Visto que el tema de la multiplicación salta a los medios de masas (muchas gracias por la mención, Joséangel), me lanzo a escribir una entrada rápida con mis últimas reflexiones sobre el tema. El término «por» es una abreviatura de «multiplicado por» y cuando escribimos «3 x 5», con la lectura usual en España, debemos leer «3 multipliciado por 5»: 3 es el multiplicando, 5 el multiplicador. Por tanto, 3 x 5 es una abreviatura de 3 + 3 + 3 + 3 + 3. El problema es que esta interpretación no es nada intuitiva para el alumno que se está iniciando en la multiplicación, y creo que este problema está en la base de muchas dificultades de aprendizaje. Para liarlo más, como los adultos tenemos asumida la propiedad conmutativa, no siempre somos coherentes. Por ejemplo, si queremos calcular el doble de 6, casi todos escribiremos 2 x 6, cuando según la lectura «por» el doble de 6 debería escribirse 6 + 6, es decir, 6 x 2.
No creo que valga el argumento de que «es lo mismo», porque desde luego que el resultado es el mismo, pero los significados de 
Creo que todo son ventajas al sustituir el término «por» por el término «veces», como hacen en la mayoría de los países. El niño entiende sin ninguna dificultad el significado de la expresión, y creo que el aprendizaje es mucho más natural. Sólo haría falta vencer una poderosísima fuerza que rige el sistema educativo: la fuerza de la inercia.
Y si algún día cambiamos, desde luego que habría que ser más comprensivos que el maestro del ejercicio que ha sacado el tema a debate. Sobre los problemas causados por un cambio en alguna metodología que chocan con lo que las familias recuerdan de su educación básica habrá que escribir en alguna ocasión.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
Pues fíjate que hay profesores americanos que tampoco creen que sea clara la gramática subyacente al «three times five»:
http://curiouscheetah.com/BlogMath/what-is-multiplication-anyway/
Por otro lado, esta nueva andanada, junto a los viejos artículos de Keith Devlin sobre la multiplicación, me han hecho pensar en mi formación en la EGB: juraría que la introducción de la multiplicación se basó exclusivamente en el modelo de la suma de sumandos iguales; es decir, ni modelos de áreas ni de dilatación. ¿Sabes cómo está ahora el tema en Educación Primaria?
Un saludo.
Cierto, sé que el mundo anglosajón tampoco hay unanimidad al respecto. Y la verdad es que me resulta sorprendente, porque la expresion «three times five» tiene un significado muy claro, en el lenguaje usual. Sin embargo, justo antes del verano tuve una interesante discusión con un responsable de matemáticas de primaria, con formación inglesa, que decía muy convencido que sí, que «three times five» significa lo que significa, pero que «en matemáticas» es 3+3+3+3+3. Total, bastante confusión.
En nuestra primaria: mayor confusión. La LOE hablaba de introducir la multiplicación apoyándose en «veces», pero luego 2×3 significa siempre 2+2+2 (algunos deciden decir «2, tres veces»). En la LOMCE solo aparece en un momento dado «Expresa una multiplicación como suma de sumandos iguales».
Pero yo siempre he visto escrito «el doble de 6» como 2×6, que no es coherente con esto. Y no digamos en fracciones: ahí, el multiplicador siempre lo ponemos delante.
Muy interesante tema y mi postura no lo tengo clara. Desde el punto de vista didáctico (me refiero a primaria) creo que es más importante que «vean» y entiendan las matemáticas que el formalismo y un problema es cuando los alumnos dejan de «verlas» y ya no saben de que le estás hablando.
Cuando se enseñan a los niños a multiplicar objetos (que no números) creo que la visión de 2×3 =3+3+3 o 3×2 = 2+2+2
son igualmente válidas. Usamos mucho más la primera pero no siempre: tenemos 3 frutas (pera, manzana y plátano) si doblamos las futas me es más sencillo pensar en 2 peras, 2 manzanas y 2 plátanos (2+2+2). No hace falta que sean distintos, simplemente distinguiendolos (el primero, el segundo y el tercero) Las dos interpretaciones me parecen igualmente válidas (aunque es más normal que usemos la primera, la segunda en ciertos casos me parece intuitiva) Si a un niño que lo está viendo así, le decimos que está mal y la explicación que le damos es que son operaciones distintas y demás, creo que le estamos confundiendo y va a empezar a no entender las matemáticas (o para que sirven).
