Reforma de la Selectividad – Comparativa internacional

Parece ser que se está cocinando una reforma del examen que hacen los alumnos en España antes de entrar en la universidad, que se llamó Selectividad originalmente, y que ha cambiado varias veces de nombre en los últimos años, al ritmo de las repetidas leyes educativas que hemos tenido. Desde el ministerio se dice que se quiere diseñar un «examen competencial», siguiendo la idea de lo que se hace en otros países europeos. Es muy posible que en otras áreas esto tenga bastante sentido, pero si hablamos de matemáticas y pensando en la interpretación mayoritaria en nuestro país de «competencia matemática», lo que está por venir me genera bastante preocupación. En todo caso, el objetivo de esta entrada es reunir ejemplos de exámenes análogos de diferentes países que he ido publicando en twitter en los pasados meses bajo la etiqueta #ReformaSelectividad. Esta es la lista, en el orden en el que fui recopilando los datos.

  • Portugal: este es el enlace a su instituto de evaluación educativa, donde está toda la información. Los datos que me parecen más relevantes son que el examen dura 150 minutos (+ 30 mins de «tolerancia»), se incluye un formulario al principio y se permite el uso de calculadora gráfica. Es obligatorio contestar a cierto número de preguntas, señaladas en el enunciado, y además se eligen las mejores notas del resto de los ejercicios (los números precisos varían de unos exámenes a otros). Estos son los exámenes de 2022.
  • Italia: este es el enlace a la página del Ministerio de Educación con información general sobre la prueba. Aquí, un ejemplo del examen de matemáticas, y aquí una página con ejemplos de examen de los últimos 20 años. Se permiten calculadoras gráficas (sin cálculo simbólico). El examen consta de varias preguntas cortas y de dos problemas, de los que hay que resolver uno. La duración máxima del examen es de 6 horas, lo que da una idea de que se trata de auténticos problemas (parece que con bastante preponderancia del análisis).
  • Singapur: la información sobre el examen preuniversitario de Singapur se puede encontrar en esta entrada de este mismo blog. (Y buscando la etiqueta Singapur se llega a mucha más información sobre su enseñanza de las matemáticas).
  • Gran Bretaña: su «Bachillerato» consiste en preparar una serie de A-levels. Parece que el mínimo para seguir estudiando son 3, y hay estudiantes que llegan a 5. Hay dos niveles (la S de AS es de “subsidiary»). En la imagen vemos las dos especialidades, cada una con un total de 4 exámenes.

Aquí están los ejemplos de exámenes. Se permite lista de fórmulas y, sobre la calculadora, todos tienen el comentario “You should use a calculator where appropriate“ Nada de modelización, nada de contextos, excepto en Estadística y Probabilidad.

  1. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415312-2020-specimen-paper-1.pdf (1 h 50 min), con lista de fórmulas, análisis, álgebra y geometría, con preguntas “clásicas”
  2. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415314-2020-specimen-paper-2.pdf (1 h 15 min), misma idea que el anterior (corresponde al nivel “subsidiary”)
  3. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415315-2020-specimen-paper-3.pdf (1 h 50 min), también “clásico”, como el 1. Llega a contenidos más avanzados. (Una ecuación diferencial).
  4. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415317-2020-specimen-paper-4.pdf (1 h 15 min), Mecánica.
  5. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415319-2020-specimen-paper-5.pdf (1 h 15 min), Probabilidad y Estadística.
  6. https://www.cambridgeinternational.org/Images/415320-2020-specimen-paper-6.pdf (1 h 15 min), Probabilidad y Estadística.
  • Alemania (Baviera): el sistema educativo alemán está descentralizado, y cada Land tiene su propia Abitur. Aquí se puede acceder a los exámenes de matemáticas de Baviera, y con la ayuda de google aquí están las traducciones:
    • examen sin calculadora simbólica aquí.
    • examen con calculadora simbólica aquí.

Los exámenes constan de dos partes, la primera de 70 minutos y la segunda de 200 minutos. Es llamativo que las dos versiones (con y sin CAS) son muy similares, y difieren solo en algún apartado de dos o tres problemas. En la tabla vemos la distribución de puntuaciones, y resulta llamativa la ausencia del álgebra. 

Parte 1Parte 2
Análisis2040
Estocástica525
Geometría525
Total3090

Hay preguntas con modelos de situaciones realistas que me han parecido muy interesantes. Los modelos ya vienen dados, en la forma de «esta función modela esta situación». Lo que se pide en el examen es saber interpretar diferentes hechos matemáticos en el contexto de los modelos datos. Unas preguntas de probabilidad que me han gustado, y que no he visto en nuestro país, son del tipo de «busca un evento cuya probabilidad sea esta». Tampoco llegan a la inferencia estadística. Parece que opinan que mejor sentar bien las bases, y dejar la inferencia para más adelante.

