El problema de la hormiga

Hoy una entrada corta, con un problema que me ha encantado. No es original: según Wikipedia, lo propuso Dudeney en un periódico inglés en 1903. Lo descubrí hace unos pocos días, y me parece que tiene todas las cualidades que debemos pedir a un buen problema “extra” para proponer en clase. Es sencillo de formular, y la solución es soprendente, y elemental. Además, permite dar una idea de un tema importante: las distancias en superficies. Creo que me atrevería a proponerlo como una actividad avanzada al final de la primaria, y desde luego en cualquier curso de secundaria.

problema-hormigaTenemos un almacén en forma de ortoedro, con 30 m de fondo, 12 m de ancho y 12 m de alto. Una hormiga hambrienta se encuentra en la mitad de la pared del fondo, a 1 m del techo. Hay una miga de pan en la mitad de la pared frontal, a 1 m del suelo. A la hormiga le quedan fuerzas para andar 40 41 m. ¿Podrá alcanzar la miga?

Creo que sin indicaciones no es un problema sencillo. Aunque no demos ninguna ayuda de entrada, sí es muy recomendable tener alguna pensada para cuando llegue el momento de desatascar a algún alumno. La primera que yo daría es que consideren diferentes desarrollos del ortoedro.

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Los problemas resueltos

La costumbre, cada vez más extendida, de publicar todos – o casi todos – los problemas con solución, me parece un muy mal síntoma. No me refiero al resultado numérico final, que puede servir de ayuda en la comprobación, sino a la resolución completa. A los estudiantes les encantan los libros de problemas resueltos, y reclaman las soluciones completas de todos los problemas. Los profesores … bueno creo que demasiados profesores son cada vez más dependientes del “libro del profesor”.

Empezando por este segundo caso, es evidente que si alguien realmente *necesita* el libro del profesor estamos ante un problema grave, en el que no tiene mucho sentido entrar en este contexto. En la mayoría de los casos, estoy seguro, el libro del profesor es sólo una ayuda, algo que hace más cómodo el día a día. Pero aún en este caso, si estoy acostumbrado a la comodidad del libro del profesor, ¿cuál será mi actitud cuando un alumno encuentra un camino distinto y me presenta una solución “original”?

Pensando en los alumnos, veo dos tipos de problemas. El primero, supongo que el más evidente, es que no trabajen el problema (o lo hagan sólo brevemente), y que se limiten a “estudiar la solución”, esperando que en el examen aparezca un problema suficientemente parecido. El segundo es más sutil, pero de consecuencias también relevantes. Convencerme de que la solución que he obtenido es correcta (o, al menos, plausible) es una componente importante de la resolución del problema. Si nada más obtener la solución final puedo comprobar en el solucionario correspondiente si es o no correcta, estoy empobreciendo el proceso. Y si me acostumbro a ello, el círculo se cerrará si me acabo dedicando a la docencia: seguramente sepa resolver los problemas, pero no estaré del todo convencido de que lo he hecho bien hasta que no vea la solución en el libro correspondiente. Por supuesto, prescindir del solucionario tiene un riesgo, porque nadie es infalible, y seguro que todos los profesores que prescindimos de los libros de soluciones cometemos algún error. Pero, siempre que ese error sea esporádico, me parece que el riesgo merece la pena.

Trabajar con los estudiantes esa fase de comprobar la solución tiene un gran interés en sí mismo. El método más efectivo, sin duda, es pedir que expliquen esa solución a sus compañeros. Estoy seguro de que cualquiera que esté acostumbrado a trabajar en problemas de suficiente dificultad  ha pasado por la experiencia de descubrir un error en su argumento en el momento de explicárselo a un colega.

Una de las mejores cosas que podrían sacar nuestros alumnos del estudio de las matemáticas es esa capacidad para enfrentarse a un problema y analizar su solución. Y de los problemas reales que se encontarán en el futuro, sea en el entorno profesional, o en el personal, sean o no de carácter científico-técnico … nadie ha publicado la solución.

Learned helplessness

Hace unos días he descubierto un concepto que me parece muy interesante, el que da el título al post. Creo que es muy relevante en el fenómeno de la parálisis ante un problema que todos observamos en los chicos, y que en muchos casos aumenta conforme avanzan en nuestro sistema educativo. Parece que la traducción estándar en España es “indefensión aprendida”. La traducción me parece muy poco afortunada. Un problema no es una amenaza, y no hay que defenderse de él, y el adjetivo aprendida también me parece mejorable. Yo propondría incompetencia, o incapacidad, adquirida, o inducida.

