El tránsito de Venus

Hoy quiero presentar un problema que se me ocurrió intentando proponer algo un poco distinto a los problemas usuales de semejanza de triángulos. Este es el enunciado tal cual lo escribí en la hoja de problemas semanal:

transito-VenusEra “el problema difícil” y cuando lo trabajamos en clase ya me esperaba que les habría generado dificultades. La primera era ya, de entrada, interpretar el enunciado (y la fotografía). Nada nuevo: ya sabemos todos lo que les cuesta a la mayoría de los alumnos conectar realidad y matemáticas. La segunda dificultad fue la falta de datos. ¿Qué se puede medir en la foto? Una vez descubierto que la razón entre el tamaño del “puntito negro” y el sol es, aproximadamente, 1/30, apareció la dificultad  fundamental, que resultó mucho más seria de lo que había pensado. Estuvimos un buen rato dándole vueltas al tema de que esa razón no es la razón entre los diámetros de Venus y el Sol, que lo que se ve en la foto es la “sombra” de Venus, y lo que medimos es el “diámetro aparente”. Me parece que la mitad de la clase consiguió entenderlo, aunque costó un buen rato; tengo claro que otra mitad desistió.

Creo que no es mal problema para trabajar en 3º-4º ESO. Cierto: no es sencillo, y hay que dedicarle cierto tiempo. ¿Qué os parece?

Dos medios, dos velocidades

Con esa entrada quiero empezar la reflexión sobre el tema que propuso Conrad Wolfram en su presentación Stop teaching calculating, start learning math. El mismo mensaje, en el siempre atractivo formato de las TED talks, aquí. Me parece un tema de gran complejidad, y estoy muy lejos de tener una propuesta completa. Lo que me ha parecido más adecuado es empezar a presentar ejemplos concretos de qué impacto debería tener un buen uso de la capacidad de cálculo de la que estamos rodeados en temas ya presentes en las aulas. De hecho, hay un punto de la TED talk con el que discrepo. Wolfram acaba su presentación diciendo que el cambio en el enfoque de las matemáticas debe ser brusco, pasando sin solución de continuidad del paradigma actual a su propuesta. Dice que, de lo contrario, podríamos caer en el abismo que separa ambos enfoques. La verdad, no tengo claro cuál es ese abismo, ni me parece factible un cambio radical en ningún aspecto de un sistema como el educativo, cuya complejidad fuerza invariablement a que los cambios sean graduales. Sólo conozco un ejemplo de cambio radical en la enseñanza de las matemáticas, la New Math de los 60 en EEUU, que nos llegó como la Matemática Moderna en nuestra EGB de los 70. Creo que poca gente discrepa de la afirmación de que el fracaso fue absoluto.

Mi propuesta es, desde luego, más conservadora que la de Wolfram, pero creo que puede servirme (y espero que servirnos) para avanzar en la reflexión. A estas entradas les asignaré la etiqueta TIC; el término no me gusta, por el uso que se le ha dado, consistente demasiadas veces en hacer con el ordenador lo mismo que se hacía antes sin él. Pero desde luego sirve para el propósito de indexación, y puede ser también una forma de reivindicar el término.

Hoy quiero presentar un problema que leí en  El placer de la x, de Steven Strogatz. En sí mismo, el libro me parece absolutamente recomendable: creo que logra bastante bien eso tan complicado de transmitir ideas matemáticas importantes a lectores sin conocimientos matemáticos. El problema es el siguiente:

Una persona quiere ir desde el punto A de la figura hasta el B. Por encima de la recta r hay nieve, y puede moverse a una velocidad de 0’8 m/seg. Por debajo de la recta, el terreno está despejado y se mueve a una velocidad de 1’5 m/seg. En la figura se muestra una posible trayectoria.

  1. Calcula, en función de x, cuánto tiempo tarda.
  2. Representa la función obtenida con ayuda de un ordenador, y da una estimación del valor de x para el que el tiempo del trayecto es mínimo.

refraccionUn primer valor de este problema es desde luego el de la interdisciplinariedad, y cómo sirve de excusa para explicar que este fenómeno de velocidades distintas es lo que explica la refracción de la luz, y cómo la luz lo único que hace es moverse por el camino más rápido (ninguno de mis alumnos había oído hablar del tema).

