La formación matemática de los maestros

Hoy el Instituto Nacional de Evaluación Educativa publica esta entrada sobre la formación matemática de los maestros. Supongo que la culpa es mía, por haberme extendido demasiado, pero han recortado la versión original que les envié, sin prevenirme. No han cambiado nada relevante; todas las ideas importantes están ahí, pero la sintaxis ha sufrido algo … Para no llevarme mas collejas de las que me merezco, aquí está la versión completa.

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PAU en Madrid, junio de 2014. ¿Algo se mueve?

Tras las últimas entradas sobre las derivadas y la PAU, me parece natural hacer algún comentario sobre el examen de hoy en Madrid (si algún lector me envía exámenes de otras comunidades, estaré encantado de enlazarlos aquí). Me ha parecido un paso (quizá pequeño, pero seguramente lo más que se podía esperar) en la buena dirección. No hay grandes cálculos, y la comprensión conceptual tiene más peso que otras veces (o eso me parece). Quizá me equivoque, pero me ha parecido que a los alumnos no les parecía sencillo (nada sorprendente, seguramente era distinto de lo que se esperaban, de aquello para lo que habían estando entrenándose – creo que esa es la palabra adecuada, sí). Ahora solo falta que el mensaje cale en todas esas aulas donde se siguen calculando montones de derivadas y primitivas … porque hacen falta para selectividad.

Los libros de texto

Casi invariablemente, cuando surge este tema de conversación alguien pronuncia la frase “Un buen profesor no necesita un libro de texto”. Es difícil discrepar, pero creo que se trata de una salida en falso al problema. Creo que la frase merece dos acotaciones:

  1. Un “buen profesor”. Es verdad que hay profesores y, en general, centros, que están haciendo un trabajo estupendo con una metodología que excluye los libros de texto. Sin embargo, creo que no es realista esperar que esto se convierta en la norma general del sistema escolar. Todos los esfuerzos que se hagan para mejorar la formación del profesorado redundarán en la calidad del sistema, pero inexorablemente el profesor medio será … medio.
  2. “Necesita”: bueno, necesitar puede ser mucho decir, y es verdad que no es razonable que un profesor dependa completamente de un texto, y no tenga iniciativa para prescindir de él de vez en cuando. Los libros de texto son simplemente un recurso (eso sí, desde mi punto de vista el que debería ser más relevante).

En resumen, a “Un buen profesor no necesita un libro de texto” yo contestaría “Un buen libro de texto es un recurso valioso para cualquier profesor (y para todos los alumnos)”.

Lo que me resulta más llamativo es que la frase con la que empezaba esta entrada se suele usar para quitarle importancia al problema de la falta de calidad de los libros de texto. Porque si en algo he encontrado una casi completa unanimidad al hablar de estos temas es que nuestros libros de texto, especialmente de primaria, dejan mucho que desear.

Una petición que he oído con frecuencia para intentar mejorar ese nivel es recuperar la autorización administrativa que era necesaria hasta 1998. La verdad, soy muy escéptico ante la posibilidad de que tal trámite tuviera algún impacto positivo. Richard Feynman, el famoso físico, participó en 1964 en la comisión del Estado de California encargada de elegir los libros de texto de matemáticas que se usarían en los colegios públicos del estado. Mi amigo Sergio Cabello me pasó la referencia de este texto (en inglés) en el que, con su divertido estilo, Feynman plasmó su experiencia como miembro de la comisión. Su lectura me parece recomendable y bastante reveladora.

¿Qué hacer entonces? Cuando hace ya tres años descubrí los libros de primaria de Singapur, que me llamaron la atención enseguida, dediqué cierto tiempo a intentar contactar con editoriales con la idea de hacer algo similar, o directamente de hacer una versión española de los textos. Por cierto, sé que el centro Felix Klein de Didáctica de las Matemáticas, de Chile, está haciendo una adaptación de los textos, pero no la conozco. La verdad es que alguna editorial (de las importantes) tomó la propuesta en consideración, pero la contestación final fue: “no lo vemos aquí, es demasiado distinto”. Conseguí callarme la respuesta que se me habría escapado hace 20 años (¡pues claro que es distinto, es varios órdenes de magnitud mejor!) y me puse a considerar el enfoque posibilista, e intentar una versión que pudiera gustar a una editorial pero con un enfoque suficientemente distinto. Bastaron un par de conversaciones con autores con experiencia en esas lides para quitarme la idea de la cabeza. Decidí dedicar la energía que tendría que haber invertido en la lucha con la posible editorial en empezar a generar el material que quiero presentar hoy. ¿Que dónde acabará? De momento no lo sé, pero la investigación a la que le dedico el resto de mi tiempo de trabajo te prepara para todo. Muchas veces inviertes semanas en trabajar un problema. A veces sale, y a veces no …

