Las fracciones (y 3)

Queda para esta última entrada sobre las fracciones la división, que es la operación más complicada de introducir. Lo esencial, desde luego, es que se entienda que es una extensión de la operación que ya se conoce para los números enteros. Conozco dos alternativas, las dos con sus propias ventajas e inconvenientes:

  1. el enfoque estrictamente algebraico: dividir es multiplicar por el inverso. Por supuesto, este enfoque lleva al algoritmo, generalmente utilizado en los países anglosajones de «invertir y multiplicar». Creo que la gran ventaja de este enfoque es que ayuda a asimilar la conexión entre multiplicación y división, fundamental en el razonamiento algebraico. Para trabajar de esta forma las fracciones es esencial haber insistido antes en que, por ejemplo, dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por 1/2. El inconveniente de este enfoque es que esconde la conexión con la división de enteros: el problema de «cuántas veces cabe» el divisor en el dividendo.
  2. reducir a común denominador. Dividir 11/3 entre 3/2 se puede modelar, siguiendo lo que ya se conoce de la división en el conjunto de los enteros, como el problema de cuántas veces cabe 3/2 en 11/3. Si reducimos a común denominador, tenemos el problema de cuántas veces cabe 9/6 en 22/6. Si se ha trabajado antes la representación de las fracciones en la recta numérica, como se proponía en las entradas anteriores sobre fracciones, y se ha entendido que el denominador simplemente fija la unidad de medida, creo que es fácil entender que la respuesta es la misma que cuántas veces cabe 9 en 22, es decir, 22/9.  La gran ventaja de este enfoque es que extiende de manera natural esta interpretación de la división de números enteros (aunque, claro, no la del reparto). El principal inconveniente es el algorítmico. Desde mi punto de vista este inconveniente no es tan importante. Me parece mucho más relevante entender qué se está haciendo al dividir dos fracciones que ser capaz de hacer N divisiones por minuto. En todo caso, una opción que puede ser razonable en la práctica es introducir la operación con este enfoque, y ver que coincide con el algebraico, lo que nos proporciona un algoritmo eficiente.

El procedimiento de «multiplicar en cruz» me parece inferior a estos dos. Ni ayuda con la introducción al álgebra que supone el enfoque 1) ni da ningún sentido a la operación, como sí hace el enfoque 2). Además, desde el punto de vista puramente algorítmico, es proclive al error que estoy seguro que todos hemos visto: todos los niños multiplican en cruz, de acuerdo. Pero, «¿qué va arriba y qué va abajo?» …

Las fracciones (II)

En la última entrada sobre las fracciones quedaron pendientes dos de las operaciones aritméticas básicas: la multiplicación y la división.

El problema con la multiplicación de fracciones es que, precisamente porque el algoritmo es muy sencillo, se pasa por ella demasiado deprisa, sin detenerse en el sentido que tiene. Las dificultades surgen cuando la multiplicación de fracciones aparece en la resolución de problemas. Se pueden ver entonces los «parches a la desesperada». El otro día, en 2º de la ESO, a mi hija le dijeron, textualmente «si dice de lo que quedaba, entonces se multiplica». Otro enfoque que he visto en varios libros, más sistemático, es hablar de «la fracción como operador». Pero esto me parece un paso en la dirección equivocada, porque insiste en presentar a las fracciones como objetos nuevos, con propiedades «esotéricas» (es la primera vez que un alumno lee la palabra operador) cuando creo que la dirección correcta es presentar las fracciones como una extensión natural de los conjuntos numéricos ya conocidos. No hay ninguna diferencia conceptual entre «el doble de» y «tres quintos de». De la misma forma que no vemos necesario hablar de «el dos como operador», no veo la necesidad de hablar de  «la fracción como operador».

Seguro que hay más opciones para dotar de sentido a la multiplicación de fracciones. Aquí voy a presentar las dos que más me gustan.

