Proporcionalidad inversa

Se trata sin duda de uno de los conceptos mas escurridizos de la aritmética elemental. Cuando pregunto por el tema en clase al principio, los alumnos solo saben contestarme eso de «cuando una disminuye, la otra aumenta». Pero si les pido detalles y les pregunto, por ejemplo, si el precio de un producto y su demanda son magnitudes inversamente proporcionales, ya que la demanda crece cuando el precio disminuye, entonces el silencio es total …

El primer problema que les planteo es el siguiente:

Un grupo de amigos hacen una excursión por el desierto y llevan reservas de agua para 12 días. Sin embargo, hace mas calor de lo normal, y beben el 50% mas de lo previsto. ¿Cuándo se les termina el agua?

Inmediatamente surge la respuesta de «6 días». Pero entonces les planteo: bien, y si hubieran bebido el doble de lo previsto, ¿cuánto les habría durado el agua? Creo que es el momento del curso en el que el conflicto cognitivo es mas evidente en las miradas de la mayoría de los alumnos. Una vez que se dan cuenta de que 6 no puede ser la respuesta correcta, la siguiente propuesta suele ser 9, por aquello de «la mitad de la mitad» (está claro que nuestro cerebro es lineal). Hay que esperar unos minutos mas para que algún alumno dé con la respuesta correcta, normalmente con un argumento del tipo: «como beben el 50% mas, consumen en un día el agua que tenían previsto beber en 1,5 días. Por tanto, a los 8 días terminan el agua».  Una de las cosas que mas me gustan de este ejemplo es que, al evitar darles una cantidad concreta, suelo conseguir que ni siquiera intenten recurrir a la regla de tres.

Reconozco que no es un tema sencillo, pero me parece simplemente terrible la forma en que es tratado en los textos que conozco. Y los problemas mas habituales, con pintores y demás, por supuesto enfocados a su resolución con la correspondiente regla de tres. Me parece que sería mucho mas útil centrar el estudio en las magnitudes físicas, que están estudiando en la asignatura correspondiente, y que además son mucho mas realistas que los ejemplos usuales: la velocidad y el tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme, y la presión y el volumen de un gas a temperatura constante. Creo que desde el lado de la física las cosas no funcionan mucho mejor, a juzgar por las caras que observo al enunciar la Ley de Boyle-Mariotte en términos de proporcionalidad inversa. No he hecho una búsqueda exhaustiva, pero en el texto de 4º que tengo en casa lo que dice es que V y 1/P son magnitudes proporcionales. Vamos, el error habitual: tirar por el camino mas «sencillo» … que no lleva a ningún sitio. La proporcionalidad inversa es seguramente el concepto de las matemáticas básicas donde la interdisciplinariedad debería jugar un papel mas importante, por evidente y útil.

Mi objetivo final en este tema es que mis alumnos entiendan que si en un movimiento uniforme la velocidad aumenta el 20%, el tiempo de viaje no disminuye el 20% (los resultados en este punto, discretos, sigo dándole vueltas a cómo hacerlo mas comprensible).

Termino con dos problemas que me gustan especialmente. El primero, uno de esos problemas que aparecen en libros de aritmética clásica, y con los que nuestros alumnos encuentran bastantes dificultades, ya que se trata de razonar, y no de operar:

Una nave sale de Nápoles hacia Barcelona y hace su viaje en 30 días. Otra sale de Barcelona hacia Nápoles y hace el viaje en 20 días.
¿En qué punto del trayecto se encuentran? (Se supone, claro, que las dos naves van por la misma ruta y que cada una de ellas mantiene durante todo el viaje la misma velocidad).

Y el segundo, de cosecha propia, pensado para convencerles de que hay alternativas mejores que la regla de tres compuesta:

Una ciudad medieval dispone de provisiones para 6 meses. Justo antes de ser sitiados por un ejército enemigo, la cuarta parte de su población huye, y al verse sitiados deciden reducir la ración diaria a 2/3 de la prevista. ¿Cuánto tiempo les durarán las provisiones?