El punto de vista con el que he hecho los libros (bueno, de momento medios libros) es pensar en qué me gustaría tener a mi si el próximo septiembre me tocara empezar a dar clase en 1º de primaria. Y lo que me gustaría es tener unas transparencias para proyectar en una pantalla, o en una pizarra digital, y poder presentar imágenes y hablar con los niños sobre ellas. La primera parte está casi lista, a falta de algún dibujo y una posible revisión cuando la comunidad de Madrid apruebe el nuevo currículo (aunque, desde luego, las tablas del 0 y el 1 no aparecerán en este texto!). Es aproximadamente la  mitad del curso: transparencias parte A. Por supuesto, sé que no en todas las aulas hay pizarra digital o pantalla disponible, y he preparado una versión para papel (es en color, pero pensada para poder ser imprimida en blanco y negro, en ningún momento se hace referencia a “ese cuadrado azul”). También hay una guía para el maestro, con algunas indicaciones. Son indicaciones breves, quizá demasiado breves para algunos. Mi impresión general es que este tipo de cosas suelen ser demasiado extensas, y prefiero ser breve para resaltar las ideas fundamentales. Es posible que me haya excedido. Encantado de recibir opiniones de posibles usuarios en el correo masideas.menoscuentas de gmail. De hecho, si algún colegio de los alrededores de Madrid se planteara usar el material, podríamos organizar algún tipo de seminario. Por último, falta mencionar el cuaderno de ejercicios. Me parece muy importante que los niños puedan hacer los ejercicios sin tener que volver a copiar los enunciados, y de forma organizada. Es verdad que la lectoescritura es importante, y que requiere práctica. Pero el tiempo de matemáticas debería estar dedicado … a las matemáticas.

Termino con dos detalles: la versión completa estará lista antes de agosto y, por supuesto, para el curso 2015-2016 habrá libro de 2º …

 

Los datos de la Comunidad de Madrid sobre la PAU

Creo que uno de los grandes problemas de nuestro sistema educativo es la falta de datos fiables, y en general me inclino por que necesitamos más datos en casi todas partes. Pero lo único peor que no dar datos es dar datos que puedan generar incentivos perversos, y eso es lo que puede estar haciendo la Comunidad de Madrid con los datos de los institutos y la PAU (selectividad).

Ya de por sí puede ser cuestionable que los datos se publiquen sin ningún tipo de información sobre las características sociológicas del alumnado, que me parece imprescindible para poder hacerse una idea del valor añadido del centro, pero en el caso de la información sobre la PAU la cosa es bastante peor. Lo que se puede ver sobre un centro es un diagrama como el de la figura, donde se muestran las notas obtenidas en la PAU por los alumnos del centro y las notas medias de la comunidad (o los porcentajes de aprobados, o alguna otra variante).

datos-PAU-MadridNo hace falta ser un experto en gestión educativa para darse cuenta de que estos datos pueden generar incentivos perversos. Si un centro está interesado en mejorar sus resultados, la tentación de subir el nivel de exigencia en 2º de  Bachillerato, y que se presenten menos alumnos, pero mejor preparados, es muy, muy real. No tengo idea de si esto está pasando, pero lo frustrante es que sería realmente fácil de evitar: bastaría con presentar los datos completos, de alumnos matriculados en el centro, alumnos que superan 2º de Bachillerato, y luego los resultados de la PAU. Algunas veces, hacer las cosas mejor es realmente sencillo!