  • Francia: Está en proceso de cambio. Hasta ahora tenían tres bachilleratos (Científico, Económico y social, Literario) y la información de Wikipedia sobre el Baccalauréat francés y su evolución histórica se puede encontrar aquí.
    En el nuevo sistema solo hay un bachillerato, con asignaturas comunes y asignaturas optativas. Wikipedia, de nuevo, tiene una completa descripción de esta organización aquí.
    Las matemáticas no están entre las asignaturas comunes. En el examen final hay pruebas de Francés (uno oral, otro escrito), Filosofía, y un examen oral, parece que general. Se examinan de dos asignaturas de las específicas, que tienen bastante peso. Cada una son 16 puntos. Por comparación, Francés son 10 puntos en total, Filosofía 8. Parece que en la actualidad hay un fuerte debate porque hay menos alumnos estudiando matemáticas, en particular menos alumnas. Aquí, un ejemplo con algunos datos.
    Este es el examen de Matemáticas del año 2021. Se permiten calculadoras, y habla de «en modo examen», lo que deja claro que se trata de calculadoras del siglo XXI. Tres grandes preguntas comunes (una de cálculo/análisis, una de geometría, una de probabilidad) y luego otra que hay que elegir entre dos (las dos de análisis).
    Para los interesados, pdf y LaTeX del examen aquí.

Para los lectores que no conozcan el sistema español, en este enlace de la Universidad de Alcalá se puede acceder a los exámenes de EvAU (así se llama ahora este examen en la Comunidad de Madrid) de los últimos años. Los exámenes de las diferentes comunidades autónomas españolas pueden ser bastante diferentes, y este tema daría por sí solo para varias entradas.

Para terminar, una pequeña tabla resumen con la duración de las pruebas en diferentes países, todos los que he mencionado y algunos más de los que solo tengo información parcial.

Aritmética para Maestros: el libro

Ya está disponible el libro Aritmética para Maestros, en el que he intentado reunir los conocimientos que me parecen más importantes, en el área de la aritmética, para los docentes de Educación Primaria. No voy a repetir aquí la motivación, la filosofía, o la estructura del libro. Los lectores interesados pueden encontrar todo eso en estas páginas de muestra.

El libro ya está disponible en Lulu.com. Próximamente aparecerá en otros distribuidores.

Uno de los objetivos del libro es contribuir al debate de en qué debe consistir la formación de los maestros en aritmética. En esta etiqueta de twitter estaré encantado de debatir sobre el tema: #AritméticaMaestrosMImc

Jornada en el CTIF Madrid-Este

Ayer jueves 7 de marzo empezó el curso Matemáticas en el Siglo XXI, organizado por el CTIF Madrid Este, y hablamos sobre la Metodología Singapur. Dado el número de inscritos (400), me pareció una buena ocasión para tratar de obtener información de cuáles son los algoritmos que estamos usando en nuestras aulas. Para ello usé la herramienta Mentimeter, que permite preguntar y recoger las respuestas de la audiencia en tiempo real. La versión gratuita está limitada a 3 preguntas. Como me comprometí ayer, aquí están las respuestas recibidas.

La primera pregunta era sobre el algoritmo de la resta. Describo las opciones, porque la calidad de la imagen puede hacer difícil entenderlas. De izquierda a derecha:

  1. el algoritmo «tradicional», que verbalizamos «de 8 a 13 me llevo una», que luego sumamos al número que aparece en la columna de la izquierda en el sustraendo.
  2. el algoritmo que hace reagrupamientos en el minuendo, cuando es necesario. En esta entrada se puede ver una descripción con un ejemplo.
  3. algoritmos ABN (también descritos en la entrada anterior).
  4. algoritmos ABN en los primeros cursos, y el tradicional luego.
  5. el algoritmo de 2. en los primeros cursos y el tradicional luego.
  6. otras opciones.

El resumen rápido es que el algoritmo tradicional sigue siendo el tradicional, sobre todo en los últimos cursos de primaria, donde parece que se usa en 2/3 de las aulas (esto seguramente tiene que ver con la división, y el hacerla sin escribir las restas, tema sobre el que ya he escrito anteriormente).

Como comenté ayer, lo que me parece claro que habría que evitar es la situación de los alumnos que hacen restas de una forma que entienden en los primeros cursos, y que luego cambian de manera de restar. Es una dificultad artificial que no deberíamos poner en su camino.

La segunda pregunta fue sobre el algoritmo de la división, y aquí las alternativas fueron:

  1. el algoritmo comprimido (sin escribir la resta)
  2. el algoritmo extendido (escribiendo la resta)
  3. el algoritmo ABN
  4. el extendido al principio, y el comprimido al final de Primaria.
  5. el algoritmo ABN al principio, y el comprimido al final de primaria.
  6. otras opciones.

