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Cómo dar clase a los que no quieren

Voy a permitirme aprovechar este momento de popularidad (¡Mil gracias Clara!) para abandonar por una entrada el camino que me había marcado – hablar sólo de matemáticas – y recomendar un libro. ¡No, por favor, no es lo que parece! No tengo nada que ver con el autor, ni siquiera le conozco. Pero creo que es realmente interesante, muy en especial para los profesores de secundaria.

Cuando pregunté a mis alumnos del Máster de formación del profesorado qué habían echado de menos en el curso, la opinión fue casi unánime: «Nadie nos ha dicho nada sobre cómo tratar con una clase llena de adolescentes». Y creo que es verdad, en España no está nada extendida la enseñanza de lo que me gusta llamar Técnicas de gestión del aula. Así que empecé a preguntar, y una amiga, profesora de secundaria, me habló de un libro que habia leído, y cuyas ideas la habían ayudado a mejorar el clima de su clase. El libro es Cómo dar clase a los que no quieren. de Joan Vaello Orts. El título puede ser un poco equívoco. No se trata de enseñar a los que no quieren (creo que todos estamos de acuerdo en que es imposible enseñar a alguien que no quiere aprender), sino de tratar a los que no quieren de forma que se consiga mejorar el clima general de clase, y así poder enseñar a los que sí quieren. Por el camino, los que no quieren (o algunos de ellos) quizá adquieran unas habilidades socioemocionales mínimas, que tienen un gran valor en sí mismas, y alguno hasta empiece a querer aprender.

El libro no promete milagros, pero creo que no hacen falta milagros para mejorar un poco el clima general de clase. Lo más importante es no dejar eso a la intuición. Por supuesto, hay profesores que consiguen, de forma innata, ese buen clima de clase. Pero para los que no tenemos ese don, hay técnicas que ayudan. Lo que es un error es enfrentarse a grupos de alumnos (los que en general originan el mal clima de clase), cuya principal motivación es provocar al profesor, y que dedican tiempo y energía a planear estrategias de provacación, simplemente con la reacción instintiva que surja en el momento.

Mientras preparaba este post he descubierto este vídeo de un seminario del profesor Joan Vaello, precisamente en el Máster de formación del profesorado de la Universidad Miguel Hernández.

El cálculo mental

Es difícil sobrevalorar la importancia del cálculo mental en la formación matemática de un alumno de primaria o de secundaria. Antes de entrar en detalles, tengo que dejar claro a qué me refiero con cálculo mental. No se trata de preguntar a un niño: ¿cuántas son 8 x 5? Y cuando conteste, a otro, ¿y si le restamos 7?, etc. El cálculo mental realmente formativo es el que requiere poner en juego propiedades numéricas para su ejecución. Supongamos por ejemplo que preguntamos: ¿cuántas son 12 x 7? Si no se está mínimamente acostumbrado al cálculo mental, la reacción natural será seguramente imitar mentalmente el algoritmo usual del papel. Pero hay una alternativa más natural: si el niño tiene claro que 12 x 7 son «12 veces 7», como explicamos en la entrada sobre las tablas de multiplicar, es más sencillo pensar que «12 veces 7» son «10 veces 7 mas 2 veces 7», es decir, 70 + 14 = 84. Podría exponer varios ejemplos más de trucos para hacer operaciones mentalmente de forma sencilla, pero no estoy proponiendo que al niño le enseñemos una lista de técnicas de cálculo mental. Lo realmente formativo es que el propio alumno vaya descubriendo este tipo de trucos, porque por el camino irá desarrollando lo que se suele conocer como sentido numérico. Algunos autores, para dejar claro que se están refiriendo a este tipo de cálculo mental, hablan de «cálculo pensado» o «cálculo inteligente».

