Este curso he repensado bastante la asignatura de Aritmética (para maestros) y he dedicado cierto tiempo a pensar sobre los algoritmos básicos de la aritmética. Además, algunos debates como el que originó este tuit
sobre determinantes, me han convencido de que quizá sea hora de hacer un repaso al tema. Esta entrada es el comienzo de una serie sobre los algoritmos de las matemáticas básicas (entendidas como las matemáticas previas a la universidad). El ritmo será el que se pueda, y durará lo que me dure la cuerda, y/o el interés de los lectores.
Mi intención es seguir el orden en que van apareciendo en el currículo, pero antes de empezar a hablar de sumas y restas creo que merece la pena hacer algunas consideraciones generales.
Me parece que sigue sin estar nada claro cuál es el papel de los algoritmos en estos tiempos, cuando estamos rodeados de dispositivos que hacen todo tipo de cálculos, de forma más rápida y más fiable de lo que lo podrá hacer ningún ser humano. Creo que debería ser uno de los temas centrales de debate en didáctica de las matemáticas, y me parece que no lo está siendo. Por supuesto, lo que voy a exponer aquí son solo mis opiniones, ya me gustaría tener datos. Además, estas opiniones van evolucionando con el tiempo.
Voy a tratar de resumir en un párrafo mis reflexiones sobre el tema, que se pueden ver en versión ampliada en esta presentación, donde recojo mi intervención en la mesa redonda que la IX Escuela Miguel de Guzmán dedicó al tema.
Me parece evidente que el estudio de los algoritmos no puede ser ya un fin en sí mismo, como lo era, de forma justificada, hasta hace unos cuantos años. Mi tesis de inicio es que un algoritmo merecerá ser estudiado si, no solo se entiende, sino que ayuda a comprender ideas y conceptos que sean relevantes. Algunas veces se oye que a algunos alumnos les gusta calcular, por el puro gusto de calcular. Bien, no tengo problema en aceptar eso. Pero todos tenemos nuestros gustos y aficiones, y que haya un colectivo al que le resulte atractiva la actividad X no es razón para imponer esa actividad a toda la población. Sobre todo, si resulta que hay otros alumnos a los que esa imposición/requerimiento les aleja de la disciplina completa, o les impone una dificultad adicional, muchas veces decisiva, en el aprendizaje de las matemáticas.
Un último comentario previo: un mismo algoritmo se puede presentar de muchas formas. En particular, en la figura se muestran dos ejemplos que corresponden al algoritmo tradicional de la suma, y que probablemente corresponden a tratamientos bastante distintos del mismo. Cuando hablemos de un algoritmo, habrá que asumir que se trata de forma adecuada o, en todo caso, discutir en qué consistiría esa presentación adecuada.
Si queremos hablar de algoritmos para sumar y restar en los primeros cursos de primaria, deberíamos tener claro antes cuáles son los conceptos fundamentales de esa etapa, y que deberían ser desarrollados en paralelo con los algoritmos. Este caso me parece claro: la notación posicional y, más en general, el sentido numérico.
Empezando por la suma, voy a considerar tres algoritmos distintos. Primero, una presentación rápida, y después hablaré de las ventajas e inconvenientes que les veo.
- El tradicional, mostrado en la figura anterior, y que no necesita presentación.
- Explorando sobre el tema me encontré con un vídeo de un alumno que sumaba como se muestra en la figura.
Me parece una propuesta muy interesante, y que también puede verse como otra forma de escribir la suma en fila
Me parece evidente que escribir la suma como en la figura facilita los cálculos al alumno. - Los algoritmos ABN. Creo que ya son bastante conocidos, pero aquí va una presentación en dos líneas «en aras de la completitud». El acrónimo proviene de algoritmos Abiertos Basados en Números. En la tabla de la derecha se muestra un ejemplo. Si queremos sumar los números 36 y 43, lo que se hace es disponer lainformación en una tabla, e ir pasando cantidades del número menor al mayor. Evidentemente, cuando hemos pasado el número completo, en la casilla correspondiente aparece la suma final. La forma de pasar es flexible, y alumnos con diferentes habilidades de cálculo
encontrarán caminos distintos (de ahí el adjetivo de abiertos). Creo que la escritura no está del todo estandarizada (se puede argumentar que no hace falta, por supuesto) y si se buscan ejemplos es posible que no aparezca la columna de la izquierda del ejemplo, las cantidades que se van pasando. En este blog se puede encontrar más información.