Como vemos, al final de Primaria la opción de comprimir el algoritmo, y no escribir las restas, es claramente mayoritaria. El propósito de esta entrada es solo mostrar los resultados de la encuesta, y no voy a volver a escribir sobre este tema, porque volvería a decir cosas parecidas a las que escribí en esta otra entrada.

 

Por último, como al final no hubo tiempo, la última pregunta que me daba Mentimeter la usé para admitir preguntas abiertas, con el compromiso de contestarlas en el blog. Esta fue la única pregunta que llegó:

  • ¿Qué alternativas ofrece el método Singapur para aquellos alumnos que no son capaces de representar mediante gráficos de barras los problemas a resolver? ¿Cómo mejoran su resolución de problemas?

No conozco una alternativa al modelo de barras. No es milagroso, desde luego, y puede haber alumnos a los que les cueste empezar a usar las barras para dibujar los datos. Pero en ese caso lo que hay que hacer es detenerse en ese punto el tiempo necesario. Estas serían mis observaciones (reconociendo que necesitan ejemplos de aula para poder ser más precisas. De hecho, si algún docente se anima a tratar de hacer una investigación de aula en este tema, investigando el proceso y prestando atención a los alumnos con dificultades, podemos hablar del tema, me interesa mucho).

  1. Seguimos haciendo problemas con números pequeños, que se pueden representar con materiales, como los policubos.
  2. Avanzamos, dibujando esa información, con barras divididas en las que se ven las unidades.
  3. Los números van creciendo, algunos alumnos pueden seguir necesitando dibujar esas unidades.
  4. En algún momento dan el paso de prescindir del dibujo de las unidades, y abstraen la cantidad sin necesidad de esa división.

Actualización (14-05-2019). Disponible el vídeo de la mesa redonda «Matemáticas del Siglo XXI», en la que debatimos con José Antonio Fernández Bravo y Jaime Martínez Montero: https://mediateca.educa.madrid.org/video/k4zumebv1oki34ip

Currículos internacionales

Recojo el guante de una petición que surgió el otro día en twitter, sobre un lugar donde se pudieran consultar los currículos de matemáticas de otros países. Aquí tengo una lista inicial, con los de Singapur y los que aportó @carlosyedma. La iré ampliando cuando vaya siendo posible, y con la información que me pueda llegar vía comentarios.

La referencia a los cursos es el estándar internacional, K1 es 1º de Primaria, hasta K12, normalmente el último curso antes de la universidad.

 

Prueba externa al final de la secundaria obligatoria

El pasado jueves estuve en Valladolid, en una formación sobre la metodología Singapur. Fueron dos jornadas muy interesantes, y una de las principales razones fue que los asistentes estaban divididos, casi a partes iguales, entre docentes de primaria y de secundaria. Uno de los temas de los que hablé fue la, desde mi punto de vista, excesiva complejidad técnica a la que sometemos a nuestros estudiantes durante la ESO. La imagen siguiente es la que suelo mostrar para explicar a qué me refiero.

A la izquierda tenemos una imagen tomada de uno de nuestros libros de 3º de la ESO, no importa cuál, estuvimos de acuerdo que son ejercicios estándar en ese curso. A la derecha, una imagen tomada del curso análogo, 3º de la secundaria obligatoria, de Singapur. Es verdad que el tema no es exactamente el mismo, pero es que la simplificación de potencias de fracciones algebraicas, como la que se muestra a la izquierda, simplemente no se puede encontrar en los libros de Singapur. Un detalle adicional es que el libro de Singapur corresponde a la «vía académica». Al final de primaria ya hay una separación de alumnos (por lo que he leído, alrededor del 15% son dirigidos, al terminar la primaria – de 6 años, como la nuestra – a la vía que aquí llamaríamos formación profesional). Quede claro: esta separación no me gusta. Lo único que digo es que allí, en la vía académica, las matemáticas obligatorias son mucho menos técnicas que las nuestras, con nuestra educación de diseño comprensivo. Este énfasis en técnicas complicadas es, desde mi punto de vista, responsable de dos de nuestros problemas más importantes con las matemáticas en la secundaria:

  1. el problema del fracaso escolar y el abandono temprano.
  2. la aversión a las matemáticas que desarrollan una cantidad relevante de nuestros estudiantes.

