No sé si seguirá siendo conocido aquél problema sobre un ingeniero, un físico y un matemático, en el que el matemático terminaba diciendo «Sea una vaca redonda y sin rozamiento …». No, no voy a hablar de ese problema, pero si de otro problema con una vaca, y que tiene algo tiene que ver con el modelado o, más en general, con la interacción matemáticas-realidad.
El disclaimer habitual cuando hablo de mis alumnos de magisterio: creo que son una buena muestra del alumno medio, y me encantaría recibir información sobre cómo funciona el problema en un aula de 3º-4º de ESO.
En el problema hay una vaca en el exterior de un recinto, y está atada a la valla. Se pregunta por la región en la que la vaca puede pastar, y en función de la geometría del corral, y de la longitud de la cuerda, pueden aparecer versiones de dificultades muy variadas, cosa que siempre me parece interesante. El caso es que ya lo había planteado un par de años, sin ningún dibujo de apoyo en el enunciado, y me encontraba con que, sencillamente, la gran mayoría alumnos no entendían el problema cuando lo trabajaban antes de clase. De forma que este año me decidí a incluir un dibujo, y este era exactamente el enunciado que aparecía en la hoja de problemas de hace un par de semanas:
Lo sorprendente (al menos, a mi me lo parece) es que, al pedirles en clase que contestaran lo que había hecho sobre el primer apartado, y lo entregaran, una clara mayoría de los alumnos (al menos el 80%) sigue sin ser capaz de hacer algo coherente. La respuesta mayoritaria fue dibujar una circunferencia, con centro en el punto donde está atada la vaca, pero ignorando completamente el recinto rectangular. Y creo que esto pone de manifiesto un tema que no sé si se ha estudiado lo suficiente, y es la curiosa interacción (o falta de ella) entre los procesos mentales que usan muchos alumnos al tratar de resolver problemas de matemáticas, y los procesos del «sentido común», que usan cuando no están «haciendo matemáticas».
Por supuesto que es algo conocido, por ejemplo, cuando se dan respuestas claramente absurdas, sin reflexionar un momento sobre si la solución tiene o no algún sentido. El «tratamiento» para arreglar esto también me parece claro: plantear problemas que tengan conexión con el entorno conocido, y pedir que se reflexione sobre lo trabajado. Pero, ¿de verdad que no se le puede plantear un problema como éste a un alumno que no se haya dedicado al pastoreo?
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
A veces me he encontrado con que mis hijos, y otras personas no del gremio, no entienden a la primera dibujos que a mí me parecen evidentes. ¿Seguro que tus alumnos entienden que eso es una vista aérea? ¿No estarán tomando ese rectángulo por la pared frontal del corral, o cualquier otra cosa?
Si quieres problemas realistas, quizá deberías usar dibujos realistas. O mejor, llévatelos personalmente a la escena. 🙂
No descarto terminar llevando un «modelo 3d», pero me resisto: creo que hay una diferencia entre problemas realistas y dibujos realistas, y que una etapa fundamental del modelado es elegir una representación sencilla de la situación, que capte lo esencial. Es verdad que a veces esto no es sencillo, y que cosas que nos parecen evidentes no lo son para otras personas. En resumen: no entiendo por qué no lo entienden.
Muchas gracias por el comentario.
Tu reflexión me hace recordar una anécdota que cuentan en un artículo del GPDM:
“Como práctica para un exámen anual de matemática, Latesha, una niña de tercer grado de una escuela pública de la ciudad de Nueva York, debía resolver el siguiente problema: “En la esquina de mi casa acaban de inaugurar un nuevo cine que tiene 15 filas con 12 asientos en cada fila ¿Cuántas personas cabrán sentadas en este cine?” Inmediatamente después de leer el enunciado, Latesha escribió:
15
+12
——-
27
Ante la pregunta de la investigadora “¿Puede ser que un cine tenga solamente veintisiete asientos?,” la niña, entre avergonzada y divertida ante su propio disparate, exclamó: “¡Oh, se trata de un cine de verdad! Yo pensé que era solamente un problema (word problem)!.Ya sé cómo hacerlo!” y, acto seguido, resolvió el problema…” (Mediante un esquema que pueden ver en el artículo: http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/esciertoesto.pdf )
Creo que esta anécdota y lo que nos cuentas en el post habla mucho acerca de lo que nuestros alumnos piensan que es un problema matemático…
Para reflexionar.
Pues sí, me parece un muy buen ejemplo del mismo tipo de «desconexión». Muchas gracias por el comentario.