El libro en el que vi la primera referencia merece un comentario en sí mismo: Math from Three to Seven, de Alexander Zvonkin. Zvonkin es un matemático ruso que organizó unas reuniones con un grupo de 4 niños (un “círculo matemático”), y empezó a proponerles actividades. El libro es, esencialmente, un diario de cómo se desarrollaron esas actividades. El enfoque adoptado por Zvonkin, esencialmente de proponer problemas y dejarles a los niños la iniciativa, y las actividades, han sido un descubrimiento, y creo que cualquiera que trabaje con niños de esas edades puede aprender mucho con su lectura.

Volviendo a la incapacidad adquirida (creo que de momento voy a adoptar esa traducción), creo que la mejor manera de describirla es con  este experimento de  Jones, Nation y Massad: estos investigadores organizaron cuatro grupos de individuos. Al primero le propusieron un conjunto de problemas sencillos, de manera que pudieron resolverlos todos. Al segundo, una selección de problemas muy complicados, que ninguno pudo resolver. Al tercero, problemas variados, con el objetivo de que resolvieran aproximadamente la mitad. El cuarto grupo era el grupo de control. En una segunda etapa, propusieron a los cuatro grupos problemas muy difíciles, que nadie pudo resolver. Finalmente, en la tercera etapa les propusieron a los cuatro grupos problemas de dificultad variada.

Los resultados mostraron que el tercer grupo fue el que mejores resultados obtuvo en esta última etapa, y que los restantes grupos se comportaron de forma similar. La conclusión es, evidentemente, que el que los problemas sean demasiado sencillos, y seamos capaces de resolverlos todos, es igual de negativo que el que los problemas sean demasiado complicados, y no podamos resolver ninguno. Conclusión: es esencial que los problemas sean realmente variados, para que los alumnos de todos los niveles de aprendizaje se enfrenten, con regularidad, al éxito y al fracaso en su resolución..

Es posible que algún lector esté hasta escandalizado por que alguien que dice llevar 20 años dando clase haya descubierto ahora este concepto, bien conocido en teoría del aprendizaje. Sólo puedo contestar que tiene toda la razón, y que en mi defensa sólo puedo alegar que mis compañeros, que sí han hecho el curso de formación de profesorado del ICE (Instituto de Ciencias de la Educación) tampoco lo conocían.

Los libros de Singapur (I)

Hace unas semanas pepvidal preguntó en un comentario sobre los libros de Singapur, y cómo presentan las matemáticas escolares. Espero que lleguen pronto entradas con ejemplos de secuencias didácticas para introducir algunos conceptos, de esos clave. Hoy quiero hablar de otro detalle, quizá más sencillo, pero que me parece que en general en los textos españoles no está bien resuelto.

En las imágenes siguientes se puede ver dos ejemplos de ejercicios sobre el número de tres cifras. Evidentemente, se trata sólo de un ejemplo, pero lo he elegido porque creo que es bastante representativo de un patrón general. Por un lado, la representación de las centenas, decenas y unidades que se hace en el ejemplo de Singapur me parece mucho mejor, pero hay otro detalle quizá más sutil pero que es justo sobre lo que quería escribir hoy. En el ejemplo español los cuatro casos son exactamente iguales. El alumno puede rellenar los tres que le tocan por simple imitación, sin entender absolutamente nada de la idea que se pretende transmitir. De esta manera se supone que se pretende automatizar el proceso, pero el problema de automatizar sin entender es que los automatismos se pueden perder y entonces queda … nada. En el caso del libro de Singapur, los ejemplos sin unidades y sin decenas, que supongo que aquí se opina que introducen una dificultad excesiva, lo que hacen es, desde mi punto de vista, ayudar a la comprensión del concepto.