A la vista de la imagen anterior casi siempre surge la pregunta de ¿qué estudian, entonces, en la secundaria de Singapur? Creo que una buena forma de contestar es enseñar la prueba externa correspondiente. Aclaración preventiva: no pretendo entrar en el debate sobre pruebas externas sí o no, solo digo que me parece una buena forma de mostrar qué matemáticas estudian, con qué profundidad, y con qué orientación. Ya dediqué entradas a las pruebas al final de primaria (1) y (2), y la análoga a nuestra «selectividad», de manera que la que quedaba pendiente es la correspondiente al final de la secundaria obligatoria.

La «ESO» de Singapur tiene una estructura diferente a la nuestra, y para contextualizar la prueba voy a tratar de explicarla. La primera opción de un estudiante es si tomar la «vía Express» o la «normal». El punto de llegada es el mismo, pero en la primera opción se llega en 4 cursos, mientras que en la segunda se llega en 5. No tengo datos sobre cuántos alumnos toman cada una. En esos cursos tienen una asignatura de matemáticas, obligatoria, y en los cursos finales aparece una asignatura «Additional Mathematics», dirigida a los que serán estudiantes de ciencias y carreras técnicas. El ejemplo anterior corresponde a la asignatura general, y las diferencias quedarán más claras en las pruebas externas que luego enlazo. Este diseño se corresponde con un lema que les leí en algún sitio, y que me parece que merece, al menos, una reflexión: «matemáticas para todos, más matemáticas para algunos». No tengo datos sobre cuántos alumnos cursan esas «matemáticas adicionales», y me encantaría tenerlos, porque como podréis ver si echáis un vistazo a la prueba externa correspondiente el nivel es «llamativo».

Por último, al terminar esta etapa hay dos pruebas externas, el «N-level» y el «O-level». La «N» viene de «normal» y la «O» de «ordinario», así que el nombre no clarifica mucho. Lo que sí queda claro al verlas es que la dificultad del nivel «O» es mayor que la del nivel «N» y por lo que he leído parece que el N-level es la prueba que hacen los estudiantes que dejan en ese momento la formación de la vía académica, mientras que el O-level es el necesario para los que quieren cursar el análogo a nuestro Bachillerato.

Un último comentario: hay una lista oficial de las fórmulas que se pueden usar en el examen (y que proporcional al alumno en papel, lo que es toda una declaración sobre el lugar de la memorización en su enseñanza-aprendizaje de las matemáticas) y hay también una lista de las calculadoras que se pueden usar.

Las dos pruebas tienen la misma estructura, dos partes. La primera, de dos horas, la segunda, de dos horas y media. Aquí están:

Si algún lector quiere información adicional, estos son los enlaces a los documentos que regulan estas pruebas: Mathematics, Additional Mathematics.

Un último comentario: pueden parecer pruebas de otro planeta, lo sé. Pero creo que cualquier paso que nos moviera en esa dirección sería positivo, porque me parece que estamos bastante desorientados en el tema de qué es la competencia matemática. Personalmente, me parece que muestra mucha más competencia matemática un alumno que supera una de las pruebas que he mostrado que otro que supera una prueba como las que nos presentan como «evaluación de la competencia matemática«.

Un último añadido: si algún voluntario puede traducir estos exámenes, para ayudar a su difusión, sería estupendo. Se podrían poner también aquí. Yo no voy a tener tiempo para ello. ¿Qué tal un proyecto en ShareLaTeX para hacerlo entre varios?

Añadido el 3 de diciembre: un amable lector del blog ha sido realmente rápido traduciendo las pruebas, y las ha puesto a nuestra disposición en los comentarios. Aquí están los enlaces directos a las diversas pruebas:

Rouché-Frobenius, ¿matemáticas escolares?

Vaya por delante, admiro profundamente a @edusadeci, y la labor de divulgación que hace en su canal #Derivando. Pero esta mañana no he podido evitar contestar cuando he visto este tweet suyo, en el que habla del Teorema de Rouché-Frobenius como de «matemáticas escolares». Y me he visto obligado a contestar porque me parece que calificar al Teorema de Rouché-Frobenius como «matemáticas escolares» incide en el mayor error que recorre todo nuestro currículo de matemáticas, y es precipitar el estudio de multitud de contenidos.

No creo que exista ningún país en el que el teorema de Rouché-Frobenius se estudie en un nivel preuniversitario. Desde luego, no se hace en Francia, la patria de Eugène Rouché y famosa por su exigente Baccalaureat. Escribir esta breve entrada ha sido una buena excusa para echar un vistazo a su examen análogo a nuestra Selectividad, PAU, EvAU, o como queramos llamarla. En este enlace se puede acceder al examen de matemáticas S, el científico. Por cierto, ha sido solo una lectura rápida, pero a primera vista ese examen me ha gustado bastante. Desde luego, fuera del alcance de la mayoría de nuestros alumnos de 2º de Bachillerato, por lo que requiere de razonamiento y comprensión. Equilibrado, con algunas preguntas en contexto (real, no pseudo) y otras más teóricas. Desde luego, ni rastro de nuestra famosa pregunta «Discute este sistema en función de …», que vale el 30% del examen y a la que se le dedica al menos un mes en la mayoría de nuestras aulas de 2º del Bachillerato de Ciencias.