Desde el punto de vista puramente matemático, el primer apartado me parece una bonita aplicación del Teorema de Pitágoras, no sencilla pero que sí debería ser accesible a los alumnos de 2º-3º de la ESO. Mis alumnos de magisterio lo resolvieron aceptablemente bien, el Teorema de Pitágoras es una de esas cosas que se estudia con el suficiente detalle. Pero en el segundo apartado, la gran mayoría se quedaron bloqueados. Contaba con ello, por supuesto, nunca se habían enfrentado a algo parecido. Se trataba de la preparación para hablarles unos minutos de las posibilidades que nos ofrecen los programas de representación de funciones. Incluso para los alumnos que habían estudiado el Bachillerato de Ciencias, esta función les resultó extraña (“fea”, en palabras de alguno). Por supuesto que es la reaccion normal: es una función muy distinta a las que habían visto hasta ese momento, y muy distinta a las que se habían encontrado durante el excesivo tiempo que se dedica en bachillerato a la representación de funciones (sí, ya lo sé, obligado por la selectividad).

La observación que me parece más importante, en relación con la propuesta de Wolfram, es que la opción de estudiar la representación de funciones prescindiendo de los ordenadores nos obliga a dedicarnos a un tipo de funciones muy especial, casi siempre sin ninguna interpretación relevante, y además invirtiendo una gran cantida de tiempo en ello; representar una función no es sencillo. Dedicaré pronto una entrada completa al tema de representación de funciones, pero termino con mi opinión sobre el tema: creo que deberíamos dedicar tiempo a representar funciones sencillas, de las que se pueden dibujar (al menos de forma aproximada) “a ojo”, y después pasar a ver funciones que aparecen en el estudio de los más variados fenómenos. Estas serían, casi invariablemente, excesivamente complicadas para dibujarlas  a mano, pero ¡para eso están los ordenadores! Interpretar la representación de estas funciones, y sus implicaciones en los modelos subyacentes, es una forma mucho más productiva de invertir el siempre escaso tiempo disponible.

¿Quién mató a la geometría?

Ayer @lolamenting lanzó una pregunta muy interesante: ¿por qué la geometría está prácticamente desaparecida de nuestras aulas de primaria y secundaria? Contesté en cuanto la leí, casi sin pensar (es difícil sustraerse del todo al lado oscuro de las nuevas tecnologías), diciendo que me parecía una pregunta muy importante, y muy difícil de contestar. Me reafirmo en la primera parte, pero no en la segunda. Desde luego, voy a dar una respuesta especulativa, pero me parece que bastante convincente. Lo que me parece claro es que en la enseñanza de las matemáticas se han producido dos fenómenos muy claros:

  • A. Los currículos, pero sobre todo la práctica diaria en la mayoría de nuestras aulas, se han deslizado hacia la parte más mecánica de las matemáticas: algoritmos, fórmulas, rutinas, y recetas varias. La resolución de problemas, el razonamiento lógico y la comprensión conceptual son especies en peligro de extinción.
  • B. La geometría ha perdido peso en el curriculo, pero todavía más en las aulas. Es una de esas partes por las que se suele pasar más deprisa (junto con la estadística).

Mi tesis es bien sencilla: A explica – y es la causa de – B. ¿Qué caracteriza a la geometría? Sin duda, lo importante que son en ella el razonamiento lógico y la resolución de problemas (la comprensión conceptual es simplemente requisito previo de ambos). Esto ya me parece suficiente explicación: tenemos dos fenómenos, A y B,y el primero explicaría el segundo. Si la navaja de Ockham sigue afilada, lo más probable es que sea su causa.

Pero es que además hay varios argumentos adicionales que refuerzan esta explicación: ¿qué geometría se estudia y cómo se hace? Al principio, una buena parte del tiempo se dedica al cálculo de áreas y volúmenes, donde todo se reduce a memorizar una lista de fórmulas mucho mayor de lo necesaria, y a aplicarlas a ejercicios completamente rutinarios. Cuando avanza la secundaria, el estudio de la geometría se inclina claramente hacia el álgebra: en trigonometría, por ejemplo, se dedica mucho más tiempo a las identidades trigonométricas, o a resolver ecuaciones, que a los problemas.

