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La formación matemática de los futuros maestros (I)

Seguramente hoy voy a meterme en un jardín, pero creo que es un jardín que un blog como este, que tiene como una de sus banderas principales que la solución al problema de la enseñanza de las matemáticas debe empezar por la enseñanza primaria, debe visitar.

Lo que más me llamó la atención cuando entré en este mundo (el de los formadores de profesores), es que estamos muy lejos de una respuesta consensuada a la pregunta: ¿qué formación matemática necesita un futuro profesor de primaria? En los debates que he oído y leído al respecto, todo el mundo está de acuerdo en estos dos aspectos:

  • la formación matemática de los estudiantes que ingresan en las escuelas de magisterio y facultades de educación es, en demasiados casos, muy pobre.
  • el tiempo que le dedican a las matemáticas los planes de estudio vigentes es demasiado escaso.

Desde luego, estoy completamente de acuerdo con estos dos puntos, y creo que cualquier medida que los corrigiera sería positiva, pero también creo que esta situación hace más relevante la pregunta: ¿a qué matemáticas le dedicamos el escaso tiempo disponible? Parece que el grueso del debate gira alrededor del binomio contenidos-metodología (aunque desde luego también es importante precisar qué contenidos y qué metodología). No voy a esquivar ese debate, pero tendrá que esperar unas semanas. Quiero escribir sobre ello con cuidado y el resto de este mes estoy desbordado con mis tareas docentes.

Recientemente se ha publicado el informe de un estudio internacional – el TEDS-M – que es imprescindible en este debate. El objetivo del estudio TEDS-M, que arrancó hace 4 años, era justamente valorar la formación matemática de los futuros profesores. El estudio internacional era tanto para profesores de primaria como de secundaria, aunque España sólo participó en la parte de primaria, supongo que porque en los años en que se desarrolló el  estudio era muy problemático acceder a la población de los futuros profesores de secundaria (el estudio de primaria se hizo sobre los estudiantes del último curso de magisterio; supongo que si el estudio se hubiera hecho en la actualidad, se podría haber recurrido a los estudiantes del máster de formación del profesorado para la secundaria).

Por fin se ha publicado el  informe español sobre el estudio. Es un informe extenso (150 páginas), y creo que es ahora mismo la mejor fuente de información sobre la situación de nuestros futuros profesores de primaria. Voy a terminar esta entrada con algunas de las cosas que más me han llamado la atención.

  • en las páginas 90 y 91 pueden verse algunas de las preguntas propuestas. Se preguntaba tanto por contenidos como por conocimientos didácticos.
  • en la valoración de los programas de los distintos centros que participaron en el estudio (la gran mayoría de los públicos, y algunos privados) se incide en qué porcentaje de una amplia lista de contenidos se cubren. Este me parece un error persistente en los programas españoles. Optamos siempre por la cantidad, en lugar de por la calidad. Si estuviera en mis manos, tomaría la decisión de eliminar la mitad de los contenidos de todos los programas (evidentemente, habría que elegir con cuidado qué mitad preservar). De esta forma, sería posible detenerse en los contenidos más relevantes el tiempo mínimo necesario para que se produzca un auténtico aprendizaje.
  • de entre los 14 países participantes en el estudio, en España es donde el profesorado de las áreas de pedagogía tiene mayor presencia, el 76.1% (pag. 121). Que no haya lugar a equívocos: es evidente que los contenidos pedagógicos son esenciales en magisterio. Sin embargo, se debe encontrar un equilibrio entre los contenidos de pedagogía y el resto. Según el estudio, en España el predominio de los contenidos de pedagogía es mayor que en ningún otro país participante.

Un último comentario por hoy: en este enlace se puede encontrar información sobre el estudio internacional. Una de las cosas que más me ha llamado la atención en él es la gran varieadad de propuestas que existen en el mundo para formar al profesorado de enseñanza preuniversitaria. En estos tiempos, en que la información se mueve tanto y tan deprisa, ¿no debería ser más sencillo averiguar qué sistemas están funcionando mejor?