Lo dicho: he visto unos cuantos países ya, y en ninguno he encontrado rastro de este teorema, antes de llegar a la universidad. Si algún lector puede darme un ejemplo le estaré agradecido, creedme.

Y el problema, claro, es que no es un caso aislado, sino un fallo de diseño de todo nuestro currículo de matemáticas.

 

 

 

Dibujos + LaTeX -> Ipe

Hace un par de meses Macías López, un compañero de Galicia, me preguntó por la herramienta que uso para las presentaciones de mis asignaturas de Magisterio. Me comprometí a escribir una entrada sobre el tema, para presentar la herramienta, porque creo que puede ser útil para muchos lectores. El programa se llama Ipe:  http://ipe.otfried.org/

Es un programa de uso gratuito, y tiene versiones para Windows y para Unix. Lo conozco de mi etapa de investigador. El autor es un investigador en Geometría Computacional (Otfried Cheong) que hizo el programa un poco como Donald Knuth creó TeX: no había ningún programa que le gustara para hacer dibujos para su trabajo, así que se puso a programarlo. La primera versión es de 1993, y desde entonces ha evolucionado mucho, desde luego. Una de las muchas cosas que me gustan es que está abierto a los comentarios de la comunidad: si hay alguna nueva funcionalidad que se demanda, y no es muy difícil de incorporar, es muy posible que la siguiente versión la tenga.

No puedo entrar en detalles técnicos, porque mis conocimientos de informática son de simple usuario. Si tuviera que describirlo, diría que es un programa que produce gráficos vectoriales, de calidad, y lo que es crucial, el texto lo gestiona con LaTeX. Yo trabajo con MikTeX, y la integración es perfecta, pero no he visto apenas problemas de compatibilidad con otras plataformas LaTeX.  La siguiente imagen es un ejemplo de lo que se puede hacer, y creo que me atrevo a afirmar de que no es difícil; como decía antes, no me considero ningún manitas. Estoy convencido de que cualquier usuario medio de LaTeX puede hacer algo como esto a las pocas horas de usar Ipe.

He estado retrasando esta entrada buscando el tiempo para hacer un pequeño manual introductorio, pero no va a ser posible. Me voy a conformar con algunos comentarios:

  • El manual y esta wiki están muy bien escritos, son concretos y van a lo importante. Vamos, como si los hubiera escrito un científico competente.
  • Ipe incorpora algunas construcciones geométricas. En este aspecto se queda muy lejos de Geogebra, por supuesto. Pero se le pueden añadir funcionalidades. De esto no sé nada, pero creo que con conocimientos informáticos medios se le pueden añadir funcionalidades, con añadidos que llaman «ipelets».
  • Hay esencialmente dos formas de usar Ipe. La primera, más sencilla, es usarlo para hacer dibujos, que luego se pueden incorporar a otro documento. La segunda, usar Ipe para hacer presentaciones completas. En esta segunda versión, Ipe se convierte en una especie de PowerPoint. Esta segunda forma de uso requiere algo más de trabajo para empezar, en particular con el manejo de las «hojas de estilo» (style sheets) que definen las propiedades de la presentación. Creo que puede ayudar disponer de una presentación para tomarla de ejemplo. Aquí la dejo. El formato del archivo es pdf, pero es editable con Ipe. Otra cosa que me gusta de la aplicación es que tiene un formato de archivo propio (.ipe), pero también se puede trabajar con formato pdf, y estos son archivos que cualquiera puede ver con un visor pdf pero que Ipe puede editar. En este otro enlace hay un repositorio de presentaciones. No sé si son editables o no (hay una forma de que el pdf resultante no sea editable, para que la presentación no sea cambiada sin el permiso del autor, claro), pero seguro que es útil para hacerse una idea de las cosas que se pueden hacer con este programa.

Si algún lector se anima, y tiene alguna duda concreta, los comentarios pueden ser una buena vía para mantener la comunicación. Espero que Ipe os sea útil. En mi caso, es posible que sea el programa que más he usado durante los últimos 15 años.

Resumen del año … otra vez

Ha sido un curso casi en blanco para este blog, una única entrada, en febrero. Claro que me alegra mucho comprobar que, desde el punto de vista de los lectores, la realidad es muy distinta. Si hace un año, a punto de cumplir los 5 años de vida, daba las gracias a los lectores por llegar a las 200 mil visitas, un año después tengo que reiterarme, ya que a pesar de la casi nula producción de entradas estamos cerca de las 300 mil.