Merece la pena insistir en este punto: el objetivo es que el alumno desarrolle sus propias estrategias de cálculo, porque para ello tendrá que manejar de forma creativa las propiedades de los números. Lo ideal es que el cálculo mental con una operación empiece antes del aprendizaje del algoritmo tradicional, pues en caso contrario habrá que luchar contra la tendencia de querer imitar sin papel lo que ya sabemos hacer en el papel.

Veamos un momento qué ocurre con la propiedad distributiva: la propiedad dice que (10+2) \times 7 = 10 \times 7 + 2 \times 7 y es la que hemos utilizado en el cálculo de 12 x 7 presentado en el primer párrafo. Por supuesto, no hace ninguna falta haber oído mencionar la propiedad distributiva para entender el cálculo anterior y, de hecho, la situación es la contraria: practicar y entender cálculos como el del primer párrafo es lo que nos ayuda a entender la propiedad distributiva. En lugar de practicar el cálculo mental, para interiorizar la propiedad distributiva, lo que se suele hacer en los libros de primaria es repetir mecánicamente esquemas de cálculo como el de la figura. ¿No es lo normal que, después de cosas como ésta, muchos niños piensen que las matemáticas son un conjunto de recetas mágicas y muchas veces sin ninguna utilidad?

Un último comentario: no voy a entrar en el tema de hasta dónde se debería calcular mentalmente. Básicamente, porque en este tema lo más importante es el camino, lo que se aprende mientras se practica el cálculo, y la importancia de hasta donde se llega es, desde mi punto de vista, relativa. Pero sí creo que nos sorprenderíamos de hasta donde llegarían los niños si le dedicaran al tipo de cálculo mental propuesto, digamos, el 10% del tiempo que le dedican en la actualidad a hacer cuentas rutinarias en el papel.

¿Por qué este blog?

Después de haber escrito una entrada sobre cada nivel educativo (con excepción de la etapa de Infantil -espero atreverme a escribir algo sobre la educación infantil en un futuro próximo), creo que tiene sentido poner en limpio, tanto para los lectores como para mi mismo, las razones que me animan a seguir con este proyecto.

En primer lugar, no conozco ningún blog con este enfoque. Por supuesto, hay estupendos materiales de divulgación matemática (varios de ellos en la lista de enlaces de la derecha) y creo que hacen una labor estupenda. Sin embargo, mucha de la divulgación es algo así como «tratamiento sintomático»: las matemáticas académicas son aburridas e inútiles, vamos a presentar otros materiales que sean más divertidos y que nos permitan que algunos niños le cojan algo de gusto a las matemáticas. Repito: creo que la labor es útil, y que con que tenga éxito con un pequeño porcentaje de niños, estará totalmente justificada. Sin embargo, también creo que algo tendría que intentar hacerse para intentar arreglar el problema de fondo, el que las matemáticas académicas sean aburridas e inútiles.

Las medidas están claras: mejorar la formación del profesorado, reformar los planes de estudio, aumentar la valoración social de las matemáticas, y quizá alguna cosa más. Bueno, estoy de acuerdo, y me pondría a ello si fuera Ministro de Educación. Pero también creo que desde una posición un poco más modesta, se pueden sugerir algunos pequeños cambios en la buena dirección. Unos cambios que intenten paliar los problemas de aprendizaje que se detectan en las aulas, y expuestos de manera que sean fácilmente accesibles para los profesores interesados.

Espero que el contenido de futuros posts termine de aclarar estas ideas.

La ecuación de 2º grado

Veamos hoy algo de Álgebra de secundaria. Los alumnos aprenden el desarrollo del cuadrado del binomio, es decir, que (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab, y dedican unas sesiones a hacer cuentas con la fórmula para familiarizarse con ella. Por supuesto, para la mayoría son cálculos puramente formales, que no entienden en absoluto, y muchos de ellos escribirán en el futuro expresiones como (x+3)^2 = x^2 + 9.