Que esta tendencia está llegando a extremos inquietantes me ha quedado claro con el comentario de @lolamenting en esta entrada: parece que no es extraño encontrar profesores que impiden a los chicos apoyarse en la intuición geométrica para resolver problemas de fracciones. Sin exagerar, me parece que es una de las cosas más alarmantes, e incomprensibles, que he oído en los últimos años.

Por supuesto, en otras partes la situación no es la misma. Termino la entrada con unos ejemplos de los libros de primaria de Singapur. En general, la geometría tiene una presencia mucho mayor que aquí, ya desde primaria. En particular, usan los problemas de ángulos para iniciar a los niños en el razonamiento geométrico, y creo que lo hacen muy bien. Este es un ejemplo de 4º de Primaria:

angulos-4Este otro de 5º:

angulos-5y, por último, el de 6º:

angulos-6Por supuesto, siguen con el tema en secundaria. En algún momento habrá una entrada dedicada a profundizar en este tema.

La división: una operación con dos significados

Quede claro desde el principio: soy consciente de que el tema del que quiero hablar hoy es bien conocido en didáctica. Algún día intentaré escribir sobre por qué las ideas más relevantes de la didáctica llegan tan poco a las aulas.

El problema con la división es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores: ya he escrito varias entradas sobre el algoritmo de la división, y esta es la primera sobre su significado. Consideremos estos dos problemas:

  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son “problemas de dividir”. Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de “dividir por 1/2” porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases de magisterio del curso pasado, después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como “Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?”

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que,una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.

Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.

El problema de la hormiga

Hoy una entrada corta, con un problema que me ha encantado. No es original: según Wikipedia, lo propuso Dudeney en un periódico inglés en 1903. Lo descubrí hace unos pocos días, y me parece que tiene todas las cualidades que debemos pedir a un buen problema “extra” para proponer en clase. Es sencillo de formular, y la solución es soprendente, y elemental. Además, permite dar una idea de un tema importante: las distancias en superficies. Creo que me atrevería a proponerlo como una actividad avanzada al final de la primaria, y desde luego en cualquier curso de secundaria.

problema-hormigaTenemos un almacén en forma de ortoedro, con 30 m de fondo, 12 m de ancho y 12 m de alto. Una hormiga hambrienta se encuentra en la mitad de la pared del fondo, a 1 m del techo. Hay una miga de pan en la mitad de la pared frontal, a 1 m del suelo. A la hormiga le quedan fuerzas para andar 40 41 m. ¿Podrá alcanzar la miga?

Creo que sin indicaciones no es un problema sencillo. Aunque no demos ninguna ayuda de entrada, sí es muy recomendable tener alguna pensada para cuando llegue el momento de desatascar a algún alumno. La primera que yo daría es que consideren diferentes desarrollos del ortoedro.

Los problemas resueltos

La costumbre, cada vez más extendida, de publicar todos – o casi todos – los problemas con solución, me parece un muy mal síntoma. No me refiero al resultado numérico final, que puede servir de ayuda en la comprobación, sino a la resolución completa. A los estudiantes les encantan los libros de problemas resueltos, y reclaman las soluciones completas de todos los problemas. Los profesores … bueno creo que demasiados profesores son cada vez más dependientes del “libro del profesor”.

Empezando por este segundo caso, es evidente que si alguien realmente *necesita* el libro del profesor estamos ante un problema grave, en el que no tiene mucho sentido entrar en este contexto. En la mayoría de los casos, estoy seguro, el libro del profesor es sólo una ayuda, algo que hace más cómodo el día a día. Pero aún en este caso, si estoy acostumbrado a la comodidad del libro del profesor, ¿cuál será mi actitud cuando un alumno encuentra un camino distinto y me presenta una solución “original”?