La derivada en 1º de Bachillerato (II)

Parece que está claro que el tema de cómo tratar la derivada en 1º de Bachillerato genera cierto debate. Me parece muy bien, siempre ha sido uno de los objetivos de este blog. Sigue en la lista una entrada sobre cómo se trata la introducción de la derivada en otros lugares, pero antes de eso me ha parecido conveniente aclarar los datos sobre uno de los argumentos más repetidos (no sólo en los comentarios, también siempre que hablo del tema con amigos profes). Se oye con bastante insistencia eso de que las derivadas se complican enseguida porque “es lo que les van a pedir en selectividad”. Como digo, es una tarea que tenía pendiente, y este debate me ha decidido a vencer la pereza y lanzarme a ello. Estos son los ejercicios que involucran una derivada en las PAU de Madrid en los últimos cuatro años, aquellos a los que tengo fácil acceso en mi universidad.

  • Junio de 2010:
    Opción A, ej. 4. Preguntan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = \ln(x^2+4x-5).
  • Septiembre de 2010:
    Opción B, ej. 2. Preguntan representación e intervalos de concavidad de la función  f(x) = \displaystyle \frac{3x^2+5x-20}{x+5}.
  • Junio  de 2011:
    Opción A, ej. 3. Extremos absolutos de la función f(x)=\sqrt{12-3x^2}.
    Opción B, ej. 1. Para qué valor de a la función \displaystyle f(x)=\frac{ax^4+1}{x^3} tiene un mínimo relativo en x=1. Para ese valor, encontrar los extremos absolutos.
  • Septiembre de 2011:
    Opción A, ej. 1. Hallar el conjunto de puntos en los quela función f(x)=\sqrt{x^2-9x+14} tiene derivada.
  • Junio de 2012:
    Opción A, ej. 3. Dada f(x)=x^3+ax^2+bx +c, hallar a, b y c para que f alcance en x=1 un mínimo relativo y tenga en x=3 un punto de inflexión.
    Opción B, ej. 1. Dada $\displaystyle g(x)=(\ln x)^x$, calcula g'(e).
  • Septiembre de 2012:
    Opción A, ej. 1. Dada la función definida a trozos f(x)=3x+A si x\leq 3 y f(x)=-4+10x-x^2 si x>3, halla los puntos en que la derivada se anula y los extremos absolutos en el intervalo  [4,8].
    Opción B, ej. 2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x)=x^2 \sin x (en un punto dado).
  • Junio de 2013:
    Opción A, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de \displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}.
    Opción B, ej. 1. Extremos absolutos y puntos de inflexión de f(x)=2\cos^2 x en el intervalo [-\pi/2,\pi/2].
  • Septiembre de 2013:
    Opción A, ej. 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \displaystyle f(x) = \frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}.
    Opción B, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de \displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}.

Mi conclusión es clara: la mayoría de los ejercicios de cálculo de derivadas que he visto en el cuaderno de mi hija tras dos semanas de derivadas en 1º de Bachillerato son más complicados que los que aparecen en la PAU. Insisto: ya sé que la intención es la mejor, y por supuesto no tengo claro cómo de generalizado está este enfoque, pero todo me hace pensar que no vamos por buen camino. Y, por supuesto, tampoco estoy diciendo que este problema sea específico del bachillerato. En la Universidad, en muchos aspectos, caemos en el mismo tipo de errores.

La derivada en 1º de Bachillerato

Hoy una minientrada, con un anuncio y un comentario para intentar iniciar un debate.

El anuncio es el de la Escuela de Educación Matemática Miguel de Guzmán.  La organizan de forma conjunta la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española. Será en Madrid, del 9 al 11 de julio. La inscripción es gratuita y se cierra el 30 de junio. El objetivo es que sea un punto de encuentro para todos los niveles educativos, y personalmente estaría encantado de que consiguiéramos que asistieran maestros de primaria interesados en las matemáticas.

Y sobre las derivadas, un breve comentario con el ánimo de iniciar un debate: mi hija estudia 1º de Bachillerato, y empezaron el estudio de las derivadas hace dos semanas. Hoy me encuentro en su cuaderno cosas como estas: \displaystyle y = \ln \sqrt {\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}   o   y = x^{\ln (x+1)}. Y hasta parece que ha tenido suerte, porque preguntándole a una amiga del otro grupo me dice: “nuestro profesor nos ha avisado de que los ejercicios del libro son demasiado fáciles”.