Cuentas sin sentido

Me había prometido no incluir en este blog ejemplos de lo mal que están algunas cosas. Creo que todos somos conscientes de ello, y prefiero escribir en positivo. Sin embargo, en un mismo día de esta semana he visto dos cosas que me han dejado perplejo, y  creo que son ejemplos perfectos de hasta qué punto estamos rodeados de cuentas sin sentido.

En mi clase de Matemáticas para maestros les propuse el siguiente problema: «Si ahora son las 8 de la tarde, ¿qué hora era hace 2500 horas?». Cerca de la mitad de la clase no sabía cómo hacerlo. Insisto: no tengo queja de su motivación; lo intentaron, pero no sabían hacerlo. Pero lo que más me sorprendió es que cuando expuse la solución, a partir de la igualdad 2500 = 104 \times 24 + 4 aún había una cantidad significativa de alumnos, digamos que alrededor del 10%, que no entendían la solución, y con los que tuve que recurrir a ejemplos más sencillos, como tomar 28 horas, etc. Estoy seguro de que en su formación habían hecho decenas (posiblemente centenares) de divisiones, pero no entendían la idea básica de división.

Ese mismo día, al llegar a casa, mi hija mayor me cuenta que está estudiando los logaritmos. Está en 4º de ESO (para los lectores que no conozcan el sistema educativo español, se trata del 10º curso de la educación obligatoria). La verdad es que hasta ahora no había pensado en los logaritmos (lo pongo en la lista), así que no tengo mucho que decir acerca de cómo creo que se deberían tratar, pero creo que todos hemos escuchado la palabra en boca de gente «de letras» cuando quieren expresar lo esotérico e incomprensible de las matemáticas que estudiaron al final de la educación obligatoria. Mi hija no tenía mayores problemas con el tema, sólo quería enseñarme lo raras que eran algunas cuentas que estaba haciendo. Aquí están escaneadas las dos a las que les daría los primeros premios en el concurso:

Otra cosa que me llamó poderosamente la atención de su cuaderno es que tenía una lista de ¡7! propiedades de los logaritmos. La primera decía: «El logaritmo de la base elevada a una potencia es la potencia». Preferí no seguir leyendo …

Como digo, no tengo una propuesta clara sobre el tema, así que voy a terminar con las dos primeras observaciones que se me ocurren:

  1. Una vez más, la interdisciplinariedad es clave. Es la primera vez que estudian los logaritmos, pero para algunos será la última, y hablar ya en esta ocasión de los decibelios, o el pH, o la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos,  es imprescindible para que el tema tenga algún sentido.
  2. La idea matemática fundamental es, desde luego, que el logaritmo es la inversa de la función exponencial.

A partir de aquí, la observación es la general: ¿qué queremos conseguir cuando les ponemos a hacer cuentas?

¿Por qué soy mejor profesor en magisterio …

… que cuando daba clases en Ingeniería de Telecomunicación o en Ingeniería Informática?

Creo que tengo suficientes indicios para dar por esto por cierto. Aunque el hecho en sí  no tiene mayor relevancia, creo  que mis reflexiones sobre el porqué sí pueden tener cierto interés general. Básicamente veo dos razones, la primera tiene que ver conmigo, y la segunda con mis alumos.

  1. Tengo una visión completa y coherente de las matemáticas que quiero enseñar a los estudiantes de magisterio. Ojo: no estoy diciendo que mi visión sea la única posible, ni siquiera que sea la mejor. Sólo digo que puedo defender que es completa y coherente.
    No es que no me preocupara este tema cuando daba clases a futuros ingenieros. Dediqué más de un rato a pensar sobre el tema de qué matemáticas necesita un ingeniero, y cómo enseñárselas. Pero nunca tuve, ni de lejos, la visión global que ahora tengo sobre las matemáticas que necesita un futuro maestro.
  2. Mis estudiantes son conscientes, desde el primer momento, de que necesitan aprender matemáticas. En muchos casos, simplemente no conocen los conceptos básicos. En otros, aún cuando sepan lo suficiente para desenvolverse como alumnos, es relativamente fácil ponerles en situaciones que dejan claro que no dominan los conceptos al nivel suficiente para reaccionar de forma coherente en situaciones comunes en las matemáticas de primaria.
    Por supuesto, este apartado está relacionado con el anterior. Que yo tenga una perspectiva global de las matemáticas que necesita un maestro, y para qué las necesita,  me facilita enormemente la tarea de convencerles de que necesitan aprender matemáticas.