Pensando en los alumnos, veo dos tipos de problemas. El primero, supongo que el más evidente, es que no trabajen el problema (o lo hagan sólo brevemente), y que se limiten a “estudiar la solución”, esperando que en el examen aparezca un problema suficientemente parecido. El segundo es más sutil, pero de consecuencias también relevantes. Convencerme de que la solución que he obtenido es correcta (o, al menos, plausible) es una componente importante de la resolución del problema. Si nada más obtener la solución final puedo comprobar en el solucionario correspondiente si es o no correcta, estoy empobreciendo el proceso. Y si me acostumbro a ello, el círculo se cerrará si me acabo dedicando a la docencia: seguramente sepa resolver los problemas, pero no estaré del todo convencido de que lo he hecho bien hasta que no vea la solución en el libro correspondiente. Por supuesto, prescindir del solucionario tiene un riesgo, porque nadie es infalible, y seguro que todos los profesores que prescindimos de los libros de soluciones cometemos algún error. Pero, siempre que ese error sea esporádico, me parece que el riesgo merece la pena.

Trabajar con los estudiantes esa fase de comprobar la solución tiene un gran interés en sí mismo. El método más efectivo, sin duda, es pedir que expliquen esa solución a sus compañeros. Estoy seguro de que cualquiera que esté acostumbrado a trabajar en problemas de suficiente dificultad  ha pasado por la experiencia de descubrir un error en su argumento en el momento de explicárselo a un colega.

Una de las mejores cosas que podrían sacar nuestros alumnos del estudio de las matemáticas es esa capacidad para enfrentarse a un problema y analizar su solución. Y de los problemas reales que se encontarán en el futuro, sea en el entorno profesional, o en el personal, sean o no de carácter científico-técnico … nadie ha publicado la solución.

Learned helplessness

Hace unos días he descubierto un concepto que me parece muy interesante, el que da el título al post. Creo que es muy relevante en el fenómeno de la parálisis ante un problema que todos observamos en los chicos, y que en muchos casos aumenta conforme avanzan en nuestro sistema educativo. Parece que la traducción estándar en España es “indefensión aprendida”. La traducción me parece muy poco afortunada. Un problema no es una amenaza, y no hay que defenderse de él, y el adjetivo aprendida también me parece mejorable. Yo propondría incompetencia, o incapacidad, adquirida, o inducida.

El libro en el que vi la primera referencia merece un comentario en sí mismo: Math from Three to Seven, de Alexander Zvonkin. Zvonkin es un matemático ruso que organizó unas reuniones con un grupo de 4 niños (un “círculo matemático”), y empezó a proponerles actividades. El libro es, esencialmente, un diario de cómo se desarrollaron esas actividades. El enfoque adoptado por Zvonkin, esencialmente de proponer problemas y dejarles a los niños la iniciativa, y las actividades, han sido un descubrimiento, y creo que cualquiera que trabaje con niños de esas edades puede aprender mucho con su lectura.

Volviendo a la incapacidad adquirida (creo que de momento voy a adoptar esa traducción), creo que la mejor manera de describirla es con  este experimento de  Jones, Nation y Massad: estos investigadores organizaron cuatro grupos de individuos. Al primero le propusieron un conjunto de problemas sencillos, de manera que pudieron resolverlos todos. Al segundo, una selección de problemas muy complicados, que ninguno pudo resolver. Al tercero, problemas variados, con el objetivo de que resolvieran aproximadamente la mitad. El cuarto grupo era el grupo de control. En una segunda etapa, propusieron a los cuatro grupos problemas muy difíciles, que nadie pudo resolver. Finalmente, en la tercera etapa les propusieron a los cuatro grupos problemas de dificultad variada.

Los resultados mostraron que el tercer grupo fue el que mejores resultados obtuvo en esta última etapa, y que los restantes grupos se comportaron de forma similar. La conclusión es, evidentemente, que el que los problemas sean demasiado sencillos, y seamos capaces de resolverlos todos, es igual de negativo que el que los problemas sean demasiado complicados, y no podamos resolver ninguno. Conclusión: es esencial que los problemas sean realmente variados, para que los alumnos de todos los niveles de aprendizaje se enfrenten, con regularidad, al éxito y al fracaso en su resolución..

Es posible que algún lector esté hasta escandalizado por que alguien que dice llevar 20 años dando clase haya descubierto ahora este concepto, bien conocido en teoría del aprendizaje. Sólo puedo contestar que tiene toda la razón, y que en mi defensa sólo puedo alegar que mis compañeros, que sí han hecho el curso de formación de profesorado del ICE (Instituto de Ciencias de la Educación) tampoco lo conocían.