  • Si el concepto de fracción se ha entendido, la multiplicación de un número entero por una fracción, como en  3 \times 2/5 no presenta mayor dificultad. «Tres veces dos quintos son seis quintos». Y no hace ninguna falta, desde luego, «convertir al 3 en fracción». No podemos ahora, desde luego, recurrir a la propiedad conmutativa: no se trata de que hagan la cuenta  2/5 \times 3 , sino que queremos que entiendan qué significa «dos quintos de algo». Para ello, primero  se presenta la multiplicación por fracciones con numerador 1. Un quinto de un número entero (en los primeros ejemplos, un múltiplo de 5) es igual de intuitivo que «el doble de algo».  Se trabaja además la idea de que multiplicar por 1/5 es lo mismo que dividir por 5. Cada vez leo más sobre – y esto convencido de – la importancia que tiene prestarle atención a estos hechos en la aritmética para conseguir una buena iniciación al álgebra. Se introduce después 1/5 de una fracción, viendo que es equivalente dividir el numerador (cuando sea múltiplo de 5, claro) y multiplicar el denominador. Finalmente, una vez entendido 1/5 de algo, creo que el paso a que «dos quintos de algo» es «dos veces un quinto de algo» es el más sencillo del proceso.
  • La geometría nos proporciona aquí un sencillo ejemplo que muestra que la multiplicación de fracciones generaliza lo que ya conocemos sobre multiplicación de números enteros. Un rectángulo de dimensiones 5 x 3 está formado por un total de 15 cuadrados unitarios. De la misma forma, la multiplicación de las fracciones 3/4 y 2/3 nos muestra que un rectángulo de esas dimensiones está formado por 6 rectángulos (ahora ya no son cuadrados), cada uno con un área de 1/12. (Esta interpretación la vi por primera vez en el libro Parker-Baldridge: Elementary mathematics for teachers).

multi-frac

Pensaba tratar hoy también el tema de la división, pero la multiplicación me ha llevado mucho más tiempo de lo que creía. De manera que la división de fracciones será el tema de una próxima entrada. Lo siento, David  🙂

Cuatro enlaces muy interesantes

Mientras encuentro el momento de continuar con las fracciones, quiero compartir algunos enlaces (mi agradecimiento a pepvidal por los dos primeros).

  • Blog de Jaime Martínez Montero sobre algoritmos basados en números (ABN). Aunque mi tesis central es que se deberían hacer menos cuentas, y prestarle más atención a los conceptos, estoy completamente de acuerdo en que los algoritmos deberían cambiar, olvidarse de los algoritmos tradicionales, y seguir las ideas de los algoritmos que se conocen como basados en números.
  • En el colegio Aguamansa (en La Orotava, Tenerife), Antonio Martín lleva años enseñando las matemáticas de primaria dejando a un lado los algoritmos tradicionales. En este canal de youtube se pueden ver ejemplos de lo que son capaces los niños cuando se pone el acento en la comprensión, en lugar de en la repetición.
  • Los estándares de la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) son uno de los documentos de referencia cuando se habla de la enseñanza de las matemáticas en la educación obligatoria. Un organismo análogo, el National Council on Quality in Teaching, elaboró este informe sobre la formación matemática de los profesores de primaria:  No common denominator (este enlace lleva a una versión resumida). Creo que este documento es mucho menos conocido que el anterior, yo lo descubrí esta pasada semana, y me ha parecido del máximo interés. Me ha resultado muy llamativo la gran parte del análisis que creo directamente trasladable al caso español. Quizá esto explique el hecho de que EEUU y España aparecen casi siempre muy próximos en los test internacionales sobre competencia matemática de los estudiantes.

Las fracciones

Las fracciones son sin duda uno de los escollos fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas elementales. Desde mi punto de vista, hay dos tipos de razones para ello:

  • la mayor parte del tiempo se dedica a la aritmética, a las cuentas, sin prestar suficiente atención a los conceptos involucrados. Esto hace que los alumnos, en el mejor de los casos, hagan correctamente las cuentas, pero en demasiadas ocasiones no sepan interpretarlas. En otros muchos casos, por supuesto, el no entender el sentido de las operaciones abre la puerta a todo tipo de errores.
  • el concepto de fracción no es sencillo de presentar ni de entender. En particular, una fracción, desde el punto de vista elemental, tiene las tres interpretaciones de la figura:
    1. una parte de un objeto. En la figura (1), están pintados de verde los 3/5 de una barra.
    2. la solución a un problema de reparto: si tenemos 3 chocolatinas y las queremos repartir entre cinco niños, por igual, a cada niño le toca 3/5 de chocolatina.
    3. un punto de la recta numérica (es decir, un número racional).

