Una de las primeras entradas de este blog estuvo dedicada a las tablas de multiplicar. Creo que es momento de revisar el tema, dando un paso atrás, y pensando en cómo introducir la multiplicación. En la figura vemos unos ejemplos de cómo se introduce en un par de libros de texto (si la calidad de la imagen no es suficiente, haciendo click en ella se resuelve el problema). Son dos ejemplos de las editoriales dominantes, pero todas las que he visto (aunque el estudio no ha sido exhaustivo) siguen un enfoque similar.
Respecto del comienzo, nada que objetar. La multiplicación no es más que un atajo para hacer una suma donde el sumando se repite, y tengo claro que esa es la idea adecuada para introducirla a un niño en primaria. El problema es cuando la suma 2+2+2+2+2=10 se traduce como 2 x 5 = 10. Lo que estamos escribiendo aquí es «dos por cinco», como abreviatura de «dos multiplicado por cinco»; por supuesto, todo es correcto; 5 es el multiplicador, y cuenta el número de veces que se repite el multiplicando, en este caso el 2. El problema es que estamos dando un salto en el vacío, y es complicado que el niño establezca la conexión entre 2+2+2+2+2=10 y 2 x 5 = 10 que se supone que se está usando en la figura para definir la multiplicación. Si el concepto de multiplicación se introduce a partir de sumas repetidas (y, por tanto, de «veces») el multiplicador debería ser el primer factor. Aunque multiplicando y multiplicador me parecen términos prescindibles, sobre todo al principio. Me parece mucho más adecuado traducir la suma 2+2+2+2+2 como 5 x 2, y leer «cinco veces dos». Es verdad que también se podría interpretar 2 x 5 como «dos cinco veces», y eso arreglaría el problema, pero las ventajas de que la palabra por y la palabra veces sean intercambiables me parecen evidentes. En este punto, las matemáticas dependen fuertemente del idioma, y no tengo idea de cuál será el enfoque más extendido en el mundo. Pero en la búsqueda que he hecho en los idiomas más hablados de Europa occidental, sólo los italianos nos acompañan en el uso del «por»: los ingleses usan «times» (con alguna variación que comentaré luego: a veces leen 2 x 3 como «two threes»), los franceses «fois» y los alemanes «mal», exactamente los equivalentes al castellano «veces».
La cosa se complica un poco más cuando damos el siguiente paso y llegamos a las tablas de multiplicar. Lo natural, me parece, es plantear la tabla del 2 como «contar de 2 en 2» pero, como ya comenté en la entrada sobre las tablas, eso obliga a que, en la tabla del 2, el 2 aparezca en segundo lugar. Y aquí la confusión parece que ya es total.
Tampoco me convence el enfoque de mis casi siempre admirados libros de Singapur. En la siguiente figura he reunido algunos ejemplos del proceso. Las dos figuras de la primera fila corresponden a la introducción al final de 1º. Claramente, a partir del concepto veces, y escribiendo 4 veces 2 como 4 x 2. La segunda fila son ejemplos del libro de 2º, donde se empieza a escribir «multiply by». No me convence la introducción de la propiedad conmutativa que contienen. El misterio se aclara cuando uno avanza en el libro, y llega a las últimas figuras. La «prisa» en introducir de esa forma la propiedad conmutativa está ocasionada por la introducción de la tabla del 2, Supongo que todo es posible si uno le dedica el suficiente tiempo, pero no me convence demasiado esa idea de introducir «las dos tablas del 2» a la vez (aparecen en páginas consecutivas del libro).
He pasado algún rato haciendo una exploración (nada sistemática) en youtube, para los casos del inglés, francés y alemán, que usan el equivalente a «veces». Estos han sido los resultados:
En inglés, los ejemplos que he visto que usan «times», son como este (el 2 en primer lugar). Parece que, en un intento de arreglar este tema, ha surgido una nueva versión, en la que la tabla del 2 es «dos doses, tres doses, cuatro doses …». En estos casos, como aquí, el 2 aparece en segundo lugar. Esto no deja de ser curioso, porque en el lenguaje usual las expresiones «two threes» y «two times three» significan, me parece, exactamente lo mismo. También he visto un ejemplo peculiar, donde el dos aparece en primer lugar, pero no usan times.