Mas problemas, menos cuentas

Ya está operativa la comunidad de Procomún Mas problemas, menos cuentas. Es una comunidad restringida: cualquiera puede ver los materiales, pero para contribuir hay que solicitar un permiso. Os animo a que lo hagáis, por supuesto, se trata de una simple formalidad para evitar robots y cosas por el estilo. Veremos si la comunidad contribuye en algo al objetivo de potenciar la resolución de problemas en las aulas.

Hacia un espacio para compartir buenos problemas

En los comentarios a esta entrada hemos mantenido un debate sobre la conveniencia de abrir un foro donde cualquier interesado pueda aportar problemas interesantes, y donde los usuarios puedan votar las propuestas, de manera que se consiga que los problemas con la mejor acogida sean fácilmente accesibles. Juan José López sugirió que una comunidad en Procomún podía ser una buena opción. Sólo falta el nombre de la comunidad. La idea es que el foro esté abierto a la participación de todos los interesados, y creo que lo mejor es empezar ya decidiendo el nombre entre todos. Recogeré las propuestas para el nombre en los comentarios, hasta el martes 17 a las 23:59, y organizaré una encuesta con las propuestas.

A vueltas con la formación matemática de los maestros

La verdad es que no pensaba volver a escribir sobre el tema, sencillamente porque creo que está casi todo dicho, y no veo mucha mas opción que seguir trabajando en mi centro particular, empezar a trabajar en formación continua, y ver si los resultados, que me parece que son buenos, se manifiestan de alguna forma en algún momento …

Pero este artículo de la Revista de Educación, dedicado a analizar los conocimientos de aritmética de futuros maestros, me parece que merece algunos comentarios. El artículo es de lectura mas que recomendable para todos los implicados en el tema, y para todo el que quiera saber un poco mas sobre el problema. Las preguntas propuestas creo que están muy bien elegidas para analizar la comprensión de los temas que se analizan (fracciones, decimales y porcentajes). Mi única pega sobre este aspecto es que creo que se debería haber incluido también el tema de razones y proporciones, por coherencia temática. Los resultados no me sorprenden, están en línea con lo que observo cuando pregunto a mis estudiantes al empezar la asignatura de Matemáticas I, la dedicada a la aritmética. En resumen: una buena parte de los estudiantes no entienden conceptos básicos de la aritmética.

Lo que sí me sorprende son las conclusiones del trabajo. Este es el párrafo con el que comienza la «Reflexión final»:

Para finalizar, nos gustaría que este estudio pudiera contribuir a la reflexión de los distintos actores implicados en el sistema educativo con capacidad en la toma de decisiones. En primer lugar,  esto nos debe ayudar a comprender mejor qué y cómo trabajar determinados aspectos relacionados  con  las fracciones, los decimales y los porcentajes en la Educación Primaria. En segundo lugar, las autoridades educativas deberían definir con más precisión los conocimientos matemáticos previos exigibles a un estudiante para Maestro, puesto que la universidad no parece el lugar más adecuado  para volver  sobre  conocimientos que deberían haberse superado con anterioridad.

Empezando por el final, es debatible que incluso un alumno que haya cursado de forma satisfactoria la enseñanza secundaria y haya entendido los conceptos básicos haya alcanzado ya la comprensión conceptual necesaria para un buen desempeño docente, precisamente porque posiblemente deba completar lo que en el artículo acertadamente se define como conocimientos matemáticos para la docencia. Otra cosa es que, desde luego, con los alumnos mejor preparados ese trabajo sea mas fácil, mas rápido y mas satisfactorio. Pero es que la mayoría de los alumnos no están en esa situación. ¿Por qué la universidad (las facultades de educación) no son un lugar adecuado para revisar esos conocimientos? En didáctica es bien conocido el poder de las preconcepciones, me parece que aquí tenemos un ejemplo clarísimo …