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3cifras-Singapur-2La situación es, de hecho, peor si nos centramos en los problemas. En el ejemplo, unos problemas del tema de las sumas, de un libro de 2º de primaria. De nuevo, creo que el ejemplo es basntante representativo, al menos si nos centramos en las editoriales mayoritarias. Los tres problemas se reducen a lo mismo: sumar los números que aparecen en el texto. Hasta tenemos el formato para la suma incorporado, de manera que el niño no tiene ni que molestarse en pensar cuántos números tiene que sumar. Que los niños no se molesten en leer el enunciado me parece una consecuencia lógica de este planteamiento. Y cuando en algún momento necesitan leer los enunciados … no los entienden. (Un comentario accesorio: algún maestro me ha comentado que, encima, los dibujos quedarán bonitos, pero confunden, porque el número de cometas del dibujo no coincide con el texto).

problemas-sumas-segundo

El siguiente es el ejemplo del texto de Singapur. Desde luego, mucho más sobrio estéticamente. Algunos pensamos que eso puede ayudar a que la atención del alumno se centre en las matemáticas. Por supuesto, es muy enriquecedor hacer a veces proyectos, o combinar actividades con contenido de arte y matemáticas, y muchas otras cosas. Pero, de vez en cuando, también es conveniente centrarse en las matemáticas. En cuanto al contenido, la diferencia más importante es que, desde muy pronto, los enunciados de los problemas son más variados, y de  nuevo eso ayuda a la comprensión.

problemas-sumas-restas-Singapur-2

Un comentario final: no es que los libros de Singapur me parezcan perfectos. De hecho, en este último aspecto creo que se quedan bastante cortos, y que se podría ser mucho más audaz en el tema concreto de la resolución de problemas. De nuevo, ya he podido confirmar en la práctica algo que hasta ahora sólo era una intuición. La semana pasada animé a un profesor de 1º de Primaria a que propusiera en clase el siguiente problema:

Luis ha llevado 4 caramelos al colegio, su amigo Juan el doble, y su amiga Marta tiene 3 caramelos. En el recreo se juntan con sus amigos Jaime y Belén, que no tienen caramelos, y deciden repatirlos entre todos. ¿Cuántos caramelos se comerá cada niño?

Con total seguridad, este era el primer problema al que se enfrentaban la mayoría de los niños, y los resultados fueron estupendos. Por supuesto, la mayoría encontró dificultades, preguntaron, y dudaron. Exploraron ideas nuevas. Algunos necesitaron ayuda para asimilar la idea de doble, y todos tuvieron que idear estrategias de reparto, porque por supuesto no conocían el algoritmo de la división. Desde mi punto de vista, una sesión semanal de 30 minutos dedicada a resolver auténticos problemas (y ya desde el primer curso de primaria) tendría efectos enormemente positivos en la formación matemática.

Un problema “estilo Dan Meyer”

Hoy, una entrada cortita y desengrasante. Los últimos días de lluvia me han dejado este problema en el jardín:

Las lluvias de la última semana han llenado de agua 2/3 del cubo de la foto. ¿Cuánto ha llovido? (La altura de la botella es de 20 cm).

Parte del problema consiste en investigar cómo se miden las precipitaciones. Aquí tengo una duda: ¿cuánta gente “de la calle” sabe que las dos unidades que se utilizan usualmente son, en realidad, la misma?

El número de dos cifras

Contar es la primera actividad matemática que ha practicado todo ser humano. Por supuesto, se le debe dedicar la atención necesaria en los primeros años de escolarización, pero creo que su enseñanza no presenta grandes dificultades. Después de todo, los monos saben contar. (Es cierto que existe un pequeño porcentaje de niños con algún trastorno del aprendizaje que les puede ocasionar dificultades en el recuento, pero no voy a cometer la osadía de hablar de este tema, no lo conozco).

Creo que el primer momento en el que aparece la disyuntiva entre un aprendizaje reflexivo y basado en las ideas, y un aprendizaje basado en las rutinas y la memoria, es en el primer curso de primaria, con la introducción del número de dos cifras. Salvo escasas excepciones, la metodología utilizada en nuestro país (y presentada por los textos mayoritarios) es la siguiente: tras un repaso de los números del 0 al 9, se introducen los números del 10 al 19 en el tema 1, los números del 20 al 29 en el tema 2, y así sucesivamente. Al terminar el tema 9, hemos llegado al número 99. La confusión que un niño debe experimentar cuando le dicen que los conocidos símbolos 1 y 0, al yuxtaponenerse se convierten en el número que sigue al 9 es difícil de imaginar. Bueno, los lectores que no conozcan la representación de un número en base b podrían llegar a intuirla, si se paran a pensar en cómo escribiríamos el número 8 si los humanos tuviéramos 8 dedos y contáramos, por tanto, haciendo “octenas” en lugar de decenas.

