Un cucurucho de pepitas de oro

Imagina que te dan un círculo de cartulina de radio 10 cm y te dicen que te llenarán con pepitas de oro el cucurucho que consigas hacer con la cartulina. ¿Cómo debería ser el cucurucho?

Me parece que este problema tiene todas las características de un buen problema: es natural, el enunciado es fácil de entender, la solución no es nada evidente “a primera vista” pero se puede obtener con los métodos de la ESO (bueno, si nos ayudamos de un software que represente la función volumen que se obtiene, y que nos permita obtener de forma aproximada el máximo de la función). Puede incluso plantearse, a nivel puramente manipulativo, al final de primaria.

Y es que los conos son cuerpos bastante aburridos si nos limitamos a calcular volúmenes y superficies con las fórmulas estándar, pero mucho mas interesantes si en lo que respecta a las fórmulas nos limitamos a la del volumen, y nos planteamos luego problemas basados en las relaciones entre el objeto tridimensional y su desarrollo plano, como ya comenté en esta entrada.

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Los “problemas de ciclistas”

Dos ciclistas están en dos pueblos distintos, a una distancia de 112 km. Empiezan a pedalear, a la vez, para encontrarse. Uno va a 18 km/h, y el otro a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? (Debes resolver el problema sin usar razonamientos algebraicos, y dar el resultado en horas, minutos y segundos).

Este es un problema que, con variantes, planteo cada año a mis estudiantes de Matemáticas I. Tras varios años de observar los patrones de respuesta de los alumnos, he detectado varias cosas interesantes, y que creo que pueden ser de interés para algunos lectores.

La primera observación es que, cuando no les permites usar el álgebra, la mayoría (hablo al menos de 3/4 partes de los alumnos, que sí lo intenta, porque hacen otros probleas de la hoja) no consiguen hacer nada. Este detalle de prohibirles el álgebra es un tema de reflexión en sí mismo, desde luego. Encantado de recibir ideas al respecto, y ya tengo apuntado el tema para una futura entrada. De momento, me limitaré a decir que, desde mi punto de vista, el uso del álgebra para resolver problemas como éste empobrece el aprendizaje de la aritmética.

En la clase en la que tratamos los problemas, los alumnos a los que pregunté –y que habían hecho algo– empezaron con la idea de que “es lo mismo que si los dos ciclistas se movieran a una velocidad de 20 km/h”. Tratar de convencerles (a ellos y al resto de la clase) de que también es lo mismo que si un solo ciclista se mueve a 40 km/h, costó sorprendentemente mas. De hecho, creo que no lo conseguí hasta que no cambié ciclistas por pintores, la carretara por una valla (y los km por m, por aquello de las “matemáticas realistas”).

Pero la segunda parte me parece también interesante: el problema que tenemos ahora es cuánto se tarda en recorrer 112 km si nos movemos a 40 km/h. Supongo que entendieron que esa prohibición del álgebra se extendía a “fórmulas de la física” (así le llaman a cosas como e=v.t) — y aquí acertaron, esa era mi idea–. Lo que hicieron entonces es razonar que en 2 horas recorren 80 km, en media hora mas otros 20 km, y continuaron dividiendo hasta la solución final. Ya se que algún lector puede estar pensando que no eran “soluciones independientes”. Fueron tres grupos, y digamos que pregunté lo suficiente para convencerme de que sus razonamientos sí eran personales, además de que en los tres casos se trataba de alumnos que apuntan muy buenas maneras en la asignatura.

Y todo esto, a pesar de que la semana anterior habíamos trabajado en la teoría la división, y nos habíamos parado en sus dos significados. Esta dificultad no me sorprendió, ya lo había visto otros años (por eso el problema estaba formulado de esta forma; si la distancia hubiera sido de 120 km, no habrían tenido ningún problema con esta parte). Resulta realmente llamativa la dificultad de comprensión de la división cuando el cociente o el divisor no son números enteros. La causa la tengo clara: demasiadas divisiones hechas en primaria, con poca atención a su significado.