El motivo de la ausencia de entradas ha sido el exceso de trabajo, claro. Después de varios años de escribir para tratar de que se conociera la metodología Singapur, se me presentó la oportunidad de colaborar con la editorial Polygon durante el curso 2016-2017 en la implantación de unos libros de texto, y ya en junio de 2017, y durante todo este curso, con la editorial SM y su proyecto Piensa infinito, Matemáticas Singapur.

Ha sido mucho trabajo, porque hemos colaborado en las formaciones de los docentes, y en las visitas a las aulas de los colegios del piloto. Los colegios del piloto empezarán en septiembre con 3º de Primaria, y el plan es por supuesto avanzar año a año hasta completar la etapa de primaria. En este curso no hemos podido evaluar de manera rigurosa los resultados de la implantación, porque el equipo era reducido y hemos priorizado la formación y la asistencia. Pero mis sensaciones son buenas, muy buenas. Y son sensaciones basadas en lo que he visto en las visitas a las aulas, sobre todo en la segunda visita a las aulas, en los meses de abril y mayo. Porque si bien en la primera visita (en octubre y noviembre) ya se observaban cosas muy positivas, también aparecían algunas dificultades – creo que inevitables cuando se produce un cambio profundo en la forma de trabajar – ha sido en la segunda visita cuando hemos podido comprobar que el curso acababa muy bien, y que la gran mayoría de los docentes tenían una valoración muy positiva del cambio. Una de las cosas que más valoran los docentes es la capacidad que observan en sus alumnos para explicarse, para hablar de matemáticas. Espero que para el curso próximo ya seamos capaces de recoger algún tipo de evidencia sobre los resultados. Al menos, tendremos seguro los resultados de los colegios del piloto en la prueba de 3º de Primaria. Conocidas las pruebas, y después de escuchar a los alumnos que estaban terminando 2º, no tengo dudas de que serán muy positivos.

Lo que sí está ya disponible es el informe sobre el proyecto Maths no Problem, que es la adaptación a Gran Bretaña de los libros de Singapur que SM ha traído a España.  En Gran Bretaña empezaron hace ya algunos años (el informe es de 2016) y además con bastante dinero público detrás. El informe se puede descargar  aquí.

Parece que también en Francia empezará un programa piloto el curso próximo. Desde un punto de vista personal, debo reconocer que ha sido una satisfacción escuchar al gran matemático francés Cedric Villani, medalla Fields en 2010, y últimamente dedicado a la política, defendiendo la metodología Singapur como una buena opción para mejorar la enseñanza de las matemáticas en Francia.

Espero que todos recarguemos pilas estas próximas semanas. El curso próximo se presenta tan interesante, y extenuante, como este. Además de la colaboración en Piensa infinito, ya tengo algunas intervenciones comprometidas, como esta, el 17 de septiembre, en la Universidad de Otoño que organiza el Colegio Oficial de Docentes. Y otra el 10 de noviembre, en León, en un congreso que organiza la Junta de Castilla y León y en el que espero poder seguir conociendo lectores de este blog.

Añadido el 15/07/2018: una última cosa que olvidé ayer. Estamos arrancando el Aula de Matemáticas Activas SM-UAH. Queremos que el aula se convierta en un espacio de colaboración, dedicado a la formación de docentes y, en general, a trabajar por la mejora de la educación matemática  en España.

Aunque sea ponerse la venda antes de tener la herida, unas palabra sobre lo de «activas», porque soy consciente del debate que existe en torno a las «metodologías activas». Poner nombres a las cosas siempre es complicado, y creo que en nuestro país pecamos demasiado de elegir entre extremos. De hecho, creo que uno de los secretos del éxito de la metodología Singapur es su eclecticismo, usando materiales manipulativos, pero teniendo presente que el objetivo final es manejar de forma competente las matemáticas «tradicionales». De la misma forma, «activar» al niño es fundamental, que los docentes escuchen más sus razonamientos (como también leí ayer a la gran María Antonia Canals). Pero también es importante disponer de momentos de «instrucción dirigida», donde se pueden presentar y/o consolidar las técnicas y procedimientos fundamentales. En resumen: no nos encasillemos en los nombres, y espero que pronto empecemos a rellenar el espacio con propuestas que den contenido a ese título.

 

La EvAU de Singapur

Me he forzado a sacar un rato para escribir una entrada, aunque sea breve, porque hace unos días estuve en Valladolid, invitado por la sociedad de profesores Miguel de Guzmán y por el centro de formación de profesorado, para presentar las ideas básicas de las matemáticas de Singapur, y quedé más o menos comprometido en enseñarles cómo es una prueba de nivel pre-universitario allí.