Además, y me parece aún más importante, en ningún momento ven una situación en que este desarrollo algebraico sea útil para algo (bueno, seguramente lo utilicen para simplificar expresiones algebraicas que se les plantean para usar el cuadrado del binomio, pero creo que no es honesto contar esto como una aplicación).

Seguramente en el mismo curso estudian la ecuación de 2º grado, y aprenden a obtener soluciones de expresiones como x^2+6x-7=0. Lo que aprenden es que hay una fórmula mágica que dice cuáles son las soluciones de la ecuación genérica ax^2+bx+c=0. Y lo aprenden de forma que uno puede ver a un alumno (con la asignatura aprobada) que recurre a la fórmula para resolver la ecuación x^2-9 = 0.

¿No sería mucho más razonable enseñar que la ecuación de 2º grado se revuelve completando cuadrados? Es decir, si tenemos que resolver la ecuación x^2+6x-7=0, lo que hay que hacer es darse cuenta de que esa ecuación se puede escribir como (x+3)^2-16=0 y que, por tanto, x+3=\pm 4. Es decir, las soluciones son x=1 y x=-7. No ha sido necesiaria ninguna «fórmula mágica», sólo cuentas sencillas … y el desarrollo del binomio.

Sí, lo sé, aplicar la fórmula es más rápido, pero si lo que queremos es ser rápidos, nada puede competir con recurrir a una calculadora y apretar una tecla. No creo que aplicar la fórmula de manera mecánica y repetitiva tenga mucho más valor matemático que resolver la ecuación con una calculadora. Sin embargo, si lo que uno quiere es que se produzca un aprendizaje significativo, estoy convencido de que es más provechoso hacer los cálculos más «pensados», sin recurrir a fórmulas mágicas. En todo caso, tras haber resuelto varias ecuaciones de la forma «lenta», uno podría introducir la fórmula general (el cálculo que demuestra que la fórmula general no es más que repetir el agrupamiento de cuadrados en la ecuación genérica ax^2+bx+c=0 no estará al alcance de la mayoría de los alumnos).

Presentación

Llevo 20 años dedicado a la enseñanza de las matemáticas. Durante los últimos cursos me he dedicado a la formación de futuros profesores, tanto de primaria como de secundaria, y esto me ha permitido tomar contacto con esos niveles educativos. Me atrevo a decir que tengo una visión general (aunque por supuesto incompleta) del sistema de enseñanza de las matemáticas en España, desde los 6 años hasta  la universidad.

Cada vez que se hace un estudio internacional, los conocimientos matemáticos de los alumnos españoles se sitúan en la parte media-baja de la tabla, y estas noticias llegan al gran público, por ejemplo, cada vez que se publican los resultados del estudio PISA (los resultados de PISA 2012 se publicarán dentro de un año aproximadamente). En general, diría que existe un consenso sobre el hecho de que el sistema no proporciona un conocimiento matemático satisfactorio, ni para los alumnos que precisan de un conocimiento matemático sólido para proseguir con sus estudios universitarios, ni para los alumnos que deberían haber adquirido una alfabetización matemática suficiente para desenvolverse como ciudadanos.

El título de este blog pretende marcar la dirección en la que, desde mi punto de vista, debería moverse el sistema para obtener mejores resultados. Por supuesto, como todo título es simplificador: cuando hablo de más ideas, quiero decir que el estudio de las matemáticas debería girar sobre todo alrededor de las ideas y conceptos básicos, trabajando de modo reflexivo sobre ellos. Menos cuentas quiere decir no sólo menos «aritmética tradicional» sino también menos procedimientos rutinarios que se memorizan sin comprenderlos, de forma puramente mecánica. Espero que próximos posts terminarán de aclarar estas ideas.

El segundo objetivo declarado de este blog es servir de punto de encuentro entre los diferentes niveles educativos. Creo que otra de las causas de las disfunciones del sistema es la falta absoluta de relación entre los integrantes de los diferentes niveles educativos: primaria, secundaria y unversidad.