 

El área lateral del cono

Tengo pendiente una entrada sobre el problema del exceso de fórmulas en el cálculo de áreas y volúmenes de figuras tridimensionales, pero antes quiero presentar hoy un ejemplo que me parece perfecto para ilustrar la problemática: el cálculo del área lateral del cono. En todos los libros de secundaria que he visto (sí, también en los de Singapur), se despacha el tema con la conocida fórmula A_l = \pi r g. Por supuesto que en algunos casos la fórmula se presenta con la correspondiente deducción, en tanto que en otros no. Pero cada vez estoy más convencido de que eso no es tan relevante en un caso como este. Por mucho cuidado que pongamos en deducir la fórmula, si luego los problemas se resuelven con la aplicación directa de la fórmula, lo que quedará para la gran mayoría de los alumnos será eso (bueno, realmente para una parte significativa de los alumnos quedará … nada, porque olvidarán esa fórmula pocas semanas después del examen correspondiente).

Por supuesto que en algunos casos hay que recurrir a la fórmula, no pretendo tener que deducir el volumen de la esfera cada vez que se presente el cálculo correspondiente. En esa próxima entrada que mencionaba antes lo que quiero es hacer una propuesta concreta del conjunto de fórmulas con el que creo que tendríamos que trabajar en este tema.

Pero el caso del área lateral del cono me parece un ejemplo perfecto en el que lo más formativo es prescindir de la fórmula. Cuando desarrollamos la superficie del cono, lo que se obtiene es un sector circular de radio la generatriz del cono, y del que para calcular su área solo necesitamos conocer el ángulo central. Este ángulo se puede obtener simplemente de igualar la longitud del arco de circunferencia del desarrollo con la circunferencia de la base del cono (en la figura). Por supuesto, la fórmula A_l = \pi r g se obtiene simplemente calculando el valor del ángulo y sustituyéndolo en la fórmula del área del sector circular.

cono

Me parece claro que la única ventaja del uso de la fórmula es la rapidez en la resolución del problema, y desde luego ese sería un factor decisivo si mi trabajo fuera hacer tales cálculos durante unas horas al día. Sin embargo, si de lo que se trata es de aprender geometría, creo que las ventajas del enfoque que prescinde de la fórmula son evidentes:

  • se trabaja el tema del desarrollo del cono. Un alumno que ha calculado un par de áreas laterales sin recurrir a la fórmula no volverá a tener dudas sobre qué se obtiene al desarrollar un cono.
  • se repasa el área del sector circular. Algún lector quizá objete que en este caso se está recurriendo a una fórmula, pero como escribí en la entrada anterior sobre el cálculo de áreas de figuras planas, esta es una de las fórmulas que no aparece en mi lista, porque se reduce a una aplicación de la proporcionalidad.
  • por último, y sobre todo, se deja claro que las matemáticas no son un conjunto de técnicas y fórmulas inconexas, sino una disciplina fuertemente interconectada. Aprender matemáticas es, en gran medida, entender esas conexiones.

Por supuesto, lo que me encuentro en mis alumnos de magisterio cuando les presento este enfoque es bastante resistencia. Llevan años acostumbrados a otra cosa. Pero creo que no me engaño al pensar que convenzo a una parte significativa de ellos de las ventajas de este enfoque. Una vez que se resignan a que tienen que entenderlo (en el problema correspondiente, les prohíbo explícitamente el uso de la fórmula), descubren que, al fin y al cabo, ¡no es tan difícil!

 

 

El tránsito de Venus

Hoy quiero presentar un problema que se me ocurrió intentando proponer algo un poco distinto a los problemas usuales de semejanza de triángulos. Este es el enunciado tal cual lo escribí en la hoja de problemas semanal:

transito-VenusEra “el problema difícil” y cuando lo trabajamos en clase ya me esperaba que les habría generado dificultades. La primera era ya, de entrada, interpretar el enunciado (y la fotografía). Nada nuevo: ya sabemos todos lo que les cuesta a la mayoría de los alumnos conectar realidad y matemáticas. La segunda dificultad fue la falta de datos. ¿Qué se puede medir en la foto? Una vez descubierto que la razón entre el tamaño del “puntito negro” y el sol es, aproximadamente, 1/30, apareció la dificultad  fundamental, que resultó mucho más seria de lo que había pensado. Estuvimos un buen rato dándole vueltas al tema de que esa razón no es la razón entre los diámetros de Venus y el Sol, que lo que se ve en la foto es la “sombra” de Venus, y lo que medimos es el “diámetro aparente”. Me parece que la mitad de la clase consiguió entenderlo, aunque costó un buen rato; tengo claro que otra mitad desistió.

