Este verano las fórmulas han estado de moda. Primero, la de sostenibilidad de las pensiones; luego, la fórmula para el cálculo de las becas. Por supuesto, la reacción ante ellas ha sido la de siempre, en la línea con el aviso que cuentan los autores de libros de divulgación: con cada fórmula que aparezca en el libro perderás lectores. Las fórmulas no son más que un aspecto del lenguaje de las matemáticas, aunque es verdad que uno de los aspectos que puede resultar menos intuitivo. Sobre todo, si como con muchas otras cosas cometemos el error de introducir demasiadas y demasiado pronto, sin dedicarle el tiempo adecuado a la comprensión. Un tema en el que me parece que esto queda muy claro es en el cálculo de áreas, al final de primaria y durante la ESO. Voy a dedicar esta entrada a reflexionar sobre el uso de las fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas. Creo que todos los profesores de final de bachillerato, y primeros cursos universitarios nos hemos escandalizado ante alumnos que no recordaban fórmulas básicas. Me parece que la principal razón es que hay realmente demasiadas fórmulas, y que deberíamos pensar con cuidado cuáles son realmente necesarias.
Como primer ejemplo de fórmula superflua (bueno, más que superflua, diría perjudicial), pondría la del área de un polígono regular, en la figura.
No se trata sólo de que la fórmula aparezca muchas veces sin justificación. Por mucho trabajo que nos tomemos en deducir la fórmula en clase, si después lo que hacemos al resolver los problemas es recurrir a la fórmula, lo que quedará en la cabeza de la mayoría de los alumnos será esa fórmula final (bueno, quedará durante un tiempo, claro, porque es un tipo de conocimiento que no integran en sus esquemas mentales, un conocimiento no significativo, y que la mayoría olvidarán un tiempo después). ¿Qué ventaja tiene esta fórmula sobre el hecho de que un polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos iguales? Por el contrario, yo si le veo una ventaja a esta segunda opción: se inserta en cosas que ya se conocen, y permite repasar el área del triángulo cada vez que se resuelve un problema de esta forma. Se trata de un ejemplo de manual de aprendizaje significativo.
¿Y los trapecios? El otro día pregunté en mi clase de 3º de magisterio por el tema. Muy pocos, claramente por debajo del 10%, recordaban la fórmula para el área de un trapecio. De nuevo, una fórmula fácil de deducir pero, ¿merece la pena? ¿No es mucho mejor que se den cuenta de que un trapecio se descompone fácilmente en dos triángulos, ambos de altura h, uno con base b y otro con base a? En este caso, además, hacerlo así permite trabajar triángulos en posiciones «no usuales», una fuente de problemas para muchos alumnos hasta bien avanzada la secundaria.
Pero sin duda las fórmulas que primero eliminaría de las aulas son las de la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular.
¿Por qué? Pues porque cada vez que las usamos estamos desperdiciando una magnífica oportunidad de repasar el concepto de proporcionalidad. Peor aún, cada vez que las utilizamos estamos reforzando esa imagen de las matemáticas elementales como un conjunto de recetas y fórmulas arbitrarias, sin conexión entre sí, y estamos perdiendo una magnífica oportunidad de mostrar las matemáticas como lo que son: un conjunto coherente y unificado de principios, conceptos y relaciones, donde abundan las conexiones entre distintas áreas, y donde nada es porque sí. Adaptando el título del blog a el tema del cálculo de áreas, diría que lo que hace falta es más razonamiento y menos fórmulas.
Para terminar, voy a atreverme a hacer un resumen de las fórmulas que creo necesarias para el tema de figuras planas:
- área de los paralelogramos y de los triángulos
- longitud de la circunferencia y área del círculo
¿Olvido alguna?
Por supuesto, cuando pasamos al tema de volúmenes de sólidos y área de superficies la situación empeora. Revisaré este tema en una próxima entrada.
Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.
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Estoy totalmente de acuerdo.
