bachillerato.

Una mención especial al currículo francés, que no conocía. Me parece realmente amplio, supongo que en línea con la conocida fama de exigencia del Baccalauréat francés, pero es amplio en direcciones distintas a las nuestras (y creo que mucho más interesantes).

 

 

 

 

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14 pensamientos en “Los determinantes y la regla de Cramer

  1. Muy de acuerdo contigo. Terminar de resolver un sistema por Cramer y utilizar una máquina que lo haga aporta lo mismo. Otra cosa es el estudio de un sistema por rangos de matrices.
    Es más interesante para su formación el método de Gauss y una vez ya dado en primero quizá la idea de programar el algoritmo en segundo sea muy buena, así cubrimos parte del Bloque I de estándares

    • Asumiendo el riesgo de pasarme de quisquilloso, yo incluso me plantearía eso de “estudiar un sistema con rangos de matrices”:
      haces ceros, y te encuentras una ecuación que dice 0=5. Está claro que no hay solución.
      haces ceros, y te quedan menos ecuaciones que incógnitas. Está claro que sobra variables, puedes tomarlas como parámetros.
      haces ceros, y te queda un bonito sistema triangular. Está claro que tiene una única solución.
      ¿No es eso suficiente?

      • Evidentemente, si lo que queremos es “sólo” saber cómo es el sistema y resolverlo. El análisis de los rangos por Gauß (siempre que se haya entendido bien el concepto de rango, claro) creo que proporciona algo más: por qué el sistema es así y qué relaciones entre las ecuaciones hay “escondidas” debajo, aunque a simple vista no se vean. Creo que esto último es muy interesante a nivel conceptual y no sólo aplicable a los sistemas de ecuaciones.

      • En el fondo estoy de acuerdo, por supuesto. Pero lo importante es ese detalle de “entender bien el concepto de rango”.
        Para nosotros es lo natural, y lo que nos lleva a pensar que es lo que hay que enseñar. Pero creo que si pensáramos más en el alumno, y en qué cosas está en condiciones de entender, las cosas serían distintas.
        Y digo esto después de haber enseñado durante años la definición epsilon-delta de límite a alumnos de 1º de Ingeniería, porque me parecía esencial para entender el concepto de límite. Si vuelvo a dar clases de Análisis mi enfoque será bastante distinto.

  2. Excelente análisis. No obstante, lanzo una idea, relacionada con la propia utilidad de usar Cramer, para aprovechar la velocidad que ofrece en algunos casos:
    enseñar Cramer en Secundaria, junto con los clásicos de sustitución, reducción e igualación. Presentarlo como una forma rápida de solucionar problemas donde lo importante es plantear el sistema 2×2 mas que la propia solución, o usarlo como la vieja prueba del 9 de antaño.

    Lo bueno de los métodos clásicos de Secundaria o Gauss en Bachillerato es que ayudan a hacer pensar al alumno, a ver la plasticidad del álgebra. Pero tener herramientas que permitan silucionar sistemas rápido es útil y bueno también, sobre todo de cara a otras asignaturas como Física, Tecnología o Química.

    De todas formas es muy bueno ver iniciativas y debate en estos temas. Muy honrado de aparecer citado!!

    • Muchas gracias a ti por tus comentarios. Estos espacios solo pueden funcionar con vuestra participación.

      Pero creo que en este tema discrepamos. Ya desde esos famosos “reducción, sustitución e igualación” de la ESO. Desde mi punto de vista son parte del mismo problema. Muchas recetas, muchos procedimientos, pero poca comprensión. Más allá de que en algunos casos particulares la igualación, o la sustitución sean un pequeño atajo, yo solo veo una forma relevante de resolver sistemas, que es la reducción, claro.
      No encontrarás esos “reducción, sustitución e igualación” en libros que no sean españoles.

      • Yo también creo que el principal problema es la comprensión de que se está haciendo. Para mi las matrices es desde hace tiempo uno de esos puntos donde la gente empiezan a empezar a desconectar totalmente de las matemáticas (aunque ahora con mis hijos creo que el problema viene de mucho más atrás). Personalmente el concepto de determinante empezó a coger más entidad cuando descubrí que eran anteriores a las matrices.

        Por otro lado, coincido con Pedro. Cramer me parece un tostonazo que aporta poco al alumno, el alumno aprende de memoria y que además en computación tampoco se usa. Gauss sin embargo tiene como filosofía una de las cosas para mi más importantes, transformar un problema que no sé resolver en otro que sí sé resolver.

  3. discrepamos pero de todo se aprende. Desconocía esas diferencias con currículums extranjeros. una pregunta:¿de dónde han salido esos métodos clásicos entonces? Porque ya mis padres los estudiaron…
    ¿quién los introdujo en los libros de texto?¿y Cramer?

    • Aquí estoy solo especulando, porque no conozco los currículos de otros países de hace 50 años. Pero mi conjetura es que esos métodos son, eso, clásicos. Es muy posible que se estudiaran en muchos más sitios en el pasado, y que hayan ido desapareciendo. Desde mi punto de vista, nuestro gran problema es que llevamos más de 30 años enredados en los temas más polémicos e ideológicos de la educación (ya sabes, la LOGSE y la comprensividad al principio, luego ciudadanía-religión, últimamente las dichosas pruebas externas de la LOMCE) y que no nos hemos parado a hablar de los problemas puramente educativos, de los currículos y cómo afrontarlos.

    • De acuerdo con que la sustitución tiene su lógica. En sistemas 2×2 o 3×3 puede funcionar muy bien, y la idea de reducir el número de variables en un problema es importante. Pero, ¿igualación? Creo que solo la fuerza de la costumbre puede mantenerlo ahí.
      Sobre los profes que imponen el método en cada caso, mejor sin comentarios …

  4. Pero es que, aunque los currículos sean los que son, las cosas se pueden presentar de muchas maneras. Creo que la mayoría de los conceptos (incluyendo el rango y los límites) se pueden enseñar de forma intuitiva y haciendo pensar, no como un tostón mecánico. Lo importante es no ser dogmático, como dice Lola, y sobre todo que

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