Voy a atreverme a aventurar unas pocas reflexiones sobre comparación de estos algoritmos, dejando claro que son reflexiones personales, que han cambiado en estos últimos años, que pueden cambiar en el futuro próximo, y que tengo más preguntas que respuestas.
En primer lugar, decir que el algoritmo tradicional me parece una buena opción. Eso sí, por supuesto, trabajando con números del tamaño adecuado al desarrollo del alumno, y no «llevándome 1», sino reagrupando las 12 unidades en una decena y dos unidades, con el apoyo gráfico/manipulativo necesario.
El algoritmo 2 me gusta mucho. Creo que usa de forma muy natural la notación posicional, y que cuando se calculan sumas de esta forma se está haciendo un uso intenso de las descomposiciones numéricas. Su gran ventaja, me parece, es que se adapta muy bien a las técnicas de cálculo mental y cálculo aproximado. Si queremos hacernos a la idea del orden de magnitud de una suma, es evidente que debemos a sumar desde la izquierda. Solo le veo un inconveniente, y es que no veo cómo trasladarlo al caso de la resta, como veremos más abajo. Y creo que este es un inconveniente muy serio. La pregunta surge sola: ¿sería adecuado trabajar los algoritmos 1 y 2, en paralelo o de forma secuencial? Creo que solo una posible experiencia de aula nos podría iluminar en este punto.
Sobre el ABN, entiendo el éxito relativo que están teniendo en las aulas. Lo que me parece que ocurre en muchos casos es que sustituyen a un tratamiento puramente mecánico del algoritmo tradicional. Y claro, tras años de ver que tus alumnos no entienden nada, hacer por fin algo que se entiende tiene un atractivo evidente. Sobre el algoritmo en sí mismo, es desde luego un buen ejercicio de cálculo mental. Pero si se piensa (como es mi caso) que una de las razones fundamentales de trabajar un algoritmo de la suma es trabajar la comprensión de la notación posicional, entonces creo que surgen muchas dudas. Por los ejemplos que se ven en la red, y por lo que he visto hacer a mis alumnos al tratarlos en la asignatura de aritmética, no me parece que profundizar en la comprensión de la notación posicional sea su fuerte. Pero esta cuestión está abierta, desde luego.
Para terminar con la suma, por supuesto que otra alternativa sería olvidarse de algoritmos, trabajar el cálculo mental (pensado), desarrollando las estrategias adecuadas, de forma realmente flexible, y pasar a la calculadora cuando el tamaño de los números lo requiera.
La resta.
Restar es intrínsecamente más difícil que sumar. Y esto se evidencia tanto en la comprensión del concepto como en los algoritmos. Empezando por los algoritmos tradicionales, hay dos formas de arreglar el problema que surge cuando la cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo.
En el recuadro rojo de la figura (la resta de la izquierda) se muestra el algoritmo tradicional en España (y en otros países europeos). Aquí el problema de cómo se presenta en las aulas es claro. Decir «me llevo una» en el caso de la suma puede ser poco adecuado, pero en el caso de la resta es simplemente disparatado. No hay una, ni me la llevo a ningún sitio. Estamos simplemente trasladando la cantilena de la suma a una situación completamente distinta. Desde luego, con ese lenguaje es imposible que los alumnos entiendan nada, y mi impresión es que muchos niños empiezan a naufragar con la introducción del algoritmo de la resta. La idea para justificar el algoritmo es sencilla, otra cosa es que sea natural, o fácil de captar por el alumno de 1º-2º de primaria. Lo que hace el algoritmo es usar la propiedad de compensación: sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo. La diferencia se mantiene, y ya podemos hacer la cuenta. El lenguaje que se ha usado en España para presentar este algoritmo deja bien claro que la comprensión nunca ha estado entre nuestras preocupaciones a la hora de enseñar matemáticas.