Se que las matemáticas son abstractas y más adelante hay que huir de tanta interpretaciones y abstraerse, que son operaciones distintas. Pero la multiplicación es algo intuitivo y el concepto de operación o de función no lo es tanto.
Creo que usar la palabra «veces» determina un sentido que restringe la visión del asunto y para mi una de las esencias de las matemáticas es poder ver la misma cosas de distintas maneras para poder usar lo mejor de cada visión (siempre que sean correctas)
Un saludo
Estoy de acuerdo en que lo importante es que las cosas se entiendan, pero no es un problema de mayor o menor abstracción. Yo creo que si queremos que el alumno entienda la expresión 2×3 (y que la pueda aplicar en diferentes contextos) habrá que dejar claro qué significa. Y no me parece que sea buena opción el decir que la interpretamos de formas distintas en diferentes contextos.
Una cosa no me queda clara: ¿qué significa multiplicar objetos?
Muchas gracias por el comentario.
Hola Pedro, gracias por tu blog que recién he descubierto y he estado leyendo varios de tus artículos previos.
Voy a intentar explicar a lo que me refiero cuando hablo de multiplicación de objetos. Ejemplos: cada día me dan dos caramelos, cuantos tengo después de 3 días
Es decir, tengo una cantidad de objetos y añado la misma cantidad un número de veces (es decir, sumo varias veces)
Si me olvido de la suma matemática y lo que hago es poner objetos uno junto al otro, el resultado es el número total de objetos. Ahora bien, esos objetos los puedo contar de distinta maneras. En el ejemplo de los caramelos 2 multiplicado por 3, 2*3 = 2 + 2 +2 = 6
Porque estoy contando los grupos, pero pongamos otro ejemplo: Cada niño tiene dos manos, cuantos guantes necesito para 10 niños. Partiendo de que no estoy hablando de operaciones, sino de poner el mismo número de objetos juntos y luego contarlos, en ese caso me resulta más intuitivo pensar en que 2*10 = 10 + 10 (10 de la mano izquierda y 10 de la derecha)
Geométricamente poniendo los grupos en filas y columnas también se ve y la conmutatividad es mirarlo girando la cabeza.
Tenemos un ejemplo de un operador que no es conmutativo, la resta. Hay tienen claro (o deberían) ver que el orden es fundamental. Ahora bien, lo que estamos intentando decirles es que en general, el orden de los operadores en una operación son importantes, pero creo que como tienen pocos operadores a su disposición no comprenden la importancia del concepto operador y que sea importante en general. Verán que en la resta sí lo es pero que en la multiplicación o suma no lo es.
Claro que matemáticamente es fundamental el orden, los operadores y las funciones, pero ese formalismo no es necesario para sumar y como el sumar lo «ven» puede que no se crean que el orden es importante. Para nosotros está claro porque conprendemos el concepto de operador (y tenemos en nuestra cabeza muchos más operadores) y por lo tanto el orden, pero no creo que ese concepto sea ni fácil ni bueno meterlo al principio.
Muchas veces vemos como lógicos y naturales conceptos que se han tardado siglos en formalizar y que a nosotros nos ha costado años en aprender, y este creo que es uno de ellos. Reitero mis dudas sobre este tema y mi actitud abierta a un debate constructivo de como enseñar y comprender matemáticas
Un saludo
¿Donde estaría definida «la resta» para conseguir no ser conmutativa? Por otro lado tampoco veo como la multiplicación en el modelo geométrico que citas, y que me gusta mucho, pueda resultar ser conmutativa. Yo creo que fundamentalmente todos estos problemas de lenguaje que tenemos ahora derivan del hecho que no hemos entendido que los Elementos de Euclides son un tratado de aritmética!
Interesante lo de la aritmética, estoy dándole vueltas.. 😉 es verdad que uso geometría muy laxamente pero es porque creo que a estos niveles (y a muchos otros) es importante no ser rigurosos y perdernos en formalismos.
La resta es anticonmutativa (un cambio de orientación de la recta) y el producto simplemente en un cuadrado si lo vemos girado o no.