Efectivamente, cuando he propuesto este problema en 3º de ESO (en mi caso con una cabra), una parte de los alumnos hacen lo que los tuyos, aunque debo decir que otra parte importante lo dibujan bien. Creo que cuando se enfrentan a los problemas matemáticos ponen su mente en modo «absurdo» («aquí puede pasar cualquier cosa por increíble que parezca»), y el remedio no es fácil. Como siempre, supongo que se trata de que desde pequeños conecten las matemáticas con la realidad haciendo más problemas reales e interesantes (que son más difíciles de encontrar y de conseguir que hagan y por eso creo echan para atrás a muchos profesores). Debe de pasar un poco en todas partes, Jo Boaler habla de esto en su libro del elefante blanco. No nos engañemos, los problemas que se hacen habitualmente son bastante tontorrones y alejados de la realidad; si les proponemos enunciados como los de los problemas de las edades no puede extrañarnos que se hagan una idea de las matemáticas bastante peregrina…
Estoy de acuerdo en que este problema, al menos en una buena parte, está causado por el tipo de actividades que se trabajan en clase, ya desde primaria. Por otra parte, cuando se quieren plantear problemas »realistas», no siempre se da en el clavo. El otro día vi en un texto de 5º de primaria, de los de la LOMCE; un problema que decía, más o menos:
Una panaderia hace 123.857 barras de pan, y tiene que colocarlas en 1874 cestos. ¿Cuántas barras debe poner en cada cesto? (Prometo que no exagero)
En este caso creo que más que deberse a la distancia a la zona del alumno la causa está en las creencias: si no han visto problemas semejantes, en los que la figura que interviene en la solución está compuesta por varias formas, una mayoría de estudiantes (a cualquier nivel) no va a dar la solución esperada, pues no sentirán que haya que pensar a ese nivel.
También habría que recordar los datos de Kahneman (creo que era en Thinking, Fast&Slow) acerca de los estudiantes de las universidades de élite que no supieron responder el problema clásico del bate y la pelota que valían juntos 1.1$, costando el bate 1$ más que la pelota. Yo no me escandalizaría tanto, todos los años tengo varios alumnos que clasifican 3.5 como número entero…
No me escandalizo, lo que hay realmente en el fondo de mi comentario es que no termino de entender dónde está exactamente la dificultad, y eso es un prerrequisito para tratar de solucionarla, claro. Es posible que tenga que ver con algo de lo que dices, pero no lo veo claro: conozco esa pregunta del bate y la pelota, y el pensar rápido/despacio (y se la planteo a mis alumnos). Pero no me parece que tenga relación con esto, en este caso no me parece que haya una «respuesta intuitiva». Por otra parte, por supuesto que me parecería normal que algunos alumnos hubieran hecho cosas variopintas; lo que me sorprende más es que una amplia mayoría hagan cosas sin ningún sentido en el primer intento, e incluso una parte significativa manifieste dificultades de comprensión cuando les cuentas la solución.
Mi impresión es que la dificultad está en algún punto de falta -total- de capacidad para el pensamiento abstracto, o el sentido geométrico, o algo entre ambos.
Pedro, perdona mi curiosidad. Entiendo que das clase a futuros maestros, que en un par de años estarán enseñando en primaria, ¿no? Y ellos no llegan a entender ni a apreciar estas cosas, pero se las contarán a sus alumnos, como puedan y por obligación. Hay una reflexión fácil, ¿no?
Entiendo la pregunta, y entiendo que lo que comento abre estos flancos …
Pero la realidad es la que es, y nuestros estudiantes de secundaria terminan como terminan. Claro que hay unos cuantos que están a buen nivel, pero creo que cada vez son menos.
Dicho esto, creo que no queda otra que trabajar con los estudiantes que tenemos e intentar que los maestros lleguen a las aulas en las mejores condiciones posibles. Por otra parte, la formación de los maestros no es el único problema de nuestras matemáticas de primaria, hay que añadir también el diseño curricular y los libros de texto.
Gracias por la respuesta. Y por tu trabajo, que falta hace, según veo.
Ya sé que este post es antiguo, pero acabo de aterrizar en él y me pregunto si Pedro ha seguido encontrando estas dificultades en sus alumnos.
Yo le daría un enfoque manipulativo: te llevas una vaca de juguete con un cordón y lo atas a distintos sitios, a ver qué pasa, y que ellos lo manipulen.
Es cierto que falta mucha capacidad de abstracción, pero yo creo que es precisamente porque a veces empezamos por lo abstracto, en vez de partir de lo concreto y abstraer desde ahí. Es muy difícil «abstraer» ideas que nunca se han manipulado de forma concreta. Cada vez me doy más cuenta de la importancia del enfoque manipulativo en las matemáticas de todos los niveles. Y es que las matemáticas, históricamente, han surgido siempre de la experiencia sensorial, y eso sigue funcionando.
Gracias por el comentario, Neila. Me parece muy bien que las entradas antiguas sigan generando interés. Es buena señal.
Este curso pasado no impartí la asignatura de Geometría, y el año anterior no di los problemas, así que he estado un poco desconectado de esto. Pero justo este próximo curso vuelvo a hacerme cargo de un grupo completo de Geometría, así que tu comentario llega en un momento muy oportuno.
Estoy de acuerdo contigo: seguramente lo más importante que he aprendido estos años es que hay alumnos (bastantes) que necesitan hacer las cosas con las manos para entenderlas. En el caso de este problema, tendrían que haberlo hecho hace años, y ya deberían haber desarrollado esa capacidad de abstracción fundamental para las matemáticas. Pero si no lo han hecho la única forma de arreglarlo es que lo hagan ahora. De manera que sí, cada año le dedico más tiempo al tema de la manipulación, y seguramente me sigo quedando corto.