Los 3 ó 4 ejemplos que he visto en francés son como este. La tabla del 2 es «2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3 …». En alemán, todos los ejemplos que he visto son como éste, con el 2 en segundo lugar. Parece que aquí hacen honor al tópico de «sistemáticos». Si algún lector quiere ponerlo a prueba, el término a perseguir es «einmaleins tabelle».
Me resulta muy llamativa la enorme variedad de alternativas, y eso limitándome a los idiomas más cercanos. Si algún lector tiene conocimientos de chino, o japonés, me encantaría saber qué opciones toman esos idiomas. (Y una petición a mis lectores hispanoamericanos: ¿cuál es la situación en sus países?)
Mi propuesta es clara: deberíamos movernos a «veces», o al menos usar «por» y «veces» indistintamente, olvidándonos del multiplicando, multiplicador, y demás. ¿Qué aporta esa terminología? Y, claro, cambiar el orden de las tablas, diciendo la tabla del 2 como 1 vez 2, 2 veces 2, etc. Eso ayudaría a ver la tabla del 2 como «contar de 2 en 2», y creo que facilitaría su aprendizaje. Como ya comenté en la entrada sobre las tablas de multiplicar, su correcto aprendizaje me parece imprescindible. Otra cosa, por supuesto, es que se debería trabajar con más calma, sin pretender la memorización precipitada.
Pero parece muy complicado encontrar un colegio que se atreva a experimentar con este cambio. Una dificultad añadida es que hay que coordinar dos ciclos, porque se empieza con la multiplicación en 2º, y se continúa en 3º. Si algún lector se anima, o conoce algún colegio donde se podría intentar, estaría muy interesado en recibir noticias, o en implicarme en la experiencia. Para ayudar, aquí están estas otras tablas de multiplicar. El orden intenta ser el de dificultad de aprendizaje. No conozco ningún trabajo en ese sentido, así que es sólo una conjetura personal.
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Sin cambiar el orden actual, la tabla del 2 puede ser:
2 por 1 vez = 2
2 por 2 veces = 4
2 por 3 veces = 6
…
El problema es que «2 por 1 vez» no es una frase sintácticamente correcta.
¿Forzar las cosas sólo para no cambiar el orden? Creo que es importante darse cuenta de que estamos acostumbrados a un orden, es cierto, pero que es muy sencillo cambiarlo. No está prescrito en ningún sitio.
@hiitsmeandrea tuiteó: y qué tal 2+2+2+2+2=5×2=»cinco doses», sin darle ningún nombre al símbolo «x»? A mi primo por lo menos le gusta así 🙂
Cinco doses me parece una buena opción. Mejor, desde luego, que escribir 2+2+2+2+2 como 2×5. Pero si tengo que elegir, me quedaría con veces. No le veo ningún inconveniente: es intuitivo y sintácticamente (desde el punto de vista lingüistico) impecable.
Si tenemos 5 platos con 2 naranjas cada uno, tenemos 5 veces 2 naranjas …
Sí, yo también me quedo con «veces» de entre todas las opciones por lo que dices: es sintácticamente perfecto y muy intuitivo al tener cada número y cada símbolo una palabra asociada.
El decir «cinco doses» sí que he visto que resulta un tanto divertido (será porque suena raro e intrigante) y más aún cuando se descubre que es lo mismo que «dos cincos»…
Por cosas de la vida llegue a este blog por el post anterior del 2012, estoy desde el dispositivo móvil y se me dificulta leerlo completo, dejo este comentario para suscribirme y leerlo luego.
Interesante las explicaciones que nos brindas y personalmente me parece que el termino «veces» es mas intuitivo.