La interpretación (1) es seguramente la más indicada para el primer contacto (en algunos países, este primer contacto se produce ya en el primer ciclo, y en todos los que he visto en el segundo ciclo). Este primer contacto no incluye la aritmética, ni siquiera una introducción. Pero cuando se inicia el estudio más sistemático de las fracciones, en el tercer ciclo de primaria (y en cursos equivalentes en la mayoría de los países que he mirado  – cursos K 5 y 6), es esencial que se entiendan estas tres interpretaciones de una fracción. Si uno se para a pensarlo, la equivalencia de la interpretación (2) con la (1) no es tan evidente para un niño que se enfrenta al problema por primera vez. Creo que la mejor forma de presentarla es la sugerida en la figura: dividimos cada chocolatina en 5 partes iguales, y le damos una a cada niño.

Pero además de entender las tres posibles interpretaciones, se debería elegir una básica, para dar una definición de fracción y para, sobre todo, darle sentido a la aritmética. Desde mi punto de vista, la representación (3) es la más adecuada. Esta podría ser una definición:

Def: La fracción p/q representa el siguiente punto de la recta numérica:  tomamos el intervalo (0,1) y lo dividimos en q partes iguales. Ahora, contamos desde el cero p de esas partes.

De acuerdo: admito que esta opción no pasa la prueba de ser formalmente válida a los ojos de un matemático. Pero creo que este es uno de los puntos clave de lo que empecé a llamar en la entrada anterior Matemáticas para la docencia: el rigor y el formalismo que se extendieron por las matemáticas desde finales del siglo XIX (y que tan buenos resultados ha dado desde muchos puntos de vista) no deberían convertirse en un obstáculo para la enseñanza de las matemáticas básicas. En particular, en enseñanza primaria y secundaria, lo ideal sería encontrar el correcto equilibrio entre rigor – que no rigorismo – y el uso adecuado de los conceptos elementales intuitivos.

Estas son las principales ventajas de tomar la opción (3) como la fundamental para el estudio de las fracciones:

  1. la fracción se ve, desde el primer momento, como «un número más». Nos evitaríamos así el problema que creo que todos hemos visto, del estudiante que, ante la solución 3/5 de un problema, no queda satisfecho, y sólo da el problema como resuelto «de verdad» si escribimos 0’6.
  2. el concepto de fracción equivalente se introduce sin ninguna dificultad. Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo punto. Llegar a la comprobación algebraica sería un segundo paso, que se trabajaría con ejercicios.
  3. los problemas de comparar fracciones, o estimarlas, o expresarlas como números mixtos, pasan a ser más intuitivos, al poderse visualizar en el mismo entorno que los números ya conocidos.
  4. por último, y más importante, la aritmética de las fracciones se ve, desde el primer momento, como una extensión de la aritmética conocida. De la misma forma que la suma 2+3 se visualiza en la recta numérica yuxtaponiendo los segmentos que representan al 2 y al 3, se le puede plantear al niño el problema de sumar 3/5 y 1/2. Y cuando hablo del «problema» estoy diciendo, por supuesto, que lo propondría sin hablar antes de comunes denominadores, ni nada por el estilo. El niño, con la ayuda de papel cuadriculado – o milimetrado – debería descubrir que el denominador me fija la unidad, y que como ya ha hecho en otros contextos debe sumar cantidades en unidades homogéneas. Si ya se ha entendido antes el concepto de fracción equivalente, el aprendizaje por descubrimiento es aquí perfectamente posible. Por esta vía se puede seguir para la multiplicación y división de fracciones, pero esto será el tema de una próxima entrada, esta ya se ha hecho demasiado larga.

Querría terminar con una aclaración: no pretendo estar inventando nada, este enfoque no es original, pero sí creo que minoritario, y desde luego poco utilizado en España. El libro donde lo he visto mejor contado es

Thomas H. Parker, Scott J. Baldridge. Elementary Mathematics for Teachers. Sefton-Ash Publishing, EE UU, 2004. (Un aviso: acabo de comprobar que sigue sin ser posible comprarlo desde España – tampoco vía Amazon).

