Un examen de 4º de ESO

Antes de enseñar el examen en cuestión, unas notas aclaratorias:

Esta entrada no es, en absoluto, un «desahogo de un padre enfadado». Mi hija ya pasó los cursos mas difíciles, y trabaja razonablemente. Además, claro, tiene en casa ayuda cuando la necesita. De manera que su único problema es que tiene un poco mas difícil – que no imposible – llegar al sobresaliente, que es su objetivo.

Tampoco se trata de lanzarse al deporte de «criticar al profesor». No conozco personalmente a su profesora, pero estoy convencido de que me encontaría con un perfil similar al que ya he comentado en alguna ocasión: una persona trabajadora, y convencida de que hace lo que puede, dada la formación que tienen sus alumnos, los requerimientos del programa, etc. Algún comentario me ha llegado en la dirección de que pone muchas cosas en el examen para que todo el mundo pueda hacer algo … El problema de fondo aquí, claro, es el aislamiento en que vive una buena parte del profesorado. Y en este punto me parece que las responsabilidades están bastante repartidas: la administración no cuida la formación continua lo que debería, es verdad, pero en estos tiempos cualquier interesado tiene a su alcance experiencias, materiales y puntos de vista distintos: no necesariamente mejores, pero adecuados para promover la reflexión.

Por último, es evidente que se trata solo de «evidencia anecdótica». No tengo ni idea de lo extendido que está este enfoque en nuestras aulas. El problema es que ¡nadie lo sabe! Estoy intentando arrancar un estudio (anónimo, y con selección aleatoria de aulas) pero de momento sin éxito. No me he dado por vencido …

Para terminar, un dato relevante es, claro, el tiempo dedicado al examen: 1 h 20 minutos. Supongo que un día venceré la pereza y lo haré completo; de momento la opinión que tengo es solo «de primera vista». Y prefiero reservarla, por ahora, para escuchar antes las vuestras.

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Técnicas versus conceptos

La conferencia de clausura de la jornada sobre innovación que mencioné en la entrada anterior fue impartida por Michèle Artigue. No la conocía (soy un recién llegado al campo de la educación matemática) pero se trata sin duda de una primera figura a nivel internacional. Recientemente ha recibido nada menos que el premio Felix Klein en el año 2013 y la medalla Luis Santaló en el año 2014, dos de las distinciones mas importantes en el área.

La primera parte de su conferencia la dedicó a presentar unos materiales sobre los que estaban trabajando. Me parecieron interesantes. La idea era modelar con Geogebra problemas de persecución. Ahora no encuentro una referencia, pero cuando la consiga volveré a hablar sobre este tema.

Después su conferencia se deslizó hacia aspectos mas abstractos de la didáctica. Antes de seguir, una aclaración preventiva: no pretendo cuestionar el interés de esta didáctica mas abstracta. Lo único que digo es que demasiadas veces peca de excesivamente académica, y alejada de la realidad de las aulas y que, por tanto, puede no resultar del todo accesible e interesante para el profesor de a pie. Este problema no es, desde luego, exclusivo de la didáctica. De hecho, creo que los matemáticos caemos en este error con bastante frecuencia. Para dar un ejemplo en el que he caído personalmente, empeñarse en hablar de epsilones y deltas – o del Teorema de Bolzano – a futuros ingenieros. Y también ocurre en otras áreas alejadas de las matemáticas. La mas prominente me parece el bombardeo de análisis sintáctico y morfológico en los estudios de Lengua de nuestra secundaria.

Total: que en esos aspectos abstractos de la didáctica me perdí completamente, y estuve distraído unos minutos hasta que escuché una expresión ya oída, la teoría antropológica de lo didáctico. Ya me había topado con la etiqueta en alguno texto, sin llegar a entender casi nada, así que intenté concentrarme de nuevo en la conferencia, para ver si conseguía sacar alguna idea en claro. Nuevo fracaso: la jerga me resulta incomprensible. Si algún lector sabe algo del tema, y puede expicar en qué consiste en lenguaje accesible a profanos, le estaré sinceramente agradecido.