Ejercicios y problemas

La última entrada me dejó un sabor agridulce, no sé si me expliqué bien. Pero no voy a cometer el error de volver sobre el tema. Prefiero escribir sobre matemáticas, que creo que es lo que se me da un poco mejor.

No voy a entrar en profundas disquisiciones de qué es un ejercicio y qué es un problema. Para lo que quiero decir es suficiente esta idea:

  • un ejercicio es una tarea rutinaria, que se puede resolver limitándose a reproducir o imitar técnicas o procedimientos ya vistos.
  • un problema es una tarea que requiere, para su resolución, de algún tipo de actividad creativa:  bien porque es necesario adaptar una técnica conocida, bien porque hace falta combinar de una forma nueva algunos hechos conocidos.

Para un buen aprendizaje matemático es imprescidible hacer cierta cantidad de ejercicios. Creo que en eso estaremos todos de acuerdo. Pero también hace falta que los alumnos se enfrenten de forma regular al reto que supone la resolución de problemas, y creo que este aspecto no se está trabajando lo suficiente. Salvo honrosas excepciones, los estudiantes atraviesan nuestro sistema educativo sin enfrentarse a la resolución de problemas. Creo que esto lo pueden corroborar todos los profesores de primer curso de universidad, que ante la propuesta de un problema sólo encuentran, en buena parte de la clase, la reacción casi automática «no sé hacerlo».  Vencer ese horror al «papel en blanco» es tanto más difícil cuanto más tarde se intente y, como en tantos otros aspectos, cuanto antes empecemos mejor. La buena noticia es que es relativamente sencillo proponer auténticos problemas en los primeros cursos de la enseñanza primaria. Es suficiente con proponer problemas de suma o resta, o de reparto, antes de haber introducido los algoritmos correspondientes, tal y como se hace, por ejemplo, en Holanda, según comentaba en una de mis primeras entradas.

Para un niño de 6 años al que se le acaba de introducir en la notación posicional, con el número de dos cifras, la pregunta: «Tengo 36 cromos, y los quiero repartir por igual entre mis dos amigos. ¿Cuántos cromos debo dar a cada uno?» reúne, claramente, todos los requisitos de un buen problema.

Una de las tareas más difíciles, y más importantes, de un buen docente, es ser capaz de proporcionar algún tipo de ayuda a un alumno que está intentando resolver un problema, sin desvelarle más de lo necesario.

No es sencillo proponer un buen problema: no debe ser ni muy sencillo ni muy difícil, lo ideal es que tenga alguna relación con el entorno o que interpele de alguna forma al alumno, o que presente un resultado llamativo. Por ello, una buena colección de problemas es un auténtico tesoro. Me ofrezco desde aquí a arrancar un repositorio de «buenos problemas», para todos los niveles del sistema educativo, y que podrían ser votados por los usuarios.

Y para romper el hielo, aquí va el primero, mi favorito desde que lo descubrí (siento omitir la cita, pero he olvidado donde lo vi, hasta he olvidado cuál era exactamente la versión del problema que vi). Yo diría que es adecuado para el final de la primaria o el principio de la secundaria.

  • Supongamos que la humanidad se pone en fila india. ¿Cuántas veces daría la vuelta a la tierra esa fila india?

No, no he olvidado ningún dato. Parte del problema es que piensen qué datos necesitan, que aprendan a hacer aproximaciones y que hagan suposiciones razonables (como la distancia entre las personas de la fila). Por supuesto, esto obliga a que el problema se resuelva en una sala con algún ordenador, o a que se proponga en la parte final de la clase, se trabaje la parte de ¿qué datos necesito? y se resuelva al día siguiente con los datos obtenidos en casa. El problema tiene dos partes más:

  • Ahora supongamos que toda la humanidad viene a la Comunidad de Madrid -vivo en Madrid, pero este dato es fácilmente generalizable 🙂 -. ¿Cabríamos? ¿Cuánto espacio le tocaría a cada persona?