Soy muy escéptico sobre los resultados de la propuesta que parece que se está abriendo camino, y que consiste en elevar el nivel de exigencia en la entrada de los estudios de magisterio. Por supuesto que sería positivo tener mejores estudiantes, pero pretender seleccionar en la entrada para que no sea necesario tratar los contenidos matemáticos me parece inviable. No he podido contrastar la información, y si algún lector puede confirmar o desmentir este hecho se lo agradezco, pero  he oído que la matrícula en los estudios del Grado de Primaria de la Universidad Rey Juan Carlos se redujo en 1/3 cuando aplicó ya este curso el acuerdo de la Comunidad de Madrid de exigir un 5 en la prueba de Lengua de la PAU para el ingreso en el grado. Sobre matemáticas, existe el proyecto de una prueba específica, ya que recurrir a la PAU no es viable.

Por otra parte, es verdad que hay que mejorar el tratamiento de determinados aspectos relacionados  con  las fracciones, los decimales y los porcentajes en la Educación Primaria pero, ¿quién va a llevar esa mejora a las aulas de primaria? ¿Los maestros que no dominan esos contenidos, y a los que parece que no queremos enseñárselos?

Ya mencioné en entradas anteriores mi postura, pero termino esta entrada reiterándola «en aras de la completitud». Me parece que la propuesta que hizo el National Council on Teacher Quality, que se puede ver en este documento (versión resumida, versión completa) es casi directamente trasladable a nuestro país. La propuesta consiste en incluir cuatro asignaturas de matemáticas en el grado de magisterio: una dedicada a la aritmética, otra dedicada a la geometría, con algo de tratamiento de datos y probabilidad, una tercera dedicada al álgebra y el razonamiento matemático, y una cuarta sobre didáctica de las matemáticas. No conozco datos precisos, pero creo que la media de nuestros planes actuales ronda las tres asignaturas. Eso sí, mi impresión es que la mayoría de esas tres asignaturas están dedicadas a la didáctica de las matemáticas, y se intenta explicar la didáctica de unos contenidos que parece que la mayoría de los estudiantes no dominan lo suficiente.

Estos son los textos mejor valorados en el informe mencionado:

  • Parker, Balridge. Elementary mathematics for teachers. / Elementary geometry for teachers. Sefton-Ash Publishing, EEUU, 2004.
  • Musser, Burger, Peterson. Mathematics for Elementary Teachers: a contemporary approach. Ed. Wiley. 2010.
  • Sybilla Beckmann. Mathematics for Elementary Teachers with Activities. Pearson, 2014.

Las «matemáticas de Singapur» en la prensa

Hoy me ha llegado a través de @manuel_de_leon este artículo en el abc que habla de cómo el modelo de educación matemática básica de Singapur se está extendiendo a varios países. Espero poder anunciar que algún colegio español se incorpora a esa lista el curso próximo. De momento, quería hacer un matiz sobre lo que se dice en la nota de prensa. Lo que se suele subrayar de la educación matemática en Singapur, que a veces se presenta como «método Singapur», es su enfoque en tres etapas, concreta -> pictórica -> abstracta. Es verdad que esa es la estrategia de presentación de los diferentes conceptos en los libros de primaria, los mas conocidos a nivel internacional. Y supongo que es una de las características mas evidentes de los libros, y por tanto la mas sencilla de vender a los no expertos. Pero no me parece la esencial. Mucho mas relevante me parece que ese método lo ponen al servicio de lo que yo considero su mejor cualidad: la atención a la comprensión conceptual. Por supuesto, esa comprensión conceptual requiere tiempo, y ese tiempo lo consiguen no a base de mas horas de clase, sino a base de un diseño curricular muy bien pensado, menos repetitivo y en el que han eliminado muchos temas a los que aquí dedicamos horas y horas (por ejemplo, la división con divisores de dos o mas dígitos). Estos son los índices de los textos de primaria «My Pals are here» de Marshal-Cavendish, los mas conocidos. Esa importancia relativa de la presentación concreta -> pictórica -> abstracta me resulta evidente al analizar la serie Pensar sin límites, la edición chilena de los textos de Singapur. La conozco un poco, porque estos dos meses tenemos en Alcalá a un grupo de maestros chilenos, que han venido becados por su gobierno para formarse en matemáticas básicas. El texto de 1º de Pensar sin límites es casi copia literal de la versión de Singapur. Sin embargo, al ir avanzando los cursos, y supongo que por exigencias del currículo chileno, que parece compartir muchos de los defectos del nuestro, los textos de Pensar sin límites se van separando cada vez mas del original, porque aunque siguen esa estrategia concreta -> pictórica -> abstracta la ponen al servicio de contenidos de pertinencia discutible.

