Como ya me ha ocurrido otras veces, un hecho puntual me decide a escribir sobre un tema al que de alguna manera le estaba dando vueltas. Hojeando un libro de 4º de la ESO me llamó la atención una nueva ecuación de la recta: la ecuación segmentaria. Tuvo una componente casi emocionante: después de casi 30 años dedicado a las matemáticas, todavía podía descubrir una nueva ecuación para una recta en el plano! En el cuadro resumen del mismo libro (el de la foto), comprobé que en ese tema trataban nada menos que ¡7! ecuaciones distintas.
Hablando ya en serio, creo que el problema es más relevante de lo que se puede pensar a primera vista. Es cierto, todas son «equivalentes» (pero, un momento, si son equivalentes, ¿para qué queremos tantas?), y para el profesor, o un alumno que entiende el tema, no suponen ningún problema. Pero creo que para el alumno medio que se enfrenta al tema por primera vez, simplemente memorizar el listado completo de ecuaciones (o el subconjunto que se trate en el curso) y cómo pasar de unas a otras, consume una parte importante de tiempo que luego … no tenemos para hacer problemas. Creo que es sólo un ejemplo de un problema general, que consiste en la sobreabundancia de términos, ecuaciones, clasificaciones, etc. y que, por supuesto, tiene que ver con lo que ya escribí en la entrada sobre la función secante.
Desde luego, el problema no es nuevo. Ya en 1984, Miguel de Guzmán escribía sobre los problemas de la enseñanza de las matemáticas en España, y subrayaba el “énfasis excesivo y perjudicial en nombres y distinciones” [1]. Pero creo que, lejos de corregirse, este problema ha empeorado (en el sentido de que el recorte que se ha producido en los programas – y sobre todo en la práctica – se ha centrado en los problemas, y otras actividades de alto valor cognitivo, y por tanto la proporción problemas/técnicas-definiciones-terminología ha disminuido con el paso de los años).
¿Qué ecuaciones de la recta se deberían tratar en secundaria? Desde mi punto de vista, como mucho los tipos de ecuaciones que aparecen para estudiar curvas y superficies en general, que son las esencialmente distintas:
- la paramétrica (si se escribe en forma escalar o vectorial es un detalle que no creo que se merezca un nombre).
- la implícita, ax + by + c =0 (llamarle ecuación general, o no, creo que es secundario).
- la explícita, y = ax + b, importante por la conexión con las gráficas de funciones y la idea de pendiente.
¿Qué se hace en otros sitios? Bueno, los libros que tengo a mano son los de Singapur. He comprobado los textos de secundaria, comparables a los españoles de la ESO porque allí también tienen 6 años de primaria (empezando a los 6 años) y 4 de secundaria. En tercer curso, en 20 páginas del libro, estudian la recta solo con la ecuación explícita. Por supuesto, le dedican el tiempo necesario al concepto de pendiente, y a las rectas verticales y horizontales, que tantos dolores de cabeza causan a algunos de nuestros alumnos. Después, en 4º curso, le dedican 4 páginas de repaso al tema. Como la ecuación implícita (o general) ya ha aparecido en el estudio de los sistemas lineales, es el momento de hacer algunos ejercicios que aclaren su relación con la explícita, ya conocida del curso anterior. Ya sé que es un solo tema, y un solo país, pero, ¿no resulta la diferencia muy llamativa?
[1] Miguel de Guzmán: El papel de la matemática en el proceso educativo inicial. Enseñanza de las ciencias, 1984, pp. 91-95.
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Y falta en el listado la «ecuación de la recta que pasa por dos puntos»… Es curioso que en el R.D.1631/2006 (de 29 de diciembre, enseñanzas mínimas) no aparezcan las ecuaciones de la recta en 4º de E.S.O. (en ninguna de las dos opciones) y en cambio sí aparezcan en 3º de E.S.O.: Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta Por mi parte en 3º doy la ecuación punto-pendiente como dogma de fe pues los alumnos ni dominan la semejanza de triángulos ni tienen la madurez necesaria en álgebra para entender una explicación con tantas letras, como se ha visto durante la unidad de progresiones. Y a pesar de que es evidente que adelantamos los contenidos matemáticos a su madurez, paralelamente en Física&Química (2 horas a la semana en 3º) ya les han hablado de funciones cuadráticas, me imagino que incluso con menor rigor lógico/deductivo.
Por otro lado en mi centro, y en todos los que conozco (que no son pocos) sí se dan todas las ecuaciones de la recta, en contra del BOE (y del DOG correspondiente aquí).