La alternativa de la derecha, usada en el mundo anglosajón y en Asia (y llegando a nuestras aulas) consiste en desagrupar una decena, expresándola como 10 unidades. En el ejemplo, en lugar de 4 decenas y 2 unidades, tenemos 3 decenas y 12 unidades, y ya podemos seguir con el cálculo. Lo que he visto en las aulas es que se usa el término «prestar» y tampoco me parece adecuado, porque creo que deberíamos enseñar a nuestros alumnos que lo que te prestan tienes que devolverlo, y aquí no hay devolución posible. Creo que la verbalización del procedimiento debe estar adaptada al vocabulario de los niños, por supuesto, pero también debe reflejar el proceso de manera correcta. ¿Tomamos una decena, y la expresamos como 10 unidades? Quizá haya mejores alternativas. De nuevo, la experiencia de aula es imprescindible.
La mayor dificultad de la resta queda en evidencia al tratar de buscar un análogo del segundo algoritmo para la suma. No veo alternativa mejor que la que muestra la figura, basada en una idea que circuló por twitter hace unos días.
Seguramente sea un ejercicio interesante, para 1º de la ESO, para trabajar la aritmética de los enteros, y hacer eso tan importante, y que tan pocas veces hacemos, que es reflexionar sobre las conexiones entre diferentes temas. Pero si hablamos de algoritmo para la resta en 2º-3º de primaria, no me parece una alternativa.
En cuanto a los algoritmos ABN, en la figura se muestra un ejemplo. Me parece que la tabla es suficientemente explícita: voy quitando del número mayor, y cuando lo he quitado todo me encuentro 
con la diferencia.
Para terminar, una breve comparación. Sobre los ABN, los comentarios son los mismos que para la suma. Y no es casualidad, porque las ideas subyacentes son exactamente las mismas, claro.
De nuevo aquí se puede aplicar el comentario final sobre la suma: una opción podría ser prescindir de los algoritmos en columna (y de las tablas de los ABN), trabajar (con números del tamaño adecuado al desarrollo de los alumnos) técnicas de cálculo pensado, y recurrir a la calculadora cuando los números sean más grandes.
Finalmente, mi opinión sobre las dos alternativas para gestionar «las llevadas»: no conozco ningún resultado basado en trabajo de aula, pero estoy convencido de que hacer reagrupamientos en el minuendo es más natural que usar la compensación aumentando el sustraendo. Y creo que hay cierto consenso en el tema, a juzgar por cómo la primera de las alternativas va ganando terreno en las aulas y en los libros de texto. Otra cosa son los problemas que la transición está causando, con libros que empiezan con una alternativa para luego usar otra más adelante, o colegios donde se hace algo parecido, o el desconcierto de algunas familias cuando se encuentran con que no saben cómo resta su hijo. Este es otro tema, que quizá merezca tratarse en otra entrada, esta ya es demasiado larga.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
Este comentario es para animarte a que sigas escribiendo sobre algoritmos. Aunque soy profesora de ESO, esta entrada me parece muy interesante porque estoy de acuerdo en que estos algoritmos con los que enseñamos en España, con los que se trabaja de memoria y a ciegas, hacen a los alumnos en general odiar las Matemáticas desde su más tierna infancia, y, tristemente, en particular a alumnos a los que les gusta aprender entendiendo el porqué de lo que hacen. Desmotivan tanto a los alumnos con dificultades como a los alumnos con inquietudes.
Muchas gracias por el comentario. Espero poder continuar la serie pronto.
Muy interesante el tema y muy buen artículo. Me gusta mucho el segundo método, coincido con las ventajas que le ves. Pero al generalizarlo a la resta quiero aportar algo que vengo observando con mi hijo de 8 años (y en menor medida con el de 5). Quizás hay que empezar a meterle otros tipos de números antes ya que los ven en el día a día y los saben usar.
Los números negativos los usa porque los ve a diario en el ascensor, los números cíclicos los ve en el reloj y en la hornilla de la cocina, los números reales los ve a diario con los precios de cualquier cosa, y las fracciones cuando repartimos pizza. Obviamente no sabe operar con cualquier fracción, ni real ni los controla tanto como los números enteros, pero los entiende y sabe usarlos en cierta medida. Si saben usar números negativos (en cierto grado) puede usar ese segundo algoritmo tanto en la suma, como en la resta. Entre semana voy a «probar» con él. (Sabiendo de antemano que un caso no es generalizable al resto de niños)
Estoy de acuerdo en que los niños empiezan a familiarizarse con los números negativos más pronto de lo que muchas veces nos parece. Sobre todo, si usan aparcamientos subterráneos, o viven en lugares fríos 🙂
Pero hay que tener en cuenta que una cosa es familiarizarse con el número, y otra su aritmética. Casi todos los profesores de secundaria con los que he hablado me han dicho que lo más difícil de explicar de secundaria es la aritmética de los números enteros.
