Menos puede ser mas

Hace unas semanas recibí los textos de 3º y 4º de Secundaria de la serie «Mathematics matters», de Marshall-Cavendish, y aunque no he tenido tiempo de estudiarlos con detalle el primer vistazo resulta bastante impactante. No tengo claro si se trata de un enfoque alternativo a la serie «New mathematics counts», o si se trata de una evolución, pero el caso es que dan un paso mas en la «simplificación» de muchas técnicas que ya era llamativa en «New mathematics counts». Lo mejor para entender de qué estoy hablando es desde luego ver algún ejemplo, así que aquí está el capítulo del libro de 3º dedicado a las potencias (29 Mb). A la hora de revisarlo, es importante tener en cuenta que es el único capítulo de la secundaria que dedican a las potencias. Por supuesto que en ejercicios posteriores aparecerán cálculos con potencias, y de esta forma se repasan, pero no se vuelven a tratar de forma sistemática.

Aún mas llamativo que las concisas 34 páginas que le dedican al tema es lo «descargado» de las páginas de estos textos de Marshall-Cavendish. Acostumbrado a las abigarradas vistas de muchos de nuestros libros, que parecen seguir la filosofía de «cuanto mas, mejor» o «mas vale que sobre que no que falte», la sencillez de la exposición me resulta impactante. Por supuesto, la brevedad no impide que los hechos básicos, como que $a^0 = 1$ , sean justificados (cuando pido a mis alumnos del máster de profesorado que justifiquen esa relación, la respuesta es casi siempre «porque es así»).

Y es que creo que ya tenemos suficientes datos para afirmar que la raíz de nuestro problema no es la escasez de horas de clase ni el trabajo de los alumnos; los datos de la imagen me parecen suficientemente elocuentes. Lo que necesitamos urgentemente es un profundo cambio de currículo y de enfoque metodológico.

Vía @educaINEE. Fuente: Panorama de la educación. Indicadores OCDE 2014

Mientras las soluciones vayan en esta dirección http://www.europapress.es/galicia/noticia-alumnos-eso-tendran-horas-mas-matematicas-20150324153403.html (vía @jjcanido) o, cambiando de tercio, en que el estudiante haga otra hoja de divisiones, de ecuaciones logarítmicas, o de derivadas, la situación seguirá sin mejorar.

Las «matemáticas de Singapur» en la prensa

Hoy me ha llegado a través de @manuel_de_leon este artículo en el abc que habla de cómo el modelo de educación matemática básica de Singapur se está extendiendo a varios países. Espero poder anunciar que algún colegio español se incorpora a esa lista el curso próximo. De momento, quería hacer un matiz sobre lo que se dice en la nota de prensa. Lo que se suele subrayar de la educación matemática en Singapur, que a veces se presenta como «método Singapur», es su enfoque en tres etapas, concreta -> pictórica -> abstracta. Es verdad que esa es la estrategia de presentación de los diferentes conceptos en los libros de primaria, los mas conocidos a nivel internacional. Y supongo que es una de las características mas evidentes de los libros, y por tanto la mas sencilla de vender a los no expertos. Pero no me parece la esencial. Mucho mas relevante me parece que ese método lo ponen al servicio de lo que yo considero su mejor cualidad: la atención a la comprensión conceptual. Por supuesto, esa comprensión conceptual requiere tiempo, y ese tiempo lo consiguen no a base de mas horas de clase, sino a base de un diseño curricular muy bien pensado, menos repetitivo y en el que han eliminado muchos temas a los que aquí dedicamos horas y horas (por ejemplo, la división con divisores de dos o mas dígitos). Estos son los índices de los textos de primaria «My Pals are here» de Marshal-Cavendish, los mas conocidos. Esa importancia relativa de la presentación concreta -> pictórica -> abstracta me resulta evidente al analizar la serie Pensar sin límites, la edición chilena de los textos de Singapur. La conozco un poco, porque estos dos meses tenemos en Alcalá a un grupo de maestros chilenos, que han venido becados por su gobierno para formarse en matemáticas básicas. El texto de 1º de Pensar sin límites es casi copia literal de la versión de Singapur. Sin embargo, al ir avanzando los cursos, y supongo que por exigencias del currículo chileno, que parece compartir muchos de los defectos del nuestro, los textos de Pensar sin límites se van separando cada vez mas del original, porque aunque siguen esa estrategia concreta -> pictórica -> abstracta la ponen al servicio de contenidos de pertinencia discutible.

Recopilación de información sobre los textos de Singapur

Han sido unos meses realmente intensos. Ya hace unos años que tengo casi toda mi docencia concentrada en el periodo que va desde primeros de septiembre hasta esta última semana (cuando los alumnos de Matemáticas I empiezan su periodo de prácticas), pero este curso se ha juntado además el impartir un grupo de Matemáticas I en inglés, con lo que eso implica de preparación de nuevos materiales. Esto no es para nada una queja: mis obligaciones docentes hasta el próximo septiembre son ya reducidas. Solo estoy explicando la baja actividad de este foro en estos pasados meses.

El objetivo de esta entrada es recopilar la información que tengo sobre las matemáticas en Singapur. Los pasados días 14 y 15 participé en unas jornadas sobre educación matemática organizadas por la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León. Lo que hice allí fue presentar lo que conozco sobre las matemáticas básicas en Singapur, haciendo especial hincapié en los aspectos del currículo y de los libros de texto en los que la diferencia con nuestra situación me parece mas significativa. Creo que la ponencia fue bien acogida, y en particular bastantes profesores me pidieron mas información sobre los libros de texto de Singapur. Mi compromiso fue reunir la información que tengo dispersa en varias entradas, para que fuera mas sencilla de localizar. A eso está dedicada esta entrada.

La primera aclaración es que los textos que tengo son los de Marshall-Cavendish (es la editorial de Singapur mas conocida a nivel internacional, aunque no he conseguido encontrar datos concretos sobre su presencia en el mercado local) de las etapas correspondientes a Infantil, Primaria y ESO. Me voy a concentrar en Primaria y ESO: como ya he escrito en alguna ocasión, creo que lo que mas necesita nuestra etapa de Infantil es defenderse de la presión que parece estar creciendo para acelerar el aprendizaje, y que los niños terminen la etapa leyendo, sumando (en columna) y si se puede mas cosas …

Prefiero comenzar con las malas noticias: conseguir los textos no es sencillo. El distribuidor para Europa hasta este verano era Maths No Problem, pero justo este curso han lanzado una edición propia, ajustada al currículo británico, que no conozco. Algo parece que se está moviendo en Gran Bretaña, porque preparando esta entrada he descubierto que Maths No Problem ha lanzado un proyecto piloto patrocinado por el Ministerio de Educación y el National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics basado en estos textos. Espero que la distribución mejore en algún momento, pero ahora mismo el único lugar que conozco para hacerse con los textos es Sgbox.com. La compra que les hice fue bien, pero envían los textos desde Singapur, así que lleva un tiempo …

La serie de matemáticas de primaria que mi departamento compró este verano se llama «My pals are here«. Aquí dejo una copia de los índices de los 12 libros de texto (dos por curso). Creo que puede servir para hacerse una primera idea de las diferencias con nuestros textos. El currículo de matemáticas se puede ver aquí, y querría hacer una mención especial al nuevo currículo del año 2013: lejos de acomodarse en el éxito que están teniendo en todas las pruebas internacionales, han emprendido una reforma del currículo, que arrancaron en 2013 en 1º de Primaria y 1º de Secundaria. Aquí está el nuevo currículo de los dos primeros cursos de primaria. Me parece que tanto la motivación como el currículo en sí mismo son todo un ejemplo. Me gusta mucho la idea de incluir en el currículo esas «situaciones de aprendizaje» que aparecen bajo el epígrafe de «Students should have opportunities to …».

En la secundaria la situación se complica un poco. La figura muestra la estructura que se puede encontrar en el documento del plan de estudios de secundaria.

Al final de primaria tienen una prueba externa, la Primary School Leaving Examination, que además usan para separar a los alumnos en una vía tecnológica y otra académica de secundaria (y para que los alumnos con mejores resultados obtengan plaza en los mejores centros de secundaria). No es el objetivo de esta entrada entrar en estos detalles, pero no me importa dejar claro que no me gusta una separación tan temprana, y que tales niveles de competitividad a esas edades son controvertidos.

En todo caso, es útil tener en cuenta este detalle al examinar los ejemplos de secundaria que tengo, ya que corresponden a la vía académica. Ahora mismo estoy intentando conseguir información sobre cuántos estudiantes hay en cada una de estas vías, y también algún texto del O-level, que parece ser mas exigente (los que tengo corresponden al N-level). En esta página (de la asignatura que imparto en el máster de secundaria) he puesto los índices de los libros, y algunos temas escaneados. La asignatura del máster la estoy dedicando este año, esencialmente, a que los alumnos hagan un análisis comparativo de cómo se tratan algunos temas básicos en esos libros de Singapur y en algunos nuestros.

Tras esos cuatro años de secundaria hay dos años mas de enseñanza preuniversitaria, que parecen esencialmente dirigidos a preparar su A-level. Se pueden encontrar ejemplos de un libro de texto de esa etapa en esta otra entrada.

Para terminar, estos son los materiales de 1º de primaria que terminé el pasado septiembre. Como dije entonces, cualquier información sobre qué tal funcionan en un aula será agradecida.

libro de texto, para proyectar: Parte A, Parte B.
libro de texto, para imprimir: Parte A, Parte B.
guía del profesor: Parte A, Parte B.
ejercicios: Parte A, Parte B.

Segunda tanda de TFGs. Mas España-Singapur

El objetivo de esta entrada es hacer públicos algunos trabajos fin de grado mas, pero mientras la preparaba me ha llegado un enlace que creo que merece publicidad.

Antonio Cabrales (¡Muchas gracias!) me ha enviado este enlace, en el que se habla de los buenos resultados de un colegio italiano que se lanzó a usar libros de texto finlandeses en 3º de Primaria. Sobre la enseñanza de las matemáticas en el inicio de la educación primaria en Italia, el artículo dice

In Italy the initial study of maths is based on the learning of addition, subtraction and multiplication tables. The instructional material is full of text and, according to Piccinini, does not encourage children to pursue independent reasoning and deduction.

Resulta familiar, ¿verdad? No conozco los libros finlandeses (ya está en la lista de tareas pendientes), así que poco mas puedo decir por ahora sobre el tema.

Y ahora, los trabajos fin de grado prometidos. Todos hacen un estudio comparativo entre libros de texto españoles y los de la editorial Marshall-Cavendish, de Singapur.

Estadística y probabilidad, de Alba Acebrón.
Ángulos y rectas, de Samuel Arroyo.
Multiplicación y división, de David Magaña.
Fracciones, de Javier Utrilla.

Una comparación de libros de texto España-Singapur

Este verano ha terminado la primera promoción del Grado de Educación Primaria en la Universidad de Alcalá. Varios de los estudiantes que se han interesado en que les dirigiera el Trabajo Fin de Grado (como parte de la última reforma de los planes de estudio en la universidad, todos los estudiantes tienen que elaborar un trabajo para obtener su título de grado. Los detalles pueden variar mucho entre universidades) han trabajado comparando el tratamiento de un tema concreto en algunos de nuestros libros de texto de primaria con los de Singapur (en concreto, con los de Marshall-Cavendish, que es la editorial de la que he hablado otras veces).

Estoy contento con el resultado de los trabajos, porque en todos los casos los alumnos han sido capaces de analizar importantes diferencias de fondo. Lo que quiero hacer hoy es simplemente hacer público uno de esos trabajos (por supuesto, tengo el permiso del alumno). El autor es Ignacio Fernández Balboa, y debo aclarar que no se trata de un «alumno promedio», sino del mas brillante de su promoción en mis asignaturas y probable premio extraordinario. Bueno, aquí está.

Nuevos currículos de primaria en España y en Singapur: una comparación reveladora

Hace poco me he enterado de que en Singapur también están revisando los currículos de matemáticas. Aquí están todos, y aquí el nuevo de primaria. Algún lector habrá reaccionado con cierta sorpresa (reconozco que yo lo hice, al menos, con curiosidad). Vaya, Singapur, que no sale de los primeros puestos de las pruebas internacionales de referencia desde hace años, revisando sus currículos. Por supuesto que en cuanto me fue posible me lancé sobre el documento, y de verdad que recomiendo su lectura. Los capítulos previos a la exposición de los contenidos curriculares me parecen modélicos en su exposición de en qué consiste enseñar y aprender matemáticas. Este es el primer párrafo del documento:

As in all previous reviews, the 2010 full-term review aims to update the syllabuses so that they continue to meet the needs of our students, build a strong foundation in mathematics, and make improvement in the school mathematics education. It takes into consideration the analyses of students’ performances in national examinations as well as international studies such as TIMSS and PISA. This review also takes on board the curriculum-wide recommendations from envisaging studies into the overall Singapore curriculum such as seeking a better balance between content and skills, creating opportunities to develop 21st century competencies, promoting self-directed and collaborative learning through ICT-based lessons, and developing assessment to support learning.

Muchas cosas me han llamado la atención. Empezando por el aspecto organizativo, la reforma ha arrancado el año 2013 en primer curso de primaria, y se irá extendiendo al resto de los cursos de la etapa de forma progresiva. De hecho, hasta ahora sólo han publicado la parte correspondiente a los dos primeros cursos. Nosotros, en cambio, empezamos el curso próximo en 1º, 3º y 5º. Si un vistazo al currículo no fuera ya suficiente para comprobar que aquí nada ha cambiado, la medida de implantarlo directamente en 5º sería en sí misma prueba suficiente.

Pasando ya a un análisis de fondo, quizá lo más relevante del nuevo currículo de Singapur es la inclusión de las «experiencias de aprendizaje» como uno de los ejes vertebradores del currículo. Aunque ya se hablaba de ellas en la versión anterior, se hacía en la parte introductoria, un poco de pasada. Ahora están al mismo nivel que los contenidos. Me parece una idea muy interesante, porque es una forma muy potente de transmitir a los maestros qué tipo de actividades se recomiendan para tratar los diferentes contenidos. Como ejemplo, en la figura se pueden ver los contenidos y las experiencias de aprendizaje correspondientes a la suma y la resta en primer curso. Aquí está de nuevo el enlace al documento completo, que me parece absolutamente recomendable para cualquiera interesado en la enseñanza de las matemáticas elementales.

Los contenidos también me parecen muy bien pensados. Un ejemplo: comparemos lo que se hace en nuestro currículo para la multiplicación (las tablas de 0, 1, 2, 5 y 10, así, de entrada), con la figura, que es lo que aparece en primer curso en Singapur.

Ya en 2º aparecen las tablas de multiplicar (la última figura). Eso sí, la del 2, 3, 4, 5 y 10. (Cualquier mención a las tablas del 0 y el 1 habría hecho que se tambaleara mi convencimiento de que en Singapur están haciendo estas cosas bastante bien).

Un ejemplo de pruebas externas

Creo que el debate sobre las pruebas externas está demasiado condicionado por la triste experiencia de la única prueba externa – con efectos sobre el currículo – que tenemos en España. Me parece que todos estamos de acuerdo en que la prueba de matemáticas (y seguramente también de otras materias) de la selectividad – la PAU – está mal diseñada. No es un examen que evalúe bien los conocimientos matemáticos (una buena parte de las preguntas son siempre «las mismas» y marcadamente rutinarias). Lo que es peor, condiciona fuertemente el desarrollo de 2º de Bachillerato, y creo que empobrece el aprendizaje. El famoso efecto «teach to the test» tiene en este caso efectos negativos.

Lo que querría discutir es si esto no tiene mucho que ver con el diseño del examen de selectividad, y no tanto con el concepto «prueba externa». Aclaración preventiva: no estoy diciendo que esté a favor de las pruebas externas (ni lo contrario). Lo que estoy diciendo es que para tener un debate constructivo sobre las pruebas externas habría que tener una visión más general del tema.

Como ya saben los lectores de este blog, me gusta mucho el enfoque de la enseñanza de las matemáticas en Singapur. Investigando en la etapa de Bachillerato, he descubierto que esa etapa en buena parte del mundo anglosajón es, en buena medida, y de forma nada encubierta, una preparación de la prueba conocida como A-level. Quede claro: esta prueba no está exenta de controversias, como puede comprobar cualquier lector que busque «A level examination». No puede ser de otra forma: las pruebas externas son un tema muy complejo, y ninguna solución se acerca a la perfección.

Lo que quiero enseñar hoy es una muestra de un libro pensado para preparar las matemáticas de los A-level de Singapur. En este enlace he puesto una copia del índice del libro y las páginas con preguntas de los diferentes exámenes. Las siglas entre corchetes después de cada problema corresponden a las diferentes agencias en cuyas pruebas apareción la pregunta. Nueva aclaración preventiva: personalmente, preferiría que esta tarea corriera a cargo de un organismo público correctamente diseñado.

Mi opinión: un bachillerato dirigido a preparar un examen como el que muestra el libro me parece un bachillerato muy bien dirigido. Dicho de otra forma: creo que un alumno que sabe contestar las cuestiones y problemas que se muestran está preparado para comenzar sus estudios universitarios con las debidas garantías.

Currículos: un ejemplo para comparar

No es fácil hacer una comparación directa entre nuestro currículo de la ESO y el de los años correspondientes de Singapur, porque el suyo tiene más variantes. El currículo completo se puede ver aquí. El nivel N (creo que el más extendido) tiene dos variantes, la académica y la técnica. Hay además un nivel O, de excelencia. No es este el propósito de esta entrada, pero quiero dejar claro que establecer itinerarios ya al final de los 6 años de primaria me parece muy precipitado. Se puede debatir si el momento es tras el 8º curso, el 9º o el 10º, pero hacerlo tras el 6º año no me parece lo deseable.

Creo que merece la pena aclararlo porque los libros de los que he sacado los ejemplos que voy a mostrar corresponden a la opción normal (N), variante académica. Para tener una visión general de los contenidos de los textos, los índices de los 4 volúmenes están aquí. Lo que he hecho ha sido escanear la parte de gráficas de funciones en los cursos en que se trata (2º, 3º y 4º) para así tener una idea global del tratamiento del tema a lo largo de la etapa. Hablo desde fuera, y me gustaría escuchar las opiniones de los que tenéis experiencia en nuestra ESO, pero creo que hay diferencias muy llamativas. Es verdad que no sabemos cuánto tiempo se le dedica en clase, pero bajo la razonable hipótesis de que es proporcional a su extensión en el libro, a mi me salen unos números que seguro que son la envida de más de uno. ¿No resulta sorprendente que nuestros textos, en una etapa con una educación comprensiva, tengan mucho más contenido que los textos correspondientes a la versión académica de Singapur, con una educación ya diferenciada en esta etapa?

Los libros de Singapur (I)

Hace unas semanas pepvidal preguntó en un comentario sobre los libros de Singapur, y cómo presentan las matemáticas escolares. Espero que lleguen pronto entradas con ejemplos de secuencias didácticas para introducir algunos conceptos, de esos clave. Hoy quiero hablar de otro detalle, quizá más sencillo, pero que me parece que en general en los textos españoles no está bien resuelto.

En las imágenes siguientes se puede ver dos ejemplos de ejercicios sobre el número de tres cifras. Evidentemente, se trata sólo de un ejemplo, pero lo he elegido porque creo que es bastante representativo de un patrón general. Por un lado, la representación de las centenas, decenas y unidades que se hace en el ejemplo de Singapur me parece mucho mejor, pero hay otro detalle quizá más sutil pero que es justo sobre lo que quería escribir hoy. En el ejemplo español los cuatro casos son exactamente iguales. El alumno puede rellenar los tres que le tocan por simple imitación, sin entender absolutamente nada de la idea que se pretende transmitir. De esta manera se supone que se pretende automatizar el proceso, pero el problema de automatizar sin entender es que los automatismos se pueden perder y entonces queda … nada. En el caso del libro de Singapur, los ejemplos sin unidades y sin decenas, que supongo que aquí se opina que introducen una dificultad excesiva, lo que hacen es, desde mi punto de vista, ayudar a la comprensión del concepto.

La situación es, de hecho, peor si nos centramos en los problemas. En el ejemplo, unos problemas del tema de las sumas, de un libro de 2º de primaria. De nuevo, creo que el ejemplo es basntante representativo, al menos si nos centramos en las editoriales mayoritarias. Los tres problemas se reducen a lo mismo: sumar los números que aparecen en el texto. Hasta tenemos el formato para la suma incorporado, de manera que el niño no tiene ni que molestarse en pensar cuántos números tiene que sumar. Que los niños no se molesten en leer el enunciado me parece una consecuencia lógica de este planteamiento. Y cuando en algún momento necesitan leer los enunciados … no los entienden. (Un comentario accesorio: algún maestro me ha comentado que, encima, los dibujos quedarán bonitos, pero confunden, porque el número de cometas del dibujo no coincide con el texto).

El siguiente es el ejemplo del texto de Singapur. Desde luego, mucho más sobrio estéticamente. Algunos pensamos que eso puede ayudar a que la atención del alumno se centre en las matemáticas. Por supuesto, es muy enriquecedor hacer a veces proyectos, o combinar actividades con contenido de arte y matemáticas, y muchas otras cosas. Pero, de vez en cuando, también es conveniente centrarse en las matemáticas. En cuanto al contenido, la diferencia más importante es que, desde muy pronto, los enunciados de los problemas son más variados, y de nuevo eso ayuda a la comprensión.

Un comentario final: no es que los libros de Singapur me parezcan perfectos. De hecho, en este último aspecto creo que se quedan bastante cortos, y que se podría ser mucho más audaz en el tema concreto de la resolución de problemas. De nuevo, ya he podido confirmar en la práctica algo que hasta ahora sólo era una intuición. La semana pasada animé a un profesor de 1º de Primaria a que propusiera en clase el siguiente problema:

Luis ha llevado 4 caramelos al colegio, su amigo Juan el doble, y su amiga Marta tiene 3 caramelos. En el recreo se juntan con sus amigos Jaime y Belén, que no tienen caramelos, y deciden repatirlos entre todos. ¿Cuántos caramelos se comerá cada niño?

Con total seguridad, este era el primer problema al que se enfrentaban la mayoría de los niños, y los resultados fueron estupendos. Por supuesto, la mayoría encontró dificultades, preguntaron, y dudaron. Exploraron ideas nuevas. Algunos necesitaron ayuda para asimilar la idea de doble, y todos tuvieron que idear estrategias de reparto, porque por supuesto no conocían el algoritmo de la división. Desde mi punto de vista, una sesión semanal de 30 minutos dedicada a resolver auténticos problemas (y ya desde el primer curso de primaria) tendría efectos enormemente positivos en la formación matemática.

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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