¿Un currículo viejuno?

Como le leí a @lolamenting un día de vacaciones, ¡qué pereza pensar en hablar sobre el nuevo currículo de secundaria! Y la verdad es que la pereza me vence, no lo he mirado con la calma suficiente para hablar de él en detalle. Pero creo que sí me atrevo a afirmar que, salvo las cuestiones formales de dejar para las comunidades el trabajo de organizar los contenidos de 1º y 2º de ESO, y adelantar un año la división entre matemáticas «A» y «B», no hay demasiadas novedades, y el nuevo currículo tiene los mismos problemas de fondo que el anterior (y que todos los que he visto desde el de la LOGSE): demasiado extenso, repetitivo y con muchos contenidos de pertinencia cuestionable.

Me siento tentado de calificarlo directamente de «currículo viejuno» al descubrir que vuelve a incluir el tema de «Repartos directa e inversamente proporcionales». No estaban en el currículo anterior, y no recuerdo haberlos visto en ninguno, aunque no he conseguido localizar ahora el primero de la LOGSE. Entiéndaseme bien, el problema

Dos amigos, Luis y Carmen, reciben por un trabajo 475 euros. ¿Cómo deben repartirse el dinero si por cada dos horas que trabajó Luis, Carmen trabajó 3 horas?

me parece perfecto para trabajarlo, por ejemplo, en 1º-2º de ESO, para profundizar en el aprendizaje de la proporcionalidad. Yo lo planteo en magisterio, y a muchos alumnos les resulta difícil, sobre todo si se les pide que lo resuelvan con técnicas aritméticas, sin recurrir al álgebra. Pero ver en el currículo la mención explícita a repartos proporcionales remite inevitablemente a otra concepción del aprendizaje de las matemáticas, una concepción que seguramente incluye un recuadro en el libro de texto que diga algo así como

Para repartir una cantidad X de forma proporcional a p, q, r  se calcula p+q+r y  …

Los alumnos medianamente interesados se lo aprenden, lo entrenan con algún ejemplo, y reproducen disciplinadamente en el examen un ejemplo análogo. Por alguna razón recuerdo bien estos problemas en mis últimos cursos de EGB, allá por finales de los 70. Tras todo ello, el impacto de estos problemas en el aprendizaje matemático (de los alumnos que los trabajan) me parece muy cercano a cero. Pero lo que ya me parece rizar el rizo son los problemas de repartos inversamente proporcionales. ¿A algún lector se le ocurre un contexto, sea de la vida cotidiana, o de la ciencia o tecnología mas avanzadas, donde aparezca una situación de reparto inversamente proporcional?

¡Problemas, problemas!

Creo que merece la pena escuchar este audio (14 seg).  Ya sé que puede parecer un montaje, pero es el recibimiento con que se encontró mi estudiante de doctorado cuando entró en un aula de 6º el pasado 18 de diciembre. El tema de su tesis es el estudio de estrategias que fomenten la autoconfianza de los alumnos ante la resolución de problemas.

Antes de continuar, una aclaración: soy perfectamente consciente de que, con toda probabilidad, la historia en un aula de secundaria sería bastante distinta. En este tema, como en muchos otros, creo que la clave está en primaria. Si un alumno termina 6º de Primaria con una actitud negativa ante la resolución de problemas, es muy difícil cambiarla luego en secundaria.