No creo que tengamos que ver las cosas algebráicamente, gométricamente, analiticamente… al final son solo nombres, creo que esa es la gracia que las distintas formas de ver las cosas nos dan nuevos matices. Por eso aun estando de acuerdo que seguramente el uso de la palabra «veces» (3*4 = 4+4+4) ayudaría mucho a la enseñanza estoy en contra de que ese uso imponga una visión que niege que se pueda ver de otra forma igual de válida (3*4 = 3+3+3+3)
Está claro que el separar la matemática de la realidad supuso algo vital para las matemáticas modernas, pero si se ha tardado muchos siglos en verse así tenemos que cuestionarnos si es bueno pedagógicamente imponer esa visión. Porque hay cosas que quizás si hay que verlas de forma más modernas o distintas y otras hay que tener cuidado porque conceptualmente es un salto grande.
Me gustaría que explicaras un poco más lo de Euclides y la aritmética. Me parece muy interesante y estoy dándole vueltas al asunto…
Saludos
Espero que tengamos ocasión de hablar de estos temas con más calma, porque este comentario no lo entiendo. La resta se puede definir en los naturales, claro, y en los enteros como operación interna …
La multiplicación es conmutativa sencillamente porque 5+5+5 resulta ser igual a 3+3+3+3+3 (y así en todos los casos, claro). Esto se puede ver con ese modelo de áreas al que creo que te refieres.
Bueno, gracias por la aclaración. Lo entiendo, pero creo que nos estamos desviando un poco. Por supuesto que en el ejemplo de los guantes uno puede contar 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 o contar 10+10. La cuestión es cómo se puede escribir de forma abreviada cada una de esas sumas.
Yo creo que darle un significado unívoco a la expresión 3×5 es importante, y que es previo a darse cuenta de que resulta igual a 5×3. Me encantaría poder hacer un estudio con las dos alternativas, y observar resultados, pero ya se que estas cosas en educación son casi imposibles.
Por curiosidad didáctica ¿Por qué valoras que es importante esa unicidad de la expresión de una multiplicación como sumas?
Buena pregunta, desde luego. Pero no es exactamente esa unicidad de la multiplicación como suma, sino sencillamente darle un significado preciso (y unívoco) a la expresión 3×5.
En un repaso rápido, no se me ocurren expresiones matemáticas que tengan más de un significado, ¿no?
Hay dos alternativas:
3×5 significa 3 multiplicado por 5, es decir, 3+3+3+3+3
3×5 es 3 veces 5, es decir, 5+5+5
Las dos pueden tener sus ventajas y sus inconvenientes, pero no creo que la salida sea que 3×5 es «las dos cosas a la vez»
Sí que me ha hecho pensar tu comentario, te entiendo perfectamente y creo que por aquí está el quiz de la cuestión.
Poniéndonos más formales y algebráicos. podemos verlo como dos operaciones:
– multiplicación por escalar por la izquierda (izquierda multiplicador, derecha multiplicando)
-multiplicación por escalar por la derecha (derecha multiplicador, izquierda multiplicando)
Ahora tenemos dos opciones, usar dos signos distintos o como es conmutativa, usar un solo signo. Como en números la multiplicación es conmutativa, tiene todo sentido usar el mismo signo ya que es mucho más intuitivo. Creo que es deformación nuestra el buscar la unicidad, porque el formalismo de la multiplicación viene de la experiencia y no al revés.
Usar la notación * tiene la misma ventaja y el mismo inconveniente: la doble interpretación.
Tenemos un caso parecido (ya necesitamos números negativos) si definimos la suma a través de la recta: a + b = a – (-b)
Pero por la conmutatividad: a + b = b – (-a). Geométricamente ¿cuál es el origen y cuál es el punto que queremos ver la distancia? Ambas interpretaciones son coherentes.
No creo necesario dotar de unicidad al operador * (en este ámbito) ya que todos los resultados son coherentes y permite esa visión doble que me parece mu interesante y muy matemática, al final lo que revela es una simetría
Me está encantando este tema porque una pregunta sencilla saca muchas interpretaciones y puntos de vistas tanto matemáticos, pedagógicos y de comprensión.