Los libros de Singapur (I)

Hace unas semanas pepvidal preguntó en un comentario sobre los libros de Singapur, y cómo presentan las matemáticas escolares. Espero que lleguen pronto entradas con ejemplos de secuencias didácticas para introducir algunos conceptos, de esos clave. Hoy quiero hablar de otro detalle, quizá más sencillo, pero que me parece que en general en los textos españoles no está bien resuelto.

En las imágenes siguientes se puede ver dos ejemplos de ejercicios sobre el número de tres cifras. Evidentemente, se trata sólo de un ejemplo, pero lo he elegido porque creo que es bastante representativo de un patrón general. Por un lado, la representación de las centenas, decenas y unidades que se hace en el ejemplo de Singapur me parece mucho mejor, pero hay otro detalle quizá más sutil pero que es justo sobre lo que quería escribir hoy. En el ejemplo español los cuatro casos son exactamente iguales. El alumno puede rellenar los tres que le tocan por simple imitación, sin entender absolutamente nada de la idea que se pretende transmitir. De esta manera se supone que se pretende automatizar el proceso, pero el problema de automatizar sin entender es que los automatismos se pueden perder y entonces queda … nada. En el caso del libro de Singapur, los ejemplos sin unidades y sin decenas, que supongo que aquí se opina que introducen una dificultad excesiva, lo que hacen es, desde mi punto de vista, ayudar a la comprensión del concepto.

3cifras-segundo

3cifras-Singapur-2La situación es, de hecho, peor si nos centramos en los problemas. En el ejemplo, unos problemas del tema de las sumas, de un libro de 2º de primaria. De nuevo, creo que el ejemplo es basntante representativo, al menos si nos centramos en las editoriales mayoritarias. Los tres problemas se reducen a lo mismo: sumar los números que aparecen en el texto. Hasta tenemos el formato para la suma incorporado, de manera que el niño no tiene ni que molestarse en pensar cuántos números tiene que sumar. Que los niños no se molesten en leer el enunciado me parece una consecuencia lógica de este planteamiento. Y cuando en algún momento necesitan leer los enunciados … no los entienden. (Un comentario accesorio: algún maestro me ha comentado que, encima, los dibujos quedarán bonitos, pero confunden, porque el número de cometas del dibujo no coincide con el texto).

problemas-sumas-segundo

El siguiente es el ejemplo del texto de Singapur. Desde luego, mucho más sobrio estéticamente. Algunos pensamos que eso puede ayudar a que la atención del alumno se centre en las matemáticas. Por supuesto, es muy enriquecedor hacer a veces proyectos, o combinar actividades con contenido de arte y matemáticas, y muchas otras cosas. Pero, de vez en cuando, también es conveniente centrarse en las matemáticas. En cuanto al contenido, la diferencia más importante es que, desde muy pronto, los enunciados de los problemas son más variados, y de  nuevo eso ayuda a la comprensión.

problemas-sumas-restas-Singapur-2

Un comentario final: no es que los libros de Singapur me parezcan perfectos. De hecho, en este último aspecto creo que se quedan bastante cortos, y que se podría ser mucho más audaz en el tema concreto de la resolución de problemas. De nuevo, ya he podido confirmar en la práctica algo que hasta ahora sólo era una intuición. La semana pasada animé a un profesor de 1º de Primaria a que propusiera en clase el siguiente problema:

Luis ha llevado 4 caramelos al colegio, su amigo Juan el doble, y su amiga Marta tiene 3 caramelos. En el recreo se juntan con sus amigos Jaime y Belén, que no tienen caramelos, y deciden repatirlos entre todos. ¿Cuántos caramelos se comerá cada niño?

Con total seguridad, este era el primer problema al que se enfrentaban la mayoría de los niños, y los resultados fueron estupendos. Por supuesto, la mayoría encontró dificultades, preguntaron, y dudaron. Exploraron ideas nuevas. Algunos necesitaron ayuda para asimilar la idea de doble, y todos tuvieron que idear estrategias de reparto, porque por supuesto no conocían el algoritmo de la división. Desde mi punto de vista, una sesión semanal de 30 minutos dedicada a resolver auténticos problemas (y ya desde el primer curso de primaria) tendría efectos enormemente positivos en la formación matemática.