De manera que nuevos minutos de distracción, hasta que escuché una frase, pronunciada con total convicción. que captó de nuevo mi atención. Creo que, textualmente (habla un castellano bastante correcto), Artigue dijo: «Pensar que, gracias a las TIC, podemos prescindir de las técnicas y centrarnos en el estudio de los conceptos es un profundo error». Es una frase que suscribo completamente, pero se trata solo de la entrada al problema, claro. Es una pena que no hubiera tiempo para profundizar en el tema (era ya el final de la conferencia, no hubo turno de preguntas, y la reunión terminaba justo entonces) porque me parece una de las grandes cuestiones de la educación matemática en nuestros días.

Desde mi punto de vista, la clave es que existe una fuerte relación entre algunas técnicas y los conceptos. Dicho de otra forma: para comprender de forma adecuada ciertos conceptos es importante adquirir cierta soltura técnica. Ahora bien, creo que es crucial entrar en el detalle. Por poner un ejemplo sencillo: estoy de acuerdo en que hacer divisiones es importante para comprender los problemas de reparto y, en general, para adquirir sentido numérico. Ahora bien, si el valor fundamental del cálculo de divisiones es éste, es muy posible que tengamos que revisar cómo hacer las divisiones, y qué divisiones hacer. Por una razón muy sencilla: el algoritmo tradicional de la división se diseñó con un objetivo muy distinto, que no es otro que poder hacer divisiones exactas con enteros grandes. Si este objetivo ha quedado obsoleto (personalmente, creo que sí), es muy posible que el algoritmo tradicional haya quedado también obsoleto. Revisar los currículos con esta idea en la cabeza puede ser una tarea apasionante. Si hubiera que hacer un concurso sobre el algoritmo mas caduco, por superfluo a la hora de ayudar a la comprensión conceptual, mi voto creo que sería para la Regla de Ruffini. ¿Y el suyo?

 

La derivada en 1º de Bachillerato (II)

Parece que está claro que el tema de cómo tratar la derivada en 1º de Bachillerato genera cierto debate. Me parece muy bien, siempre ha sido uno de los objetivos de este blog. Sigue en la lista una entrada sobre cómo se trata la introducción de la derivada en otros lugares, pero antes de eso me ha parecido conveniente aclarar los datos sobre uno de los argumentos más repetidos (no sólo en los comentarios, también siempre que hablo del tema con amigos profes). Se oye con bastante insistencia eso de que las derivadas se complican enseguida porque «es lo que les van a pedir en selectividad». Como digo, es una tarea que tenía pendiente, y este debate me ha decidido a vencer la pereza y lanzarme a ello. Estos son los ejercicios que involucran una derivada en las PAU de Madrid en los últimos cuatro años, aquellos a los que tengo fácil acceso en mi universidad.

  • Junio de 2010:
    Opción A, ej. 4. Preguntan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = \ln(x^2+4x-5).
  • Septiembre de 2010:
    Opción B, ej. 2. Preguntan representación e intervalos de concavidad de la función  f(x) = \displaystyle \frac{3x^2+5x-20}{x+5}.
  • Junio  de 2011:
    Opción A, ej. 3. Extremos absolutos de la función f(x)=\sqrt{12-3x^2}.
    Opción B, ej. 1. Para qué valor de a la función \displaystyle f(x)=\frac{ax^4+1}{x^3} tiene un mínimo relativo en x=1. Para ese valor, encontrar los extremos absolutos.
  • Septiembre de 2011:
    Opción A, ej. 1. Hallar el conjunto de puntos en los quela función f(x)=\sqrt{x^2-9x+14} tiene derivada.
  • Junio de 2012:
    Opción A, ej. 3. Dada f(x)=x^3+ax^2+bx +c, hallar a, b y c para que f alcance en x=1 un mínimo relativo y tenga en x=3 un punto de inflexión.
    Opción B, ej. 1. Dada $\displaystyle g(x)=(\ln x)^x$, calcula g'(e).
  • Septiembre de 2012:
    Opción A, ej. 1. Dada la función definida a trozos f(x)=3x+A si x\leq 3 y f(x)=-4+10x-x^2 si x>3, halla los puntos en que la derivada se anula y los extremos absolutos en el intervalo  [4,8].
    Opción B, ej. 2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x)=x^2 \sin x (en un punto dado).
  • Junio de 2013:
    Opción A, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de \displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}.
    Opción B, ej. 1. Extremos absolutos y puntos de inflexión de f(x)=2\cos^2 x en el intervalo [-\pi/2,\pi/2].
  • Septiembre de 2013:
    Opción A, ej. 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \displaystyle f(x) = \frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}.
    Opción B, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de \displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}.