Bueno, creo que hay dos planos, y que ya los estamos mezclando. Lo que dices tiene todo el sentido desde el punto de vista formal, pero si nos centramos en la mejor metodología para presentar la multiplicación en primaria, mi opinión es que definir la multiplicación de forma unívoca, con el multiplicador a la izquierda, tiene muchas ventajas. Es verdad que es sólo una opinión: me encantaría ver un estudio donde se pudiera comprobar hasta qué punto los niños entienden una cosa o la otra, pero pensar en algo así en educación es trementamente complicado.
Excelente ejemplo de cómo una actividad de aprendizaje integra cuestiones matemáticas, lenguaje y psicología, en este caso, sobre todo lenguaje. Me recuerda el libro sobre enseñanza de matemáticas «thinking as communicating» de Anna Sfard 2008. Estaría bien hacer un seminario interdisciplinar sobre este tema 😉
Saludos
Alejandro
En efecto, me parece un ejemplo muy interesante de la interacción entre lenguaje usual y lenguaje matemático.
Muchas gracias por el comentario.
Me apunto!
Buenas tardes Pedro. Comenté un post sobre multiplicación tuyo hace un par de años, y tal como lo dije considero que 3×2 para un niño es mucho más simple entenderlo como 3 veces 2. Esto por lo que observo cuando veo a mi hija como va descubriendo e incorporando los conceptos matemáticos en su aprendizaje. Para los niños, por sus características de desarrollo, la información a brindarles debe ser clara y sencilla. En este sentido el lenguaje que se use para presentar la operación de multiplicación debe ser lo mas claro. Como ya lo comente mi hija pudo deducir q 12 era en sus palabras «4 tres» cuando vio un rectángulo formado por 12 papelmas o azulejos a lo que yo precise que en efecto 12 era 4 veces 3 y luego ella también me indicó que 12 era 4 veces 3 cuando giro el conjunto de papelmas. Esto lo hizo a sus 4 años y unos meses. Ahora con 6 años ella esta deduciendo sola algunas tablas de multiplicar con el concepto que tiene claro como «veces» y soluciona problemas como por ejemplo «si he nadado 4 largos de una piscina de 25 metros entonces en total he nadado 100 metros porque son 4 veces 25». Todo esto lo hace mentalmente.
He observado que es fundamental el lenguaje usado para presentar a los niños las mates. Sobre el particular también te puedo comentar que con tu libro de primer grado que usamos el año pasado, y terminó con facilidad en corto tiempo, pude advertir que las primeras veces leer el problema y entenderlo por la forma en que estaba redactado le costó un poquito. Nosotros somos peruanos y acá nos expresamos un poquito diferente por lo que le explicaba algunos términos que no conocía y le cambiaba el orden de la oración. Pronto entendió el estilo de redacción y se familiarizó y fue muy fácil solucionar para ella los problemas propuestos sin necesitar ayuda para comprender la redacción del problema. Esto solo porque pequeñas variaciones en el uso de un mismo idioma.
Estas observaciones las hago una vez mas como madre que acompaña a su hija en su aprendizaje, que le gustan las mates y que tiene formación de ingeniería y en algunos temas educativos para niños.
Pues muchas gracias por el comentario. Relatos como este son los que me convencen de que estamos en el buen camino. Y coincido: creo que no se le ha prestado la suficiente atención a la importancia del lenguaje en el aprendizaje de las matemáticas.
Una pregunta que olvidé: ¿y cómo conseguís compaginar este aprendizaje en casa con el aprendizaje en la escuela? Porque creo que en Perú también se usa el «3 multiplicado por 5», ¿verdad?
Juana, tú comentario me ha gustado mucho muy clarificador. Aún con mis discrepenacias estoy de acuerdo que las palabras son fundamentales y muy importantes a la hora de explicar y comprender las matemáticas 🙂
Muchas gracias por este tipo de entradas que ayudan a reflexionar sobre cuestiones que no son menores. En mi opinión, uno de los aspectos que se están valorando es lo que resulta intuitivo o no a los alumnos y aquí creo que también cabe valorar qué es lo que tenemos en cuenta para acordar si algo es intuitivo o no lo es.
Por ejemplo, en mi clase trato de emplear todos los elementos que me permitan relacionar conceptos: el propio signo de la multiplicación se muestra como una variación gráfica del signo de la suma, lo que ayuda enormemente a vincular una con la otra (intuición visual). Algo que también puede hacerse con el signo de la resta (-) y la división (/).