Y por último (puede ser un poco siniestro, lo sé, pero el resultado merece la pena):

  • El doctor No dispone de un terreno en forma de cuadrado de 1 km de lado, y en él quiere hacer una fosa común donde enterrar a toda la humanidad. ¿De qué profundidad debe hacer la fosa?
    Una alternativa más poética, pero quizá más difícil de entender por un alumno: ¿cuál es el volumen de la humanidad?

Una petición: si alguien se anima a llevar al aula este problema, o cualquier propuesta que aparezca en estas páginas, estaré encantado de recibir algo de feedback, bien con un simple comentario, o con más detalle en mi correo electrónico, que se puede encontrar aquí.

Una última cosa por hoy: en este enlace dejo una copia de las tareas del tema «El área del triángulo», del curso correspondiente a 5º de Primaria, de unos  textos que he descubierto hace poco. Creo que tiene un diseño estupendo, con una gradación perfecta, empezando por sencillos ejercicios, y avanzando de forma gradual, para terminar en auténticos problemas. Compararlo con todos los textos españoles que han caído en mis manos me ha dado bastante en qué pensar.

¿Por qué este blog?

Después de haber escrito una entrada sobre cada nivel educativo (con excepción de la etapa de Infantil -espero atreverme a escribir algo sobre la educación infantil en un futuro próximo), creo que tiene sentido poner en limpio, tanto para los lectores como para mi mismo, las razones que me animan a seguir con este proyecto.

En primer lugar, no conozco ningún blog con este enfoque. Por supuesto, hay estupendos materiales de divulgación matemática (varios de ellos en la lista de enlaces de la derecha) y creo que hacen una labor estupenda. Sin embargo, mucha de la divulgación es algo así como «tratamiento sintomático»: las matemáticas académicas son aburridas e inútiles, vamos a presentar otros materiales que sean más divertidos y que nos permitan que algunos niños le cojan algo de gusto a las matemáticas. Repito: creo que la labor es útil, y que con que tenga éxito con un pequeño porcentaje de niños, estará totalmente justificada. Sin embargo, también creo que algo tendría que intentar hacerse para intentar arreglar el problema de fondo, el que las matemáticas académicas sean aburridas e inútiles.

Las medidas están claras: mejorar la formación del profesorado, reformar los planes de estudio, aumentar la valoración social de las matemáticas, y quizá alguna cosa más. Bueno, estoy de acuerdo, y me pondría a ello si fuera Ministro de Educación. Pero también creo que desde una posición un poco más modesta, se pueden sugerir algunos pequeños cambios en la buena dirección. Unos cambios que intenten paliar los problemas de aprendizaje que se detectan en las aulas, y expuestos de manera que sean fácilmente accesibles para los profesores interesados.

Espero que el contenido de futuros posts termine de aclarar estas ideas.

El Teorema de Bolzano

Para cumplir con el compromiso de cubrir en este blog los tres ciclos educativos, le dedicaré esta entrada a un tema de las matemáticas a nivel universitario. Y empezaré con una aclaración. A pesar de haber estado la mayor parte del tiempo dando clases a estudiantes de ingeniería (17 de un total de  20 años) debo reconocer que en este nivel mis ideas están menos claras que en lo que respecta a las matemáticas de la enseñanza primaria y la secundaria. Y creo que la razón es la siguiente: tengo una idea bastante clara de qué matemáticas debería conocer un estudiante que termina primaria y secundaria (y cómo se le deberían contar para que las haya entendido y pueda ponerlas en práctica). Sin embargo, no tengo tan claro qué matemáticas debe conocer, y cómo debe utilizarlas, un químico, un ingeniero de telecomunicación, un informático …

Por supuesto, alguna idea sí tengo en particular sobre las dos titulaciones en las que he pasado más tiempo (Ingeniería de Telecomunicación e Ingeniería Informática). Pero aún en estos casos, no es sencillo conseguir la visión general adecuada.