Mi conclusión es clara: la mayoría de los ejercicios de cálculo de derivadas que he visto en el cuaderno de mi hija tras dos semanas de derivadas en 1º de Bachillerato son más complicados que los que aparecen en la PAU. Insisto: ya sé que la intención es la mejor, y por supuesto no tengo claro cómo de generalizado está este enfoque, pero todo me hace pensar que no vamos por buen camino. Y, por supuesto, tampoco estoy diciendo que este problema sea específico del bachillerato. En la Universidad, en muchos aspectos, caemos en el mismo tipo de errores.

La derivada en 1º de Bachillerato

Hoy una minientrada, con un anuncio y un comentario para intentar iniciar un debate.

El anuncio es el de la Escuela de Educación Matemática Miguel de Guzmán.  La organizan de forma conjunta la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española. Será en Madrid, del 9 al 11 de julio. La inscripción es gratuita y se cierra el 30 de junio. El objetivo es que sea un punto de encuentro para todos los niveles educativos, y personalmente estaría encantado de que consiguiéramos que asistieran maestros de primaria interesados en las matemáticas.

Y sobre las derivadas, un breve comentario con el ánimo de iniciar un debate: mi hija estudia 1º de Bachillerato, y empezaron el estudio de las derivadas hace dos semanas. Hoy me encuentro en su cuaderno cosas como estas: \displaystyle y = \ln \sqrt {\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}   o   y = x^{\ln (x+1)}. Y hasta parece que ha tenido suerte, porque preguntándole a una amiga del otro grupo me dice: «nuestro profesor nos ha avisado de que los ejercicios del libro son demasiado fáciles».

Como siempre que comento un tema así: nada más lejos de mi intención que criticar a los profesores, sé que lo hacen con la mejor intencion, para que «aprendan más». Pero estamos errando el tiro completamente. No sé cómo de generalizado está este enfoque, pero me temo que concuerda bastante con lo que luego vemos en las aulas del primer curso universitario: demasiados alumnos que no entienden absolutamente nada … Como digo, mi idea hoy es sólo tratar de animar el debate. Estoy preparando una entrada hablando del estudio de las derivadas que he visto en un libro para preparar el A-level (la prueba preuniversitaria de Singapur y otros países anglosajones).

La división: una operación con dos significados

Quede claro desde el principio: soy consciente de que el tema del que quiero hablar hoy es bien conocido en didáctica. Algún día intentaré escribir sobre por qué las ideas más relevantes de la didáctica llegan tan poco a las aulas.

El problema con la división es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores: ya he escrito varias entradas sobre el algoritmo de la división, y esta es la primera sobre su significado. Consideremos estos dos problemas:

  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son «problemas de dividir». Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de «dividir por 1/2» porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases de magisterio del curso pasado, después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como «Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?»

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que,una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.

Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.

JumpingSums

Hoy quiero presentar mi primera contribución al campo de los recursos para el aprendizaje de la aritmética. Es un trabajo fin de carrera de un estudiante de Ingeniería Informática, y se trata de una aplicación para dispositivos Android. Está basado en la «recta numérica vacía», una idea que descubrí en este artículo de David Barba y Cecilia Calvo, y que me parece muy interesante para trabajar las sumas y restas, de naturales y enteros. La aplicación se llama JumpingSums y la podéis descargar en este enlace. En la figura podéis ver un par de capturas de pantalla, y lo que hay ahora mismo es una versión beta, por lo que me encantaría recibir información de los que os animéis a utilizarla, con sugerencias, fallos y cualquier comentario que se os ocurra. Podéis hacerme llegar la información bien con un comentario en el blog, o con un correo a masideas.menoscuentas@gmail.com.

Pantalla-Jumping

La multiplicación

Una de las primeras entradas de este blog estuvo dedicada a las tablas de multiplicar. Creo que es momento de revisar el tema, dando un paso atrás, y pensando en cómo introducir la multiplicación. En la figura vemos unos ejemplos de cómo se introduce en un par de libros de texto (si la calidad de la imagen no es suficiente, haciendo click en ella se resuelve el problema). Son dos ejemplos de las editoriales dominantes, pero todas las que he visto (aunque el estudio no ha sido exhaustivo) siguen un enfoque similar.