Contestando a tu pregunta, sí resulta llamativa, pero no creo que sea esta cuestión la única en la que nos distanciemos tanto. Recuerdo un artículo sobre las diferencias entre las clases típicas de matemáticas en los EEUU y Japón (lástima:ahora no lo encuentro) en el que leí con sorpresa que los alumnos japoneses no tenían que aprender los métodos clásicos de resolución de sistemas, sino que se centraban en buscar soluciones por tanteo y siempre de problemas con contexto. ¿Imaginas algo así en España?
Muchas gracias por el comentario, muy interesante. Déjame contestarte por partes:
– tienes toda la razón con la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y es un ejemplo estupendo: en lugar de poner el vector, pongo las coordenadas de dos puntos que lo determinan, y la ecuación continua se transforma en otra ecuación, con otro nombre!
– sobre el tema de que en los centros que conoces se ven todas las ecuaciones, también es esa mi experiencia. Mi impresión es que esto se hace, porque siempre se ha hecho así … La inercia es poderosa … ¿Cómo luchamos contra ella?
– y por último, por supuesto que no es esta la única cuestión en la que nos distanciamos. Cada vez que miro un aspecto, descubro alguna diferencia. Pero yo diría que las diferencias van casi siempre en la misma dirección:
* unos temas menos extensos, bien elegidos y que se pueden tratar con el reposo necesario.
* un énfasis en la comprensión, la intuición, la resolución de problemas, mucho más que en las técnicas-rutinas-recetas-algoritmos que tanto peso tienen entre nosotros.
* unos temas menos extensos, bien elegidos y que se pueden tratar con el reposo necesario.
Leyéndote se me ocurre plantear si el curriculum de Singapur mantiene una estructura semejante al nuestro, en el que cada año tenemos unidades didácticas de todos los bloques, lo que provoca, además de que no lleguemos a las unidades del final (habitualmente las de Estadística y Probabilidad), que cada año comencemos por la parte más aburrida y academicista, i.e., Aritmética y Álgebra. Por ejemplo, a estas alturas de curso estoy en 1º de ESO en la unidad de Proporcionalidad y en 3º en la de Funciones Lineales (que curiosamente los libros de texto llevan unos años identificando con las funciones afines). Si algún día atacasen el curriculum desde la administración…
Los programas son mucho menos repetitivos, desde luego. Una de las cosas que tengo pendiente es hablar del «aprendizaje en espiral» (tal y como se ha interpretado aquí). Se me ocurre que lo que sí puedo hacer es escanear los índices de los libros que tengo, y que dejar que os forméis vuestra opinión … Lo haré en cuanto pueda.
Puede sonar duro lo que voy a decir, pero la sobreabundancia de nombres/distinciones entre cosas que conceptualmente son una sola me parece que en general es un síntoma de que quien plantea el tema así no tiene suficientemente claro que la cosa es una sola.
Y, lo que es peor, lo tenga o no claro el profesor o el autor del libro, la proliferación de nombres y distinciones hace que se transmita a los estudiantes la idea de que la cosa no es una sola sino varias, y desligadas entre sí.
Yo no conozco suficientemente la enseñanza obligatoria y no me atrevo a decir en qué momento se puede y conviene que los estudiantes lleguen a entender por qué una recta tiene una determinada ecuación. Pero de lo que estoy segura es de que si un estudiante entiende la idea de que una recta la definen dos puntos o, equivalentemente, un punto y una dirección, entonces entiende que cualquiera de las formulaciones que aparecen en ese libro son la misma cosa (con la salvedad de las rectas verticales que en algunos casos no aparecen). Y, desde luego, eso es lo que me parece importante que acaben entendiendo.
Muchas gracias por el comentario. Empezando por el final: totalmente de acuerdo, eso es lo esencial. Pero creo que la manera de conseguirlo es centrarse en ello, limitándose al principio a una forma de escribir la ecuación. Sólo después de aclarado el vínculo objeto-ecuación se podrían empezar a manejar distintas formas de escribir la ecuación. Porque el peligro de que los estudiantes vean las distintas ecuaciones como correspondientes a objetos distintos es muy real.
La primera parte del comentario plantea la pregunta interesante, y complicada: ¿por qué seguimos así? La verdad es que ya he hablado con alguna persona que participó en la elaboración de los curricula. Su queja es que la propuesta que formularon fue modificada antes de llegar al boletín (y me lo creo perfectamente). Pero no sé nada sobre este tema concreto de la proliferación de nombres, tipos de ecuaciones, etc. Preguntaré por ello en cuanto tenga ocasión.
Mi impresión es que es posible que, como ya indica el comentario de JJRodriguez, la inercia también haga su papel.
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