Cuando explicas a los alumnos que algunas sumas especiales (aquellas que tienen sumandos iguales o repetidos) se pueden expresar en forma de multiplicación resulta muy poco intuitivo tratar con multiplicaciones con 0 o 1, (según como las leamos), ya que no hay un sumando que se repita o igual a otro. Decir a los alumnos que 0 x 2 significa 0 veces el 2 (o que 2 x 0 significa que el 2 aparece/se repite/se multiplica 0 veces) ayuda muy poco a la hora de profundizar en el concepto de multiplicación como expresión de una suma de sumandos iguales porque si no hay sumandos ¿para qué escribimos una multiplicación? o, si solo hay uno, ¿para qué escribirla como multiplicación?
Si dejamos a un lado esta consideración, bien puede resultar intuitivo expresar 2 x 3 como “el número 2 se suma 3 veces” o “el número 2 se repite 3 veces”, algo que visualmente se percibe con facilidad. En el ejemplo gráfico de la entrada https://masideas-menoscuentas.com/2015/11/07/por-resumir/ una tarea sencilla es representar el número que representa las patatas que hay en el plato en forma de suma 3+3+3+3 y expresarlo en forma de multiplicación siguiendo el patrón “Número que se suma x las veces que se suma”. De hecho, en el mismo ejemplo gráfico, la cuenta que hace más abajo es de 3 en 3; algo que un alumno que haya aprendido a expresar la multiplicación siguiendo este proceso sentirá como natural ya que para ellos el primer término de cada multiplicación indica el numero han de sumar cada vez, el que se repite.
Creo que aprender que el signo x se lee “por” y se asocia a un proceso determinado no es menos intuitivo que aprender que el signo – se lee “menos” y se asocia al proceso de quitar o sustraer.
Creo que en muchas conversaciones referidas a la forma de leer la multiplicación no se suele mencionar que los números que se multiplican se llaman “factores” en global, pero que individualmente se llaman “multiplicando” (el número a sumar) y “multiplicador” (la cantidad de veces que se va a sumar). Aquí la terminología apunta a una forma de leer determinada. Si en 2×6 leemos 2 veces 6 estamos invirtiendo los términos o ¿leyendo mal?
Si, además, tenemos en cuenta el desajuste que, en mi opinión se traduce al trasladar una multiplicación escrita en horizontal a su formato vertical, de intuitivo hay poco. 6×2 en formato horizontal se escribiría en vertical con el 6 arriba y el 2 abajo pero es que en casi todos los libros ¡se resolvería comenzando por el número de abajo abajo y multiplicando hacia arriba! (2×6) Un algoritmo muy poco intuitivo y natural que se justifica con la propiedad conmutativa pero que es un claro freno a los intentos por dotar de sentido los procesos que han de realizar los alumnos.
Así que, en mi caso, no tengo muchas certezas y sí muchas dudas respecto a lo que es intuitivo o no. A mi me resulta más sencillo evitar aquello que no lo parece pero es gratificante compartir dudas y confrontar planteamientos con otros “dudantes” 😉
Muchas gracias por el comentario. Estoy de acuerdo, desde luego: las dos alternativas tienen sus ventajas, y sus inconvenientes.
Si aceptamos el marco de multiplicando, multiplicador, etc, es evidente que 2×3 = 2+2+2, de eso no hay duda.
Y es verdad que se podría leer «el 2 sumado 3 veces» o «2 3 veces», como he visto en algún sitio. Pero la expresión «2 veces 3» me parece claramente más cercana al lenguaje natural, y por tanto creo que facilita la comprensión.
Pero tampoco la interpretación «multiplicado por» se respeta: cuando en álgebra escribimos 2x, ¿qué estamos diciendo? ¿Y cuando en las fracciones decimos que 2/3 x 24 significa «2/3 de 24»?
No tengo ningún dato más que mi impresión personal, desde luego, pero cada vez estoy más convencido de que errores de bulto que aparecen en secundaria, como escribir x + x = x^2, o los problemas con la multiplicación de fracciones, tienen su origen en una falta de comprensión de la multiplicación, posiblemente originada por ese enfoque de multiplicando, multiplicador, etc.