En todo caso, muchas gracias por la aportación, y sería estupendo recibir noticias de esas experiencias familiares.
El problema de la aritmètica de los signos se debe a que siguen explicando desde los nùmeros naturales y que no hacen énfasis en las nuevas funciones que cumplen los signos màs y menos, como en 2-(-3). Obsérvese que el signo menos ahora cumple dos funciones distintas: el de representar una operaciòn y el signo del nùmero. Otro caso es con los números que intervienen en las operaciones sobre todo en la resta como por ejemplo en 2-3: aquí el 3 no es negativo es positivo, este error se produce al comparar el resultado de 2+(-3), que simple vista no es la misma operaciòn con los mismo nùmeros. En esto tengo un trabajo de màs de 10 años que me han facilitado el trabajo con los enteros, con un sustento teòrico y tres formas de trabajarlos de manera lùdica, recreativa y concreta sin alejarme de la realidad cotidiana y de la matemàtica. También como hacerlo de manera gràfica todas las operaciones. Estoy en el proceso de publicaciòn de estos resultados el pròximo año
Hola Pedro ( y al resto, claro ) Nuevamente vuelvo a coincidir con tu opinión. Logicamente está muy bien que conozcan los algoritmos, pues en algunas ocasiones les pueden ser de muchisima utilidad, pero no hay que centrarse en su aprendizaje. Lo explico con otro ejemplo. Tiene sentido hoy en día conocer los criterios de divisibilidad? Por supuesto que si, pero quien se acuerda del de 7.¿Como saber si un numero es divisible entre siete? No es mas fácil cojer la calculadora ( o hacerlo en papel) y ver si la división es exacta o no? Y estoy convencido de que antes habría criterios de divisivilidad para cifras mas altas, que está claro que han desaparecido pues NO COMPENSAN EL ESFUERZO.Ahí creo que estriba la clave, en el equilibrio entre lo que me da y lo que me exije.
Y una anecdota propia. Hace años que no les explico a mis alumnos de la eso el algoritmo para el cálculo de la raiz cuadrada, me confromo con explicarles metodos para el cálculo aproximado, y si necesitan la respuesta mas exacta, pues para eso tenemos la calculadora. Pues bien, hace un par de años me encontré con un alumno al que su padre le explico como podía calcular con papel y lápiz la raiz de cualquier numero y el se lo fué explicandoa sus amigos, Pero solo a sus amigos, pues aquello era parecido a un tesoro que solo se explica a los de su círculo, pero bueno, me ayudo a tener un gran grupo de clase que sabia aplicar el algoritmo tradicional a pesar de su farragosidad. Pero claro, no se lo habia impuesto el profe, si no que era su secreto😉
Un saludo a todos, y perdón por la chapa
Claro. Si hay alumnos que descubren algunos algoritmos, y les interesan, estupendo! Imponerlos es el problema.
Muchas gracias por el comentario.
Enhorabuena; creo que, como siempre, pones el dedo en la llaga. Espero con impaciencia a que llegues a los algoritmos que se estudian en la ESO y en bachillerato.
Muchas gracias, Elena. Llegaré, espero. No puedo prometer cuándo, porque el siguiente será el 0 de la serie, que olvidé.
Saludos. Muy buen artículo y me atrevo a compartir nuestro blog http://oaoamatematicas.blogspot.com/ y http://www.oaoamatematicas.org donde ponemos en práctica infinidad de algoritmos alternativos a los tradicionales.
OAOA Otros Algoritmos para las Operaciones Aritméticas
Pingback: Los algoritmos (0) – Sumas y restas “pasando el 10” | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.
muy bueno!!!
respecto al desconcierto de las familias no se si tienes otra entrada, porque acabo de descubrir tu blog y me ha enganchado!
yo lo suelo explicar en una reunión de padres… pero me temo que se preguntan por qué les ha tocado una seño tan rara!!!
un saludo
Muchas gracias por el comentario, Isabel.