Una de las cosas más importantes que trato de transmitir es que van más despacio en el desarrollo curricular. Una pregunta que siempre surge es: vale, pero entonces, ¿hasta dónde llegan? Mi contestación siempre es que el ir más despacio y haciendo las cosas con calma les permite, a la larga, llegar más lejos (y, sobre todo, con mayor profundidad). Creo que una buena forma de hacerse a la idea es ver la prueba final que tienen, su análogo a nuestra EvAU (EBAU, o como se llame en cada lugar), la prueba de matemáticas previa al acceso a la universidad.

No es del todo inmediato, porque tienen tres niveles de matemáticas preuniversitarias, H1, H2 y H3, en orden creciente de dificultad. No he encontrado datos sobre cuántos alumnos se decantan por cada una de ellas, pero por los programas parece que las H3 son unas matemáticas realmente avanzadas, pensadas para los alumnos excelentes, y que llegan, por ejemplo, a ecuaciones diferenciales. Las H1 parecen ser las matemáticas básicas preuniversitarias, lo que seguramente podríamos equiparar a nuestras matemáticas aplicadas para ciencias sociales. Las H2 quedarían, por tanto, como las análogas a nuestro examen de Matemáticas II. Al final pongo el enlace a una edición de la prueba. Creo que hay varias cosas que nos pueden resultar llamativas:

  • La extensión. El examen tiene dos partes, de tres horas cada una. Es verdad que cualquier prueba puede tener efectos secundarios negativos, el conocido «teaching to the text». Si un examen está bien pensado, y es exhaustivo, este problema puede tener consecuencias limitadas.
  • las tablas de fórmulas que aparecen al principio son parte del material que los alumnos pueden usar durante el examen. No hace falta memorizar fórmulas: ni identidades trigonométricas, ni tablas de primitivas. Una calculadora gráfica también es parte del equipamiento estándar.
  • pero lo más importante es la profundidad de la prueba, claramente fuera del alcance de nuestros estudiantes al terminar el bachillerato.

Aquí está la prueba (la versión original, en inglés).

Espero que la siguiente entrada no se demore otros 7 meses … Y espero poder escribir pronto sobre alguno de los proyectos en los que estoy involucrado, y que me tienen colapsado.

Los algoritmos (2) La multiplicación y la división

Antes de seguir con el repaso a los algoritmos, me parece imprescindible mencionar un artículo que descubrí gracias a este tweet de @jjcanido:

Se trata de un artículo de Stuart Plunkett, del año ¡1979! No lo conocía, y me ha parecido una de las exposiciones más claras y convincentes que conozco sobre la obsolescencia de los algoritmos tradicionales, y la conveniencia de otro tipo de algoritmos que favorezcan la comprensión.

Una de las cosas que lo hace interesante es que se atreve con algo que muchas veces echo en falta en este tipo de propuestas, y es concretar qué tipo de cálculos habría que hacer de qué manera. Lo resume en esta tabla:

algoritmos-plunkett

La columna Red corresponde a los «hechos básicos», que deben estar (a partir de cierta edad, claro) accesibles en memoria para facilitar cálculos más avanzados. La columna Orange corresponde a cálculos que se reducen a un solo paso que usa los hechos de la columna anterior. Para estos cálculos, los algoritmos tradicionales son absolutamente inapropiados. La columna Yellow corresponde a cálculos para los que las técnicas «mentales» son idóneas. Plunkett afirma que cualquier persona podría hacerlos mentalmente, si lo necesitara (me temo que aquí Plunkett es optimista, o las cosas han empeorado bastante, seguramente por culpa de la enseñanza de la aritmética en la escuela). Están también perfectamente al alcance de un alumno de la segunda mitad de primaria, con el trabajo adecuado. Los cálculos de la columna Green se podrían hacer mentalmente, pero poca gente lo necesitará. Por último, para los cálculos de la columna Blue sería absurdo recurrir a las técnicas del cálculo mental, igual de absurdo que recurrir al lápiz y al papel si tenemos a mano una calculadora (el énfasis es mío). 

Creo que merecería la pena tratar de difundir artículos como este entre la comunidad de docentes. En particular, entre los maestros de educación primaria. Si algún lector tiene contactos con alguna revista para ese sector que pudiera estar interesada, o conoce una versión en castellano de este trabajo, le agradecería que se pusiera en contacto conmigo, por ejemplo a través de los comentarios.

Actualización (24/09/2017). Juan Emilio García me ha hecho llegar esta traducción del artículo. ¡Muchas gracias!

Después de estos párrafos iniciales puede parecer un poco absurdo volver al repaso de los algoritmos tradicionales. Sin embargo, vistos los progresos de estos últimos 40 años, creo que merece la pena tratar de dar pequeños pasos en la dirección de hacer la «aritmética del lápiz y papel» un poco más «pensada».