Espero poder tratar estos temas con mas profundidad en el futuro. El propósito de esta primera entrada del año es muy modesto: se trata simplemente de llamar la atención sobre el hecho de que la resolución de problemas puede resultar interesante para los alumnos. Porque otra cosa que me gustaría mencionar es que el tipo de problemas que estamos trabajando en las aulas no tienen componente de acertijo, o de juego. Por supuesto que ese tipo de actividades, con componente «lúdica» tiene su papel en el aprendizaje de las matemáticas, lo que digo simplemente es que la resolución de problemas, en sí misma, también puede ser interesante. La condición, claro está, es crear el ambiente de trabajo adecuado. En particular, no ignorar los errores de los alumnos (ni estigmatizarlos, claro) sino tomarlos como lo que son: ocasiones para detectar las dificultades y, por tanto, oportunidades de aprendizaje.

Para que quede del todo claro, termino con los enunciados de los problemas que trabajaron en el aula en la semana anterior al recibimiento del audio. Debo confesar que  vistos aquí los enunciados no me parecen especialmente inspirados, pero creo que eso refuerza el argumento de que generar el ambiente de trabajo adecuado es esencial. En particular, estoy de acuerdo en que el problema 3 es completamente artificial. Se trata de un problema copiado del libro de texto que ya habían trabajado el mes anterior, y queríamos ver cómo reaccionaban ante el problema, y qué es lo que les había quedado (la conclusión ha sido que … nada).

  1. Un depósito contiene 4500 litros de agua, se abre la llave del desagüe y se vacía a un ritmo de medio litro por segundo. Si la llave del desagüe permanece abierta un cuarto de hora. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?
  2. ¿Cuánto pesa una bolsa de limones si una bolsa de naranjas pesa 3 kilos, y dos bolsas de naranjas pesan lo mismo que tres bolsas de limones?
  3. David tiene cintas para construir lazos de regalo de 3 longitudes diferentes, de 84 cm, 140 cm y 308 cm. El quiere cortar las cintas en trozos  del mismo tamaño para hacer lazos para sus regalos.
    • ¿Cuál será la longitud máxima de estos trozos sin que le sobre nada de ninguna de las cintas?
    • ¿Cuántos lazos de igual longitud puede hacer?
  4. Al inicio de un viaje el cuentakilómetros de un camión marca 24556 kilómetros. ¿Cuánto marcará después de un viaje de dos horas y media si circula a 80 km/h durante todo el trayecto?

Un cucurucho de pepitas de oro

Imagina que te dan un círculo de cartulina de radio 10 cm y te dicen que te llenarán con pepitas de oro el cucurucho que consigas hacer con la cartulina. ¿Cómo debería ser el cucurucho?

Me parece que este problema tiene todas las características de un buen problema: es natural, el enunciado es fácil de entender, la solución no es nada evidente «a primera vista» pero se puede obtener con los métodos de la ESO (bueno, si nos ayudamos de un software que represente la función volumen que se obtiene, y que nos permita obtener de forma aproximada el máximo de la función). Puede incluso plantearse, a nivel puramente manipulativo, al final de primaria.

Y es que los conos son cuerpos bastante aburridos si nos limitamos a calcular volúmenes y superficies con las fórmulas estándar, pero mucho mas interesantes si en lo que respecta a las fórmulas nos limitamos a la del volumen, y nos planteamos luego problemas basados en las relaciones entre el objeto tridimensional y su desarrollo plano, como ya comenté en esta entrada.

La enseñanza y la realidad

Hoy le he lanzado esta pregunta a mis hijas en la comida: ¿qué es lo mas interesante que has aprendido hoy en el instituto? La mayor (2º de Bachillerato) hasta se la ha tomado en serio, ha reflexionado unos segundos, y ha contestado: «Cómo se hacen las leyes». Hace el Bachillerato de Ciencias de la Salud, y no ha hecho falta preguntar para que se diera cuenta de que se echaba de menos algún detalle adicional, así que ha añadido: ha sido en Lengua, a cuento del comentario de textos jurídicos.

Mi moraleja es clara: intentar acercarse a la realidad, al menos de vez en cuando, es de lo mas recomendable (y no solo en matemáticas). No sé en qué medida lo consigo, pero lo intento.