multiplicacion-sumas-repetidas

Respecto del comienzo, nada que objetar. La multiplicación no es más que un atajo para hacer una suma donde el sumando se repite, y tengo claro que esa es la idea adecuada para introducirla a un niño en primaria. El problema es cuando la suma 2+2+2+2+2=10 se traduce como 2 x 5 = 10. Lo que estamos escribiendo aquí es «dos por cinco», como abreviatura de «dos multiplicado por cinco»; por supuesto, todo es correcto; 5 es el multiplicador, y cuenta el número de veces que se repite el multiplicando, en este caso el 2. El problema es que estamos dando un salto en el vacío, y es complicado que el niño establezca la conexión entre 2+2+2+2+2=10 y 2 x 5 = 10 que se supone que se está usando en la figura para definir la multiplicación. Si el concepto de multiplicación se introduce a partir de sumas repetidas (y, por tanto, de «veces») el multiplicador debería ser el primer factor. Aunque multiplicando y multiplicador me parecen términos prescindibles, sobre todo al principio. Me parece mucho más adecuado traducir la suma 2+2+2+2+2 como 5 x 2, y leer «cinco veces dos». Es verdad que también se podría interpretar 2 x 5 como «dos cinco veces», y eso arreglaría el problema, pero las ventajas de que la palabra por y la palabra veces sean intercambiables me parecen evidentes. En este punto, las matemáticas dependen fuertemente del idioma, y no tengo idea de cuál será el enfoque más extendido en el mundo. Pero en la búsqueda que he hecho en los idiomas más hablados de Europa occidental, sólo los italianos nos acompañan en el uso del «por»: los ingleses usan «times» (con alguna variación que comentaré luego: a veces leen 2 x 3 como «two threes»), los franceses «fois» y los alemanes «mal», exactamente los equivalentes al castellano «veces».

La cosa se complica un poco más cuando damos el siguiente paso y llegamos a las tablas de multiplicar. Lo natural, me parece, es plantear la tabla del 2 como «contar de 2 en 2» pero, como ya comenté en la entrada sobre las tablas, eso obliga a que, en la tabla del 2, el 2 aparezca en segundo lugar. Y aquí la confusión parece que ya es total.

Tampoco me convence el enfoque de mis casi siempre admirados libros de Singapur. En la siguiente figura he reunido algunos ejemplos del proceso. Las dos figuras de la primera fila corresponden a la introducción al final de 1º. Claramente, a partir del concepto veces, y escribiendo 4 veces 2 como 4 x 2. La segunda fila son ejemplos del libro de 2º, donde se empieza a escribir «multiply by». No me convence la introducción de la propiedad conmutativa que contienen. El misterio se aclara cuando uno avanza en el libro, y llega a las últimas figuras. La «prisa» en introducir de esa forma la propiedad conmutativa está ocasionada por la introducción de la tabla del 2, Supongo que todo es posible si uno le dedica el suficiente tiempo, pero no me convence demasiado esa idea de introducir «las dos tablas del 2» a la vez (aparecen en páginas consecutivas del libro).

intro-multiplicacion-Singapur

He pasado algún rato haciendo una exploración (nada sistemática) en youtube, para los casos del inglés, francés y alemán, que usan el equivalente a «veces». Estos han sido los resultados:

En inglés, los ejemplos que he visto que usan «times», son como este (el 2 en primer lugar). Parece que, en un intento de arreglar este tema, ha surgido una nueva versión, en la que la tabla del 2 es «dos doses, tres doses, cuatro doses …». En estos casos, como aquí, el 2 aparece en segundo lugar. Esto no deja de ser curioso, porque en el lenguaje usual las expresiones «two threes» y «two times three» significan, me parece, exactamente lo mismo. También he visto un ejemplo peculiar, donde el dos aparece en primer lugar, pero no usan times.

Los 3 ó 4 ejemplos que he visto en francés son como este. La tabla del 2 es «2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3 …». En alemán, todos los ejemplos que he visto son como éste, con el 2 en segundo lugar. Parece que aquí hacen honor al tópico de «sistemáticos». Si algún lector quiere ponerlo a prueba, el término a perseguir es «einmaleins tabelle».

Me resulta muy llamativa la enorme variedad de alternativas, y eso limitándome a los idiomas más cercanos. Si algún lector tiene conocimientos de chino, o japonés, me encantaría saber qué opciones toman esos idiomas. (Y una petición a mis lectores hispanoamericanos: ¿cuál es la situación en sus países?)

Mi propuesta es clara: deberíamos movernos a «veces», o