Por supuesto, este enfoque basado en la memoria crea todo tipo de problemas de aprendizaje, y la aparición del 0 será motivo de quebraderos de cabeza para muchos niños durante años: si aparece en una posición intermedia en números de 3 ó más cifras, si aparece en el multiplicador, o en el dividendo, o en el divisor …

Durante la introducción de los números se hacen, por supuesto, multitud de ejercicios del tipo:

  • Descompón el número 50 como 50 + 8.
  • Subraya (o colorea) las decenas y las unidades.

Desde mi punto de vista, se trata sólo de parches, y lo normal es que muchos niños terminen el proceso sin haber desarrollado lo que debería ser el objetivo fundamental de esta etapa, adquirir sentido númerico, y entender el sistema de notación posicional. Esto hace que, para calcular una suma como  67 + 10 su única herramienta sea el conteo, y que necesiten el algoritmo de la suma para poder empezar a hacer cálculos sencillos.

¿Cuál es, entonces, la alternativa? La primera idea importante que se debería transmitir es que vamos a contar “haciendo grupos de diez” (ojo: esto no quiere decir que ya tengamos que introducir la representación del diez como 10). Se deberían hacer ejercicios de conteo durante varias clases, que los niños responderían con frases como: “aquí hay 3 grupos de diez y 4”. Tras esta primera etapa, ya estarían preparados para que les digamos que ese número se representa como 34.  No voy a exponer aquí una secuencia metodológica detallada (aunque sería muy interesante saber si la carencia de materiales adecuados es una barrera importante para la extensión de este enfoque). Lo esencial es darse cuenta de que, con este enfoque, el niño puede plantearse el cálculo de forma mucho más reflexiva, generando sus propios procedimientos o, en otro caso, entendiendo los que se le presentan.

Un último comentario: sé que no estoy inventando nada, y lo que voy descubriendo de los países con mejores resultados en los tests internacionales es que ya han emprendiendo este camino (algunos hace años). En esta entrada ya comenté que en Holanda no se plantean el estudio de los algoritmos tradicionales de la aritmética hasta 4º de primaria. Otro ejemplo: en Canadá (bueno, en Alberta, cada provincia tiene su curriculum) se menciona una y otra vez la comprensión de los temas, y los algoritmos pasan casi completamente desapercibidos, como se puede ver en este documento.

Nanopartículas

Este problema se me ocurrió mientras escuchaba un podcast de la serie Discovery de la BBC (los podcast de la BBC me parecen, en general, un material muy interesante, en especial por supuesto para los profesores de centros bilingües. Este es el problema, que creo que sería adecuado para el final de la ESO y Bachillerato.

  1. Tenemos 1 gr de agua en forma de gota esférica. ¿Cuál es su superficie?
  2. Ahora tenemos esa misma cantidad de agua pero formando 10 gotas esféricas iguales. ¿Cuál es ahora la superficie total?
  3. En función del tiempo disponible y del nivel del grupo, se podría repetir el apartado 2 con 100 esferas, o 1000, u obtener directamente la función que expresa la superficie en función del número de partículas.

Lo que se observa es que la superficie aumenta al aumentar el número de partículas. Evidentemente, la razón de este fenómeno es el diferente comportamiento frente al cambio de tamaño de la superficie y el volumen del que se ocupaba la entrada anterior.

La aplicación: la actividad de una sustancia en un entorno, por ejemplo nuestro cuerpo, depende fundamentalmente de la superficie de contacto, porque es ahí donde se desarrollan las reacciones químicas. Un campo de investigación en el área de Nanopartículas consiste en investigar cómo se puede añadir, por ejemplo, sal o azúcar a un alimento en forma de nanopartículas. De esta forma se podría conseguir el mismo sabor con una cantidad menor de producto, con el consiguiente beneficio para la salud. Claro que no todo son luces; algunos críticos sostienen que hay que tener cuidado con las nanopartículas. Precisamente por su pequeño tamaño, es posible que puedieran llegar a lugares donde en su forma usual no llegan, y habría que estudiar cuáles podrían ser los efectos de esto a medio y largo plazo.