En todo caso, mi objetivo en este post es tratar un problema más general. Una actitud muy extendida entre los matemáticos es la siguiente: las matemáticas tienen un valor formativo intrínseco. Por tanto, si se le explican matemáticas a un ingeniero, la «estructura mental» que adquiere durante el estudio es muy útil, y esto justifica por sí solo el estudio de esta materia.

Estoy totalmente de acuerdo con esta última frase, pero en mi opinión el razonamiento es incompleto: las matemáticas serán útiles a los alumnos que las hayan entendido. Si por culpa de que los contenidos no son adecuados para la titulación, o no sabemos convencer a los alumnos de que, en efecto, sí son adecuados, o los presentamos de forma demasiado abstracta, será difícil que los estudiantes capten el valor del aprendizaje de las matemáticas. El resultado será seguramente que sólo un pequeño porcentaje de alumnos – quizá los que tengan más gusto por las matemáticas – disfrutará de las ventajas mencionadas en el párrafo anterior.

Un ejemplo concreto, para terminar (y justificar el título del post). Hace 10 años explicaba Cálculo I a estudiantes de Ingeniería de Telecomunicación, y me parecía que demostrar el Teorema de Bolzano era esencial. Encontré hace poco una cita de Henri Poincarè, y creo que en ella se explicita muy bien el problema. La traducción es mía y la cita está tomada de esta página de Morris Kline.

«Cuando un alumno empieza a estudiar matemáticas en la Universidad, tiene un concepto de fracción, una idea de continuidad, y del área de una superficie curva; considera evidente, por ejemplo, que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Si el profesor le dice: «No, eso no es evidente; debemos demostrarlo», ¿qué pensará el infortunado estudiante? Pensará que las matemáticas son sólo una acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; quizá le disgustará, o quizá se divertirá con ello, como con un juego, y llegará a un estado mental análogo al de los sofistas griegos. ¿Se puede entender una teoría si se construye desde el principio en la forma definitiva que impone el rigor lógico? No, no puede entenderse, sólo se aprende de memoria.»

Presentación

Llevo 20 años dedicado a la enseñanza de las matemáticas. Durante los últimos cursos me he dedicado a la formación de futuros profesores, tanto de primaria como de secundaria, y esto me ha permitido tomar contacto con esos niveles educativos. Me atrevo a decir que tengo una visión general (aunque por supuesto incompleta) del sistema de enseñanza de las matemáticas en España, desde los 6 años hasta  la universidad.

Cada vez que se hace un estudio internacional, los conocimientos matemáticos de los alumnos españoles se sitúan en la parte media-baja de la tabla, y estas noticias llegan al gran público, por ejemplo, cada vez que se publican los resultados del estudio PISA (los resultados de PISA 2012 se publicarán dentro de un año aproximadamente). En general, diría que existe un consenso sobre el hecho de que el sistema no proporciona un conocimiento matemático satisfactorio, ni para los alumnos que precisan de un conocimiento matemático sólido para proseguir con sus estudios universitarios, ni para los alumnos que deberían haber adquirido una alfabetización matemática suficiente para desenvolverse como ciudadanos.

El título de este blog pretende marcar la dirección en la que, desde mi punto de vista, debería moverse el sistema para obtener mejores resultados. Por supuesto, como todo título es simplificador: cuando hablo de más ideas, quiero decir que el estudio de las matemáticas debería girar sobre todo alrededor de las ideas y conceptos básicos, trabajando de modo reflexivo sobre ellos. Menos cuentas quiere decir no sólo menos «aritmética tradicional» sino también menos procedimientos rutinarios que se memorizan sin comprenderlos, de forma puramente mecánica. Espero que próximos posts terminarán de aclarar estas ideas.

El segundo objetivo declarado de este blog es servir de punto de encuentro entre los diferentes niveles educativos. Creo que otra de las causas de las disfunciones del sistema es la falta absoluta de relación entre los integrantes de los diferentes niveles educativos: primaria, secundaria y unversidad.