Y una petición: si algún lector ya ha usado este enfoque en un aula, o lo hace en el futuro, estaría interesado en recibir información sobre la experiencia.

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La aritmética en primaria

La aritmética «tradicional» (para entendernos, los algoritmos tradicionales de las 4 operaciones básicas, a los que me referiré en adelante como la aritmética de lápiz y papel), sigue ocupando un lugar central en los contenidos de las matemáticas de primaria. Mis estimaciones son que al menos la tercera parte del tiempo que los alumnos dedican a las matemáticas en primaria, están en realidad haciendo cuentas. Me temo que el título del blog desvela mi opinión sobre el particular, pero en este primer post sobre el tema querría simplemente exponer algunas ideas básicas para la reflexión de los lectores.

Luis Santaló fue uno de los grandes matemáticos españoles del siglo XX. En 1991 pronunció unas conferencias en la Universitat de Girona, recopiladas en el libro La Matemática: una filosofía y una técnica, Ed. Ariel. En la página 11, se puede leer:

Para quienes tan sólo recuerdan la matemática que aprendieron en la escuela primaria, la matemática se halla integrada por los cálculos aritméticos comunes y por los nombres y las propiedades de algunas figuras geométricas. Para ellos, la matemática consiste en las cuatro operaciones con números enteros o con fracciones, necesarias para resolver los problemas de regla de tres, porcentajes, repartos proporcionales, o en sus aplicaciones para calcular áreas y volúmenes. Para ellos, saber matemáticas es saber calcular y, por consiguiente, con la aparición de las calculadoras electrónicas, que hacen inútil la habilidad de cálculo, consideran que la matemática ha perdido ya su interés y que cada día es menos necesario aprenderla en la escuela. Ahora bien, dado que la supresión de la matemática en la escuela produciría cierto vacío -vacío que provoca el horror clásico-, opinan que la mejor solución es no permitir el uso de las calculadoras en la escuela, con el objeto de que los alumnos continúen calculando como siempre se ha hecho.

Han pasado más de 20 años, pero la situación sigue siendo, en la gran mayoría de los casos, exactamente la misma. El tema es amplio, y lo volveré a tratar en el futuro. Hoy querría centrarme en una primera pregunta: ¿cuáles son los beneficios del aprendizaje de la aritmética de lápiz y papel? De forma más precisa: el tiempo invertido para aprender, por ejemplo, el algoritmo de la división cuando el divisor tiene 2 ó 3 cifras (la «división larga» de los anglosajones»), ¿qué tipo de beneficios reporta al aprendizaje de las matemáticas?

Con ánimo de ser exhaustivo, quiero considerar tres tipos de posibles beneficios:

  1. la utilidad en la vida cotidiana.
  2. la utilidad para el propio aprendizaje de las matemáticas.
  3. el fomento de otro tipo de capacidades como la concentración, el esfuerzo, la atención al detalle, etc.

Creo que poca gente dudará en descartar el apartado 1. ¿Cuándo fue la última vez que el lector hizo una división o una multiplicación en un papel? (Evidentemente, no valen las cuentas relacionadas con tareas escolares). Quizá se pueda aducir que es útil saber, ante una cuenta compartida en una cena con los amigos, cuánto debe pagar cada uno. Cierto, pero esto se debería hacer con cálculo mental, y obtener al menos una buena aproximación. Si queremos llegar al céntimo, o sacar aún más decimales, es mucho más probable que tengamos a mano un artilugio que incluya una calculadora que un lápiz y un papel …

El apartado 2 puede ser menos claro para muchos lectores, pero creo que el consenso entre los especialistas también es claro. Los algoritmos tradicionales no ayudan a desarrollar lo que se conoce como «sentido numérico». De nuevo, es el cálculo mental lo que se debe practicar si uno quiere desarrollar el sentido numérico.