La multiplicación:

La propiedad clave que permite multiplicar números grandes a partir de las tablas de multiplicar es la propiedad distributiva. Por tanto, si nuestro objetivo es elegir un algoritmo que ayude a la comprensión, el objetivo debe ser considerar algoritmos en los que sea sencillo ver cómo aplicamos la propiedad distributiva.

Antes de tratar de formalizar ningún tipo de algoritmo para la multiplicación, debería estar claro que 7 \times 25 = 7 \times (20+5) = 7 \times 20 + 7 \times 5, es decir que «7 veces 25 son 7 veces 20 más 7 veces 5». Creo que en este punto el uso de «veces» en lugar de «multiplicado por» supone una gran ventaja. Representaciones gráficas como las de la figura ayudan a entender el significado de la propiedad distributiva. La versión de la derecha, sin las unidades representadas explícitamente, supone un paso más en el nivel de abstracción.

Una vez entendida la propiedad distributiva, escribir este cálculo en el formato que se muestra a la izquierda en la figura me parece inmediato. Es verdad que, si queremos (o nos obligan a) tratar multiplicadores de más de una cifra, habría que pasar a la escritura tradicional, de la derecha. multiplicacion-1-cifra

La escritura de la multiplicación con multiplicadores de más de una cifra es uno de los puntos más problemáticos si queremos insistir en una escritura de los algoritmos que ayude a la comprensión. Quizá lo mejor sería escribir que 37 veces 25 son 30 veces 25 más 7 veces 25, y a partir de ahí hacer los cálculos correspondientes. Evidentemente, estoy hablando de cómo escribir los algoritmos cuando se están aprendiendo. Si es necesario o no llegar a una escritura refinada al final del proceso, o si esto no merece la pena, es algo que se escapa del objetivo de esta entrada. Lo que sí tengo claro es que, incluso en la escritura tradicional del algoritmo, no deberíamos dejar el hueco de las unidades al multiplicar por las decenas, sino poner el número que ocupa ese lugar, que es el cero, claro. Es uno de esos detalles donde los usos y costumbres presentes en nuestras aulas (y en nuestros libros de texto) chocan de manera para mi incomprensible con la didáctica.

En la siguiente figura se muestra la tabla que usan los algoritmos ABN para calcular 285 \times 84. No me parece que ayude a la comprensión. Como ocurre muchas veces con los procedimientos que llevan a tablas, creo que más bien promueve la mecanización sin reflexión.

abn-multiplicacion

Por último, le llega el turno a la división. Sobre el algoritmo tradicional, quiero insistir una vez más en lo poco conveniente que me parece dejar de escribir las restas y calcularlas mentalmente. Es un detalle que hace que el algoritmo sea más difícil de ejecutar, más complicado de entender, y que lo desconecta de variantes como la división de polinomios en secundaria. Por lo que voy averiguando parece que en el pasado lo usual en nuestro país era aprender primero poniendo las restas, para eliminarlas más adelante. Poco a poco, ese momento de eliminar las restas parece haberse ido adelantando, y en muchas ocasiones los alumnos aprenden directamente el algoritmo de la división restando mentalmente. Me parece un ejemplo perfecto donde se aplica esta cita de Donald Knuth «Premature optimization is the root of all evil (or at least most of it) in programming» que enunció pensando en la programación, pero que me parece perfectamente trasladable al aprendizaje de las matemáticas. En la figura vemos un ejemplo tomado de un libro de texto de 3º de Primaria.

En este tema solo nos siguen algunos países hispanoamericanos. Si revisamos vídeos de alumnos haciendo divisiones en Gran Bretaña, Francia, o Alemania, podemos ver que hay variaciones en cómo organizan los cálculos, pero que tienen una cosa en común: escriben las restas.

abn-division

No me convence la forma de organizar los cálculos de la división ABN (en la imagen de la derecha se puede ver un ejemplo), pero la idea sí es natural, y explicando el pasado septiembre el algoritmo ABN en magisterio se me ocurrió que un buen algoritmo para la división sería la mezcla del tradicional y la idea de los ABN que muestro en la siguiente figura. Es un algoritmo donde se trabaja la descomposición de los números, y que cada niño puede aplicar adaptándolo a su nivel de cálculo. Naturalmente, la idea no es nueva, y posteriormente descubrí que aparece en la literatura como «división de Brousseau», y Cecilia Calvo y David Barba hablaron de él en un número reciente de la revista SUMA (que no he podido localizar en una búsqueda rápida. Cierro con una pequeña petición para los editores de la revista: sería muy útil que los índices estuvieran accesibles online).