Creo que no es mal problema para trabajar en 3º-4º ESO. Cierto: no es sencillo, y hay que dedicarle cierto tiempo. ¿Qué os parece?

Dos medios, dos velocidades

Con esa entrada quiero empezar la reflexión sobre el tema que propuso Conrad Wolfram en su presentación Stop teaching calculating, start learning math. El mismo mensaje, en el siempre atractivo formato de las TED talks, aquí. Me parece un tema de gran complejidad, y estoy muy lejos de tener una propuesta completa. Lo que me ha parecido más adecuado es empezar a presentar ejemplos concretos de qué impacto debería tener un buen uso de la capacidad de cálculo de la que estamos rodeados en temas ya presentes en las aulas. De hecho, hay un punto de la TED talk con el que discrepo. Wolfram acaba su presentación diciendo que el cambio en el enfoque de las matemáticas debe ser brusco, pasando sin solución de continuidad del paradigma actual a su propuesta. Dice que, de lo contrario, podríamos caer en el abismo que separa ambos enfoques. La verdad, no tengo claro cuál es ese abismo, ni me parece factible un cambio radical en ningún aspecto de un sistema como el educativo, cuya complejidad fuerza invariablement a que los cambios sean graduales. Sólo conozco un ejemplo de cambio radical en la enseñanza de las matemáticas, la New Math de los 60 en EEUU, que nos llegó como la Matemática Moderna en nuestra EGB de los 70. Creo que poca gente discrepa de la afirmación de que el fracaso fue absoluto.

Mi propuesta es, desde luego, más conservadora que la de Wolfram, pero creo que puede servirme (y espero que servirnos) para avanzar en la reflexión. A estas entradas les asignaré la etiqueta TIC; el término no me gusta, por el uso que se le ha dado, consistente demasiadas veces en hacer con el ordenador lo mismo que se hacía antes sin él. Pero desde luego sirve para el propósito de indexación, y puede ser también una forma de reivindicar el término.

Hoy quiero presentar un problema que leí en  El placer de la x, de Steven Strogatz. En sí mismo, el libro me parece absolutamente recomendable: creo que logra bastante bien eso tan complicado de transmitir ideas matemáticas importantes a lectores sin conocimientos matemáticos. El problema es el siguiente:

Una persona quiere ir desde el punto A de la figura hasta el B. Por encima de la recta r hay nieve, y puede moverse a una velocidad de 0’8 m/seg. Por debajo de la recta, el terreno está despejado y se mueve a una velocidad de 1’5 m/seg. En la figura se muestra una posible trayectoria.

  1. Calcula, en función de x, cuánto tiempo tarda.
  2. Representa la función obtenida con ayuda de un ordenador, y da una estimación del valor de x para el que el tiempo del trayecto es mínimo.

refraccionUn primer valor de este problema es desde luego el de la interdisciplinariedad, y cómo sirve de excusa para explicar que este fenómeno de velocidades distintas es lo que explica la refracción de la luz, y cómo la luz lo único que hace es moverse por el camino más rápido (ninguno de mis alumnos había oído hablar del tema).

Desde el punto de vista puramente matemático, el primer apartado me parece una bonita aplicación del Teorema de Pitágoras, no sencilla pero que sí debería ser accesible a los alumnos de 2º-3º de la ESO. Mis alumnos de magisterio lo resolvieron aceptablemente bien, el Teorema de Pitágoras es una de esas cosas que se estudia con el suficiente detalle. Pero en el segundo apartado, la gran mayoría se quedaron bloqueados. Contaba con ello, por supuesto, nunca se habían enfrentado a algo parecido. Se trataba de la preparación para hablarles unos minutos de las posibilidades que nos ofrecen los programas de representación de funciones. Incluso para los alumnos que habían estudiado el Bachillerato de Ciencias, esta función les resultó extraña (“fea”, en palabras de alguno). Por supuesto que es la reaccion normal: es una función muy distinta a las que habían visto hasta ese momento, y muy distinta a las que se habían encontrado durante el excesivo tiempo que se dedica en bachillerato a la representación de funciones (sí, ya lo sé, obligado por la selectividad).