No, no me he lanzado a esa entrada sobre la reacción de las familias. En realidad, creo que no puedo aportar gran cosa, en ese tema vosotras conocéis la realidad mejor que yo. Pero ánimo, en el tema de la resta dejarás de ser la rara, la opción de desagrupar en el minuendo va avanzando, me parece que de forma irreversible.
Pingback: Cumpleaños y resumen | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.
534 menos 486 son 48
No 42 como la imagen que muestras
Muchas gracias por el aviso, ya está corregido.
Hola, creo q vas a venir a nuestro cole a dar formación y es debido al gran debate q los libros de Edelvives y sus mates están generando entre los profes.
En 2° hemos asumido la resta con la cesión de decenas y en cambio los profes de 3° no les gusta el método y a los alumnos q llegan inseguros les vuelven a enseñar con el metodo llevo una al sustraendo.
Espero q tu experiencia nos de luz para llegar a un acuerdo. Y lo mismo nos pasa con las tablas y la versión d las veces….en fin q tengo muchas ganas de escucharte.
Saludos
Muchas gracias por el comentario. Motiva saber que estamos escribiendo de temas de los que se está debatiendo en las aulas.
estoy en plenas oposiciones de primaria y de casualidad he llegado aquí, no he podido evitar rehacer la resta de la derecha, que me parecer la mejor opción, de forma que se entienda algo mejor el negativo si aun no se ha «dado» y me he dado cuenta de que al final lo fusiono también con el ABN…creo que así nos beneficiamos del formato columna pero es mas comprensible también.
Tenemos 534 caramelos y tenemos que quitar 486.
1. Descomponemos minuendo y sustraendo y explicamos/recordamos que es lo mismo 534 que 500 por un lado, 30 por otro y 4 por otro.
500+30+4
400+80+6
2. Primero quitamos 400 caramelos a 500 y así sucesivamente, centenas con centenas, decenas, unidades….
3. Llegamos al problema: a 500 le quito 400 y me quedan 100, pero que ocurre con las decenas? le quito más de lo que tengo. En el caso de 30-80 en principio sólo puedo quitar 30 y ya me quedo sin….Les invitamos a volver a descomponer más el sustraendo.
500+ 30+ 4
400+(30+50)+(4+2)
4. Es clave que la descomposición del 80 sea 30+50 y la de 6 4+2, además de lógico, quitamos hasta lo que tenemos y luego deberíamos quitar más, pero eso no lo tenemos.
5. resolvemos
a 500 le quito 400, me quedan 100 caramelos
a 30 caramelos le quito primero 30 y no me queda ninguno ya, le tengo que quitar 50 más que no tengo, así que lo tomaría del 100, se los quito, le resto.
a 4 le quito primero 4 y aun le tengo que quitar , lo tomo también del 100, se lo resto.
Así a los 100 caramelos le resto 50 y 2
500+ 30+ 4
400+(30+50)+(4+2)
100- (0-50)+ (0-2)
y ahora voy a estudiar…
Ante todo, Lucía, mis disculpas por haber tardado tanto en aprobar este comentario. He tenido el blog completamente desatendido durante el cierre del curso. Sí, es claro que cuando se manejan las descomposiciones de los números aparecen alternativas.
Espero que haya ido bien en las oposiciones, y que puedas empezar pronto a llevar estas ideas a las aulas.
El artìculo esta muy bien y la importancia de los algoritmos es trascendental en la operaciones y en nuestra vida cotidiana. A mi modo de ver y por el trabajo que estoy desarrollando al respecto, es estos estàn fuera del contexto de lo que es y cómo funciona un sistema numèrico y aprovechar sus propiedades y caracterìsticas. Ademàs, no se tiene en cuenta la importancia de la base del sistema en la conformaciòn de las distintas unidades del sistema y què papel juega al momento de realizar una operaciòn.
Tambièn, cómo influye la base para la lectoescritura de los nùmeros y como a través de ella podemos entender y graficar las operaciones de la potenciaciòn, radicaciòn y logaritmaciòn. Espero terminar de escribir los resultados encontrados para el pròximo año y que me han facilitado comprender los algoritmos de las operaciones. En el se comprende las situaciones de llevar, prestar que para mi no es lògico la forma como se presentan y porque la potenciaciòn se resuelve mediante la multiplicaciòn y no por la suma, ademàs, de representar gràficamente cualquier potencia de manera fácil y concreta.
Pingback: Jornada en el CTIF Madrid-Este | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.
Ta bien