Tiene todo el sentido el comentario que hace sobre el problema con 2 veces 3, las tablas del 0 y del 1, y el algoritmo tradicional. Mi propuesta sería posponer el 0 y el 1 hasta que llega el algoritmo, que es cuando hacen falta. Si la multiplicación está entendida, me parece sencillo aceptar que será necesario considerar 0 veces algo, y el resultado no puede ser sino 0 …
También he pensado en qué ocurre con el algoritmo tradicional. Esto no se puede resolver en un comentario, pero creo que se puede solventar. Quizá en una próxima entrada …
Gracias por la respuesta. De nuevo vuelvo a compartir planteamientos y, sobretodo, lo importante que resulta tener estas conversaciones para ir dando sentido a todos los detalles que participan en el aprendizaje de las matemáticas.
Yo creo que junto al lenguaje natural hemos de valorar otras cuestiones, también naturales, y que incluso pueden precederlo. La expresión lingüística “6 veces 3” puede ser más breve y sencilla de leer pero no tiene porque expresar la forma en la que un niño percibe naturalmente las cosas.
Cuando en clase damos el paso de la suma a la multiplicación, uno de las cosas que se trabajan es el de la percepción de la repetición, esto es, que el niño vea que en determinadas sumas hay algo particular o destacable. Este algo, como es lógico, es que hay un sumando que se repite. Identificar cuando algo es igual a otro algo es una destreza que se trabaja desde infantil. Una habilidad que tienen bastante desarrollada. Ejercicios de igualdad y desigualdad con formas, colores y cantidades. Les enseñamos diferentes sumas y les preguntamos «¿Cuáles podrían convertirse o expresarse en forma de multiplicación?» Ellos, sin dudar, indican aquellas sumas que tienen sumandos iguales, sin tener en cuenta más que eso. Identificar que algo se repite no necesita de saber cuántas veces lo hace.
Lo que suele suceder es que el alumno percibe lo repetido antes que la repetición, esto es, evidencia la cantidad repetida antes que el número de veces que se repite. Si le mostramos varios platos con canicas, cestas con objetos, etc. lo primero que percibe como singular es que hay una cantidad determinada que se está repitiendo. (Si trabajamos la subitización esta apreciación es cuasi inmediata en cantidades pequeñas)
Lo que trato de expresar es que, de forma natural, los niños primero aprecian lo repetido (lo igual) y después toman conciencia de la cantidad de dicha repetición. Algo que, si lo pensamos, nos sucede a los propios adultos. Para mi esta es la clave de lo que deberíamos considerar como natural: un proceso que respeta también la forma en la que percibimos e interactuamos con el mundo que nos rodea.
En ese sentido el lenguaje puede acostumbrarnos a expresar de forma habitual aquello que naturalmente hacemos de otra. Yo veo un coche rojo pasar y luego otro coche rojo. Lo primero que percibo es que tienen el mismo color, y por eso hay 2 iguales. Veo “Rojo + Rojo” y sin embargo decimos “2 coches rojos”. El lenguaje no estructura en el mismo orden natural en el que percibimos lo acontecido sino que lo hace al contrario. ¿Qué percibimos primero: la cualidad de lo percibido o su cantidad? (Lo divertido es que en el caso de los números, la cualidad de lo percibido es, al mismo tiempo, una cantidad)
Imaginemos una fila de personas: Todos llevan una camiseta con el mismo número estampado. Al verla percibimos la igualdad (el dibujo del número 8) y luego contamos cuántos hay (6 personas). No necesitamos saber cuántos hay para saber que llevan una camiseta igual, eso se aprecia de forma natural. Si escribiésemos al tiempo que percibimos en nuestra mente la realidad, probablemente sería algo como “Todos llevan el 8 en la camiseta ¿cuántos hay? He contado 6”
Sin embargo, si usamos la expresión “6 veces 8”, no podríamos escribir lo que estamos viendo hasta que no acabemos de contar cuántas personas hay por mucho que sepamos que algo se está repitiendo. No escribimos conforme percibimos de forma natural las cosas sino que alteramos ese orden para crear otra “naturalidad”: la lingüística.
Así pues escribir de acuerdo a este razonamiento que he tratado de expresar lo mejor posible, no tiene porque ser lingüísticamente más natural pero sí creo que puede ser, en realidad, más natural e intuitivo.
Luego comento lo del algebra, que también me suscita alguna reflexión.