Un problema “estilo Dan Meyer”

Hoy, una entrada cortita y desengrasante. Los últimos días de lluvia me han dejado este problema en el jardín:

Las lluvias de la última semana han llenado de agua 2/3 del cubo de la foto. ¿Cuánto ha llovido? (La altura de la botella es de 20 cm).

Parte del problema consiste en investigar cómo se miden las precipitaciones. Aquí tengo una duda: ¿cuánta gente “de la calle” sabe que las dos unidades que se utilizan usualmente son, en realidad, la misma?

El número de dos cifras

Contar es la primera actividad matemática que ha practicado todo ser humano. Por supuesto, se le debe dedicar la atención necesaria en los primeros años de escolarización, pero creo que su enseñanza no presenta grandes dificultades. Después de todo, los monos saben contar. (Es cierto que existe un pequeño porcentaje de niños con algún trastorno del aprendizaje que les puede ocasionar dificultades en el recuento, pero no voy a cometer la osadía de hablar de este tema, no lo conozco).

Creo que el primer momento en el que aparece la disyuntiva entre un aprendizaje reflexivo y basado en las ideas, y un aprendizaje basado en las rutinas y la memoria, es en el primer curso de primaria, con la introducción del número de dos cifras. Salvo escasas excepciones, la metodología utilizada en nuestro país (y presentada por los textos mayoritarios) es la siguiente: tras un repaso de los números del 0 al 9, se introducen los números del 10 al 19 en el tema 1, los números del 20 al 29 en el tema 2, y así sucesivamente. Al terminar el tema 9, hemos llegado al número 99. La confusión que un niño debe experimentar cuando le dicen que los conocidos símbolos 1 y 0, al yuxtaponenerse se convierten en el número que sigue al 9 es difícil de imaginar. Bueno, los lectores que no conozcan la representación de un número en base b podrían llegar a intuirla, si se paran a pensar en cómo escribiríamos el número 8 si los humanos tuviéramos 8 dedos y contáramos, por tanto, haciendo “octenas” en lugar de decenas.

Por supuesto, este enfoque basado en la memoria crea todo tipo de problemas de aprendizaje, y la aparición del 0 será motivo de quebraderos de cabeza para muchos niños durante años: si aparece en una posición intermedia en números de 3 ó más cifras, si aparece en el multiplicador, o en el dividendo, o en el divisor …

Durante la introducción de los números se hacen, por supuesto, multitud de ejercicios del tipo:

  • Descompón el número 50 como 50 + 8.
  • Subraya (o colorea) las decenas y las unidades.

Desde mi punto de vista, se trata sólo de parches, y lo normal es que muchos niños terminen el proceso sin haber desarrollado lo que debería ser el objetivo fundamental de esta etapa, adquirir sentido númerico, y entender el sistema de notación posicional. Esto hace que, para calcular una suma como  67 + 10 su única herramienta sea el conteo, y que necesiten el algoritmo de la suma para poder empezar a hacer cálculos sencillos.

¿Cuál es, entonces, la alternativa? La primera idea importante que se debería transmitir es que vamos a contar “haciendo grupos de diez” (ojo: esto no quiere decir que ya tengamos que introducir la representación del diez como 10). Se deberían hacer ejercicios de conteo durante varias clases, que los niños responderían con frases como: “aquí hay 3 grupos de diez y 4”. Tras esta primera etapa, ya estarían preparados para que les digamos que ese número se representa como 34.  No voy a exponer aquí una secuencia metodológica detallada (aunque sería muy interesante saber si la carencia de materiales adecuados es una barrera importante para la extensión de este enfoque). Lo esencial es darse cuenta de que, con este enfoque, el niño puede plantearse el cálculo de forma mucho más reflexiva, generando sus propios procedimientos o, en otro caso, entendiendo los que se le presentan.

Un último comentario: sé que no estoy inventando nada, y lo que voy descubriendo de los países con mejores resultados en los tests internacionales es que ya han emprendiendo este camino (algunos hace años). En esta entrada ya comenté que en Holanda no se plantean el estudio de los algoritmos tradicionales de la aritmética hasta 4º de primaria. Otro ejemplo: en Canadá (bueno, en Alberta, cada provincia tiene su curriculum) se menciona una y otra vez la comprensión de los temas, y los algoritmos pasan casi completamente desapercibidos, como se puede ver en este documento.