Como siempre que comento un tema así: nada más lejos de mi intención que criticar a los profesores, sé que lo hacen con la mejor intencion, para que “aprendan más”. Pero estamos errando el tiro completamente. No sé cómo de generalizado está este enfoque, pero me temo que concuerda bastante con lo que luego vemos en las aulas del primer curso universitario: demasiados alumnos que no entienden absolutamente nada … Como digo, mi idea hoy es sólo tratar de animar el debate. Estoy preparando una entrada hablando del estudio de las derivadas que he visto en un libro para preparar el A-level (la prueba preuniversitaria de Singapur y otros países anglosajones).

Geometría y razonamiento (II)

En los comentarios de la entrada anterior sobre este mismo tema surgió la problemática de demostrar cosas que “son evidentes”. Es cierto que demostrar cosas que “se ven” tiene sus peligros, y ya escribí sobre ello en esta entrada sobre el Teorema de Bolzano. Lo que quiero presentar hoy son los dos resultados que más me gustan para intentar combatir este problema. El resultado no es nada evidente, quizá hasta desafía la intuición, pero se puede demostrar con geometría elemental.

El primero es sobre ángulos en la circunferencia. Me voy a permitir presentar el resultado, para los lectores que estén en mi situación de hace un par de años. Es un resultado que tenía completamente olvidado cuando lo redescubrí preparando las matemáticas para maestros, y que creo recordar que sólo lo estudié en el dibujo técnico de un primer curso de ingeniería, donde usamos el libro de Puig-Adam de Geometría Métrica (estoy hablando del curso 83-84,  estoy seguro de que de este tipo de cosas no quedan rastros en las ingenierías, seguramente de forma totalmente justificada). Lo que no sé si es tan explicable es que no volviera a oír hablar de estas cosas a lo largo de una licenciatura en matemáticas.

Los ánguloarco-capazs \angle APB y \angle AQB se llaman ángulos inscritos, y el ángulo \angle ACB es el ángulo central correspondiente. El resultado afirma que todo ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente. En particular, por tanto, los ángulos \angle APB y \angle AQB son iguales, e iguales al ángulo \angle AXB si X es cualquier punto del arco de circunferencia de color morado en la figura, que se llama arco capaz del segmento AB. Pues bien, que el ángulo \angle AXB sea el mismo en todo el arco de circunferencia, es un resultado que no es muy intuitivo, en particular cuando el punto X está cerca del punto B. Hay varias demostraciones de este resultado. Esta es la que me parece más sencilla de entender:

Veamos priarco-capaz-caso-1mero el caso en que el segmento PA es un diámetro, como en la figura. En este caso, el resultado de deduce de manera inmediata de la observación de que el triángulo CBP es isósceles.

La segunda parte de la demostración se basa en la observación de que el caso general se puede reducir al primero, considerando el diámetro que pasa por C, tal y como se muestra en la figura. El resto es sólo escribir el argumento, aunque es cierto que si se decide hacerlo la elección del lenguaje más adecuado es importante.

arco-capaz-caso-2

El segundo es sobre secciones de pirámides (y prismas): si consideramos dos pirámides de igual base y altura, como las de la figura, y las cortamos por un plano horizontal, las secciones que se obtienen son iguales.

piramideLa demostración de esto la voy a dejar como “ejercicio para el lector”. Me parece una aplicación muy bonita de la semejanza de triángulos, ya que lo que hay que hacer es simplemente demostrar que, en los dos casos:

  1. el triángulo que se obtiene al cortar la pirámide con un plano horizontal es semejante a la base.
  2. la razón de semejanza depende sólo de la altura del plano de corte.

Un último comentario: en especial en este segundo ejemplo, lo que he visto en muchos de mis alumnos es una especie de “reacción complementaria” a la que se produce cuando les demuestras algo “que se ve”. Este resultado no es muy intuitivo, y cuando termino la demostración lo que veo en muchas caras es algo así como “vale, las matemáticas dirán lo que quieras, pero yo sigo viendo otra cosa” …