De forma que sólo el apartado 3 sobrevive a este primer análisis, y debo aceptar que este apartado sí es cierto. La pregunta aquí es, ¿a qué precio desarrollamos estas capacidades? No es sólo que requieran un tiempo que podría dedicarse a otras tareas; es también, y creo que incluso más importante, que una buena parte de los niños pierden en el proceso todo el interés por las matemáticas, por considerarlas inútiles y mortalmente aburridas. Creo que sólo la inercia de «es lo que se ha hecho siempre» nos hace a los padres y maestros no ser totalmente conscientes de esto.

Imaginemos el siguiente ejemplo. Supongamos que el nuevo profesor de educación física de la clase de 4º A nos dijera:

Este trimestre les voy a plantear a los alumnos la siguiente tarea dos veces por semana. Durante media hora van a hacer un agujero, transportar la tierra al otro extremo del patio, y después volverán a traer la tierra a su lugar original, tapando el agujero. Y no pueden traer de casa ninguna herramienta que les ayude en el trabajo. Aquí les proporcionaré unos pequeños juguetes de playa. Es una actividad beneficiosa: es ejercicio físico y mejorará el estado muscular de todo el cuerpo, y requiere concentración y esfuerzo para terminar la tarea con éxito. Será muy útil para mejorar su forma física.

¿De verdad está el ejemplo completamente fuera de lugar?

No entienden el problema

Esta es quizá la frase que más se escucha a los profesores de los primeros cursos de primaria, cuando algunos niños empiezan a mostrar dificultades en la resolución de problemas. Por ejemplo, el niño pregunta: ¿es de sumar o de restar? El tema llega al absurdo de que en algunos libros se llegan a dar recetas del tipo: «Si en el problema aparecen estas palabras  …  seguramente se hará sumando».

Cuando aparece este problema, el diagnósico suele ser el mencionado «no entiende el problema». Mi diagnóstico es que seguramente esté ocurriendo algo muy distinto, y es que el niño no conecta los algoritmos que le han enseñado para sumar, restar, multiplicar y dividir con los conceptos correspondientes. Los lectores escépticos deberían pararse un momento a pensar en la conexión entre «la receta» que el niño ha aprendido para dividir dos números, y el concepto de repartir una cantidad en partes iguales (y algo parecido podría decirse sobre el resto de las operaciones aritméticas). Creo que sería muy interesante hacer estudios sobre este tema, pero en su ausencia quiero mostrar un ejemplo de una forma completamente distinta de hacer las cosas.

En este artículo se describen algunas ideas generales sobre la enseñanza de las matemáticas en Holanda (que es uno de los países que figura, de forma constante, en buenas posiciones en los estudios internacionales sobre aprendizaje de las matemáticas). Una de las cosas que más me llamó la atención en el artículo es leer que los algoritmos tradicionales de la suma y la resta no se aprenden hasta 4º de primaria (sí, no hay ningún error, cuando los niños tienen 9 años). ¿Que qué hacen hasta entonces, si «no saben ni sumar ni restar»? Pues … hacen matemáticas.

Veamos un ejemplo sacado de ese mismo artículo. En la clase de 3º el maestro plantea el siguiente problema:

Hoy tenemos la reunión con los padres. Asistirán un total de 81 personas, y la reunión será en una sala con mesas de esta forma (dibuja un rectángulo en la pizarra). En cada mesa se pueden sentar 6 personas. ¿Cuántas mesas necesitaremos?

Los niños se ponen a trabajar (recordemos que no conocen los algoritmos de la suma ni la resta, mucho menos, por supuesto, el de la división). El maestro se pasea por la clase y da alguna indicación cuando lo considera necesario. Tras 10 minutos de trabajo, estos son algunos ejemplos del trabajo realizado:

¿Qué se ha conseguido con este enfoque?

  • En primer lugar, los niños se han enfrentado a un problema, es decir, a algo que no puede resolverse con una mera aplicación rutinaria de la última técnica aprendida en clase. Por tanto han tenido que ser creativos y han desarrollado sus propias estrategias de resolución. Estas son algunas de las capacidades más valiosas para cualquier persona, y las matemáticas bien presentadas son una herramienta excelente para desarrollarlas.
  • En segundo lugar, han adquirido una profunda comprensión del problema del reparto, de lo que se llamará cociente y lo que será el resto. Cuando se les presente el algoritmo correspondiente, la comprensión será más completa.