La observación que me parece más importante, en relación con la propuesta de Wolfram, es que la opción de estudiar la representación de funciones prescindiendo de los ordenadores nos obliga a dedicarnos a un tipo de funciones muy especial, casi siempre sin ninguna interpretación relevante, y además invirtiendo una gran cantida de tiempo en ello; representar una función no es sencillo. Dedicaré pronto una entrada completa al tema de representación de funciones, pero termino con mi opinión sobre el tema: creo que deberíamos dedicar tiempo a representar funciones sencillas, de las que se pueden dibujar (al menos de forma aproximada) “a ojo”, y después pasar a ver funciones que aparecen en el estudio de los más variados fenómenos. Estas serían, casi invariablemente, excesivamente complicadas para dibujarlas  a mano, pero ¡para eso están los ordenadores! Interpretar la representación de estas funciones, y sus implicaciones en los modelos subyacentes, es una forma mucho más productiva de invertir el siempre escaso tiempo disponible.

¿Quién mató a la geometría?

Ayer @lolamenting lanzó una pregunta muy interesante: ¿por qué la geometría está prácticamente desaparecida de nuestras aulas de primaria y secundaria? Contesté en cuanto la leí, casi sin pensar (es difícil sustraerse del todo al lado oscuro de las nuevas tecnologías), diciendo que me parecía una pregunta muy importante, y muy difícil de contestar. Me reafirmo en la primera parte, pero no en la segunda. Desde luego, voy a dar una respuesta especulativa, pero me parece que bastante convincente. Lo que me parece claro es que en la enseñanza de las matemáticas se han producido dos fenómenos muy claros:

  • A. Los currículos, pero sobre todo la práctica diaria en la mayoría de nuestras aulas, se han deslizado hacia la parte más mecánica de las matemáticas: algoritmos, fórmulas, rutinas, y recetas varias. La resolución de problemas, el razonamiento lógico y la comprensión conceptual son especies en peligro de extinción.
  • B. La geometría ha perdido peso en el curriculo, pero todavía más en las aulas. Es una de esas partes por las que se suele pasar más deprisa (junto con la estadística).

Mi tesis es bien sencilla: A explica – y es la causa de – B. ¿Qué caracteriza a la geometría? Sin duda, lo importante que son en ella el razonamiento lógico y la resolución de problemas (la comprensión conceptual es simplemente requisito previo de ambos). Esto ya me parece suficiente explicación: tenemos dos fenómenos, A y B,y el primero explicaría el segundo. Si la navaja de Ockham sigue afilada, lo más probable es que sea su causa.

Pero es que además hay varios argumentos adicionales que refuerzan esta explicación: ¿qué geometría se estudia y cómo se hace? Al principio, una buena parte del tiempo se dedica al cálculo de áreas y volúmenes, donde todo se reduce a memorizar una lista de fórmulas mucho mayor de lo necesaria, y a aplicarlas a ejercicios completamente rutinarios. Cuando avanza la secundaria, el estudio de la geometría se inclina claramente hacia el álgebra: en trigonometría, por ejemplo, se dedica mucho más tiempo a las identidades trigonométricas, o a resolver ecuaciones, que a los problemas.

Que esta tendencia está llegando a extremos inquietantes me ha quedado claro con el comentario de @lolamenting en esta entrada: parece que no es extraño encontrar profesores que impiden a los chicos apoyarse en la intuición geométrica para resolver problemas de fracciones. Sin exagerar, me parece que es una de las cosas más alarmantes, e incomprensibles, que he oído en los últimos años.

Por supuesto, en otras partes la situación no es la misma. Termino la entrada con unos ejemplos de los libros de primaria de Singapur. En general, la geometría tiene una presencia mucho mayor que aquí, ya desde primaria. En particular, usan los problemas de ángulos para iniciar a los niños en el razonamiento geométrico, y creo que lo hacen muy bien. Este es un ejemplo de 4º de Primaria:

angulos-4Este otro de 5º:

angulos-5y, por último, el de 6º:

angulos-6Por supuesto, siguen con el tema en secundaria. En algún momento habrá una entrada dedicada a profundizar en este tema.

La división: una operación con dos significados

Quede claro desde el principio: soy consciente de que el tema del que quiero hablar hoy es bien conocido en didáctica. Algún día intentaré escribir sobre por qué las ideas más relevantes de la didáctica llegan tan poco a las aulas.

El problema con la división es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores: ya he escrito varias entradas sobre el algoritmo de la división, y esta es la primera sobre su significado. Consideremos estos dos problemas:

  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son “problemas de dividir”. Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de “dividir por 1/2” porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases de magisterio del curso pasado, después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como “Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?”

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que,una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.

Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.