Hace poco me ha pasado algo parecido con las «fórmulas» de las potencias. Una persona que en su momento no pudo estudiar, pero que me asombra por su capacidad para resolver problemas de lógica que no requieren de conocimientos previos, no dejaba de liarse con la aplicación de las fórmulas de las potencias, hasta que le dije: se acabó. A partir de ahora no existen las fórmulas, pero recuerda los pasos que hemos dado cuando las demostrábamos, como por ejemplo expresar una fracción como producto de dos; para, a partir de ahora, resolver los ejercicios.
A partir de ese momento comenzaron a desaparecer sus dudas. Ganó en seguridad y confianza. Y lógicamente, a medida que hace ejercicios, interioriza (se salta) cada vez más pasos, hasta llegar a la aplicación de las fórmulas de un modo intuitivo. Sin necesidad de haberlas memorizado.
No se debería permitir que un alumno pase de tema sin dominar el anterior. Decir que la derivada del seno es el coseno sin saber lo que es el seno, el coseno ni la derivada… Les propongo a quienes den clase a primero de bachiller que hagan un test (sin que los alumnos escriban su nombre) en el que pregunten qué es un factor, qué es un multiplo… etc. a alumnos que ya sepan lo qué es sacar factor común, y estén «calculando» el mínimo común múltiplo para sumar fracciones… Llévense tranquilizantes. He avisado.
Coincido con los dos aspectos fundamentales del comentario:
1- por supuesto que el objetivo final es que el alumno opere con soltura, y que sepa que «para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes», pero el tipo de aprendizaje que se produce es totalmente distinto si se empieza con la fórmula, o se empieza, con más calma, dejando que el alumno la descubra.
2 – se ha escrito mucho sobre la ansiedad ante las matemáticas. Cada vez estoy más convencido de que la fuente principal de la inseguridad primero, y ansiedad después, es justo eso: hacer cosas que no se entienden.
Muchas gracias por la aportación.
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Yo iría incluso más atrás. Cuando doy clases me limito a que sepan la fórmula del cuadrado, que es una simple consecuencia del concepto de área. El rectángulo se puede dividir en pequeño cuadraditos unidad y surge el problema cuando llegamos al paralelogramo porque no es rectangular y algunos cuadraditos se salen pero mágicamente al trazar la altura vemos un triángulo que encaja perfectamente en el otro lado (es difícil de escribir sin hacer los dibujos). En el triángulo nos surge el mismo problema pero todo se soluciona cuando «nos inventamos» otro triángulo igual que al recolocarlo (y este ejercicio es interesante porque fomenta la intuición geométrica) nos da un paralelogramo y como ya habíamos lidiado con ese problema solo queda repetir el procedimiento anterior sin olvidarnos de cuales eran los datos que teníamos (¿Cuál es ahora la base? ¿Cuál la altura?) sin olvidar nunca que nos habíamos inventado un triángulo y por tanto solo nos interesa la mitad de la figura (de ahí el dividir entre dos). Las otras figuras planas (trapecio, rombo…) salen exactamente igual y las omito para no aburrir, pues verlo escrito quizá es menos bonito de como uno lo imagina.
En cuanto a los polígonos regulares esa es la demostración que utilizo, acaba siendo calcular el área de un paralelogramo, o de n triángulos.
Obtenida la fórmula del área de polígonos regulares solo necesitamos dos cosas para no tener que creernos la del cálculo del área del círculo:
– Fórmula de la longitud de la circunferencia: Sale directamente de la definición de π. Un buen ejercicio es: con una cuerda de cierta longitud hacer una circunferencia lo mas fiel posible y medir su diámetro, ¿Cuál es el cociente entre la longitud y el diámetro? ¿Y si lo hacemos con una cuerda más grande o más pequeña?
– Explicar que el círculo es un polígono de infinitos lados, lo cual es realmente intuitivo pero además nos da una oportunidad excelente para introducir el concepto de infinito y el de iteración.
Gracias a esto tenemos que A = p*a/2 incluso para el círculo ya que es un polígono regular pero… ¿Cuál es el perímetro? ¿Cuál es la apotema? Pues el perímetro en la circunferencia se llama longitud y es 2πr y la apotema es r. Llegamos pues a:
A =(2πr)*r/2= πr²
En consecuencia creo que solo se necesitan como conocimientos básicos:
– Area de un cuadrado de lado 1.
– Fórmula de la longitud de la circunferencia, es decir: conocer π.
Los únicos inconvenientes de ir tan atrás es que seguramente alguien se pierda en una clase aunque yendo tan poco a poco parece dificil pero es de los primeros razonamientos largos que se hacen y aunque sea simple comprendo que sea tedioso de seguir. En cuanto a mi experiencia doy únicamente clases particulares, el cual comprendo que es otro mundo y quizá no puedes llevarlo tan atrás, a pesar de ser lo interesante…
Estoy de acuerdo, pero ojo: lo que comentas del área del círculo es una buena manera de deducir la fórmula para el área del círculo. Pero no me parece razonable tener que reproducir ese argumento cuando en un problema aparece el cálculo del área de un círculo, ¿no? Por tanto, la fórmula del área del círculo hay que «aprendérsela» (aunque, por supuesto, sabiendo de dónde viene). Para el área de un polígono regular, sin embargo, la fórmula no aporta nada. Se puede hacer el problema, esencialmente con el mismo trabajo, sin mas que dividir el polígono en triángulos. Muchas gracias por el comentario.
¡No! Claro que no hay que construir todo el razonamiento cada vez que quiero calcular el área de un círculo pero es que…(y este es otro debate) ¿Para qué iba a querer un niño calcular el área de un círculo? Entiendo que las matemáticas se imparten desde tan pequeños porque lo que se quiere es inculcar la capacidad de abstracción o de razonamiento que llevan implícitas. Dudo que se haga para conseguir que toda la población sepa calcular áreas de círculos (Aunque a veces pienso que es así, porque si no ¿qué diablos se quiere conseguir poniendo ejercicios con doce círculos distintos y pidiendo que se devuelva el área de cada uno?). Como digo éste es otro debate. Las fórmulas está bien aprendérselas pero en un proceso más natural (como la entiendo lo hago tan deprisa que es una mezcla entre «sé lo que me tiene que salir» y «construyo el razonamiento de manera rápida e intuitiva y llego donde sé que tengo que llegar»). No sé si me explico. A lo que voy es a que veo poco importante el resultado; no me parece importante para el proceso de aprendizaje si es πr² o r+7² sino cómo han llegado hasta ahí y si sabrían hacerlo solos (La respuesta normalmente es no hasta cursos mucho más elevados de los que nos gustaría admitir).
En resumen, y siento que mi capacidad de síntesis sea tan mala:
– Sí, está bien aprenderse la fórmula porque es práctico para no perder tiempo a la hora de resolver un problema de ese tipo. Ahí no creo que haya debate para nadie y es evidente que los alumnos deben saber de dónde vienen las fórmulas (y más con construcciones tan bonitas y fáciles como estas).
– De lo que se puede discutir es de si tiene sentido que un niño se encuentre con un problema del tipo «Calcula el área de un círculo de radio 4».
Acabo con una cita (no recuerdo las palabras exactas) que viene al caso, y que de hecho creo que es tuya, Pedro, aunque no estoy seguro: «Acabamos educando a niños que saben calcular la derivada de un logaritmo sin saber lo que es la derivada y sin saber lo que es un logaritmo».
Empezando por el final, la cita me resulta familiar, pero no la recuerdo, y haciendo una pequeña búsqueda no he encontrado nada. En cualquier caso, la suscribo completamente.
Me parece que estamos bastante de acuerdo (es fundamental entender de dónde sale esa fórmula, el por qué y el para qué). El matiz que queda pendiente es un tema sobre el que tengo pendiente escribir: ¿qué problemas son interesantes? Los problemas realistas (cuando son buenos) son estupendos, desde luego. Pero, ¿solo problemas realistas? Pero como digo, eso será tema de una próxima entrada. Muchas gracias por tus comentarios.