Deseo comentar una experiencia con mi hija de 4 años y 4 meses, hace 3 semanas. Ella al mirar un conjunto de pepelmas (azulejos pequeños) de 3 cuadrados en 4 filas los contó y me dijo son 12, pero después de observar detenidamente me dijo sorprendida:…»mami 12 es 4 tres», a lo que yo le respondí si hijita 12 es cuatro veces 3. Luego continuó su observación y al voltear el conjunto de pepelmas que tenía me dijo y 12 también es 3 veces 4. Se podría decir que ella «lo dedujo con su observación». Me gustaría precisar que soy una madre que le encanta acompañar a su hija en su aprendizaje y además me encanta las matemáticas.
Muchas gracias por el comentario. Me parece precioso, y completamente pertinente. Un ejemplo perfecto de cómo acompañar a los niños en sus descubrimientos suele ser la mejor forma de que entiendan las cosas. Para eso, claro, el maestro debe entender las matemáticas de la forma adecuada, y estar muy dispuesto a escuchar.
Y también de acuerdo: cuanto más lo pienso, a raíz de escribir esta entrada y de vuestros comentarios, más convencido estoy de lo adecuado del término «veces».
Menos mal que alguien, por fin, ha dado con la clave del asunto: entender la multiplicación como cálculo de áreas lo explica todo. Todo lo demás me parece marear la perdiz…
Acabo de encontrar tu blog, confieso que aún apenas lo he leído, pero ya que va de multiplicaciones aprovecho para contaros que tengo una niña de primaria que está en esta faena, yo le he enseñado las tablas del 11 y del 0 (me salgo de la lista convencional del 2 al 9 o 10) y para ella la del 11 está entre las fáciles
Muchas gracias por el comentario. Por supuesto, la receta para la tabla del 11 es fácil, muy fácil. 8 x 11 = 88, etc.
Mi pregunta es: ¿qué es más útil, aprender esa receta, o usar que 11 x 8 = 80 + 8?
Ya sé que en este segundo caso he cambiado el orden, pero cuando un niño llega a la tabla del 11, la propiedad conmutativa debería ser ya una herramienta básica, entendida. Y la ventaja de este segundo enfoque es que también se puede hacer 11 x 17 = 170 + 17 y, aún más importante, saber que 11 x 2823 es, apoximadamente, 31000.
Las tablas del 2 al 9 son una herramienta básica, los ladrillos del cálculo, y hay que aprendérselas. Pero, a partir de ellas, se debería recurrir al argumento, y no tanto al aprendizaje mecánico, por sencillo que sea.
Una pregunta que me interesa mucho: ¿cuál es la reacción de tu hija ante la tabla del 0? ¿Le has preguntado sobre qué sentido le ve, si la entiende, o para qué cree que sirve?
Varias veces me he pasado por este post con intención de comentar, pero al final me convencí de que no tenía gran cosa que aportar.
Pero hoy al leer vuestro diálogo recordé una noticia de este verano en el Reino Unido:
Michael Gove brings back 12 times tables in new curriculum
No solo el titular es interesante, hay varias afirmaciones polémicas.
Muchas gracias por la referencia. En efecto, interesante para comprobar que no estamos solos en estas polémicas. Este me parece el gran problema actual en varios países: el nivel educativo se ha deteriorado, debemos recuperar viejos enfoques. Enfaticemos las tablas hasta el 12, o la lectura de Dickens.
Sobre las tablas: no tengo idea de dónde viene esa tradición anglosajona, pero no le veo ningún sentido a esa insistencia en llegar hasta el 12. Me parece mucho más formativo saber que 12 x 7 = 70 + 14 que haber memorizado la tabla del 12.
Lo llamativo es que dicen que necesitan «skills such as essay writing, problem-solving, mathematical knowledge and computer programming». Es posible que lo que dice el artículo sobrre las tablas, o sobre las fracciones, sea simplificación del periodista. Me parecería increíble que la reforma estuviera tan desorientada.
Creo que el problema con la asignatura de Lengua es parecido. Es urgente mejorar la comprensión lectora y la capacidad de expresión oral y escrita de nuestros alumnos. Pero creo que la forma de conseguir eso no es «volver a los clásicos». Insistir a estas alturas en la lectura de El Quijote en 3º de la ESO (mi hija tuvo ese encargo el curso anterior) me parece un desatino. Habría que seleccionar textos – bien escritos, desde luego – pero que tuvieran más posibilidades de conectar con los alumnos. Y, desde luego, practicar mucho más la expresión oral y escrita.
Vuelvo a este post porque estaba buscando recursos para motivar al peque (2o Primaria) a repasar los temas de multiplicación y división para el examen de mañana. He ido a la Khan Academy por vez primera a algo que no era curiosear, sino a por material concreto. Mi sorpresa (o no) ha sido cuando en el instante 1:56 (después de repasar la suma) en https://www.khanacademy.org/math/arithmetic/multiplication-division/multiplication_fun/v/basic-multiplication convierte un «2 times 3» en 2+2+2. En el minuto 3, insiste en que esto de multiplicar es «confusing» por segunda vez (lo que creo que no hace más que desanimar al oyente) para introducir la conmutativa y hacer 3+3. Descarto la Khan y busco en lasmatematicas.es donde encuentro un video http://www.youtube.com/watch?v=3thObvxiaOI sobre cómo dividir 580583 entre 89. Descartado también 😦 Navego por youtube y el siguiente que veo con buena pinta, afirma que hay que empezar por la tabla del cero (!).
Creo que me toca tarde de contar baldosas en el salón y repartir caramelos con un mocoso que insista cada diez minutos: «¿puedo ya jugar con el ordenador?» 😦
Vistazo rápido al vídeo de la Khan: deprimente … Cada vez que veo un poco termino pensando que su éxito es una prueba de lo mal que está la enseñanza de las matemáticas básicas. Me asalta una duda: ¿qué significa «two times three» para un angloparlante que no tenga idea de matemáticas? ¿No es exacamente equivalente a «dos veces tres»?
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Francamente, viendo las banalidades (por no utilizar otra expresión más explícita) sobre las que discuten los «expertos», no me extraña que el nivel educativo en nuestras escuelas sea tan lamentable…
Todo es opinable, desde luego, pero no creo que los fundamentos del aprendizaje matemático a los 6-7 años sean banalidades.
La realidad es la que es: España a los 9-10 años está a la cola de Europa en conocimientos matemáticos según la prueba más respetada internacionalmente: https://masideas-menoscuentas.com/2012/12/12/timss-2011-espana-de-mal-en-peor/
Cuando uno se molesta en mirar qué hacen otros países con mejores resultados, se encuentra con «detalles banales» como ese (y otros muchos). ¿Quizá no sean tan banales?
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Yo como profesor al plantearme introducir el algoritmo de la multipicación, empece por leer un cuento «eL jarrón mágico» , en el que se plantea un problema que mis alumnos resolvieron con sumas sucesivas de sumandos iguales y aparecio en su lenguaje
la palabra veces. Al finalizar, despues de ejrcitar varias veces esta palabra les dije a esto los mayores le llaman multipicar.
El cuento empieza diciendo:
En una isla hay dos montañas, en cada montaña hay tres pueblos, en cada pueblo hay cuatro casas en cada casa 5 habitaciones ………………………. ¿Cuántos jarrones había en la isla»
Fue un trabajo de una semana a finales de 2º de Primaria. Una
experienza emocionante para los alumnos y para mi por la implicación en un reto que parecia imposible.
Muchas gracias por el comentario. La moraleja me parece clara: se puede trabajar la multiplicación como suma repetida sin ningún problema. Las dificultades pueden aparecer cuando se avanza en la dirección de memorizar tablas, algoritmos, etc, sin detenerse lo suficiente en la comprensión.
Hola Pedro. Felicitarte por todo los materiales. En mi colegio de Tenerife (CEIP Isaac de Vega) trabajamos las mate OAOA y, por supuesto, en ellas las tablas como concepto de «veces». Se trabaja así desde infantil hasta sexto sin problema. Mil veces más efectivo (hablando de veces jeje). Cualquier cosa contactamos por mail.
marcosmarrerocardenas@gmail.com
Muchas gracias, Marcos. He coincidido alguna vez con Tony Martín, y claro que estamos de acuerdo en muchas cosas.
Lo frustrante es que esté constando tanto que estas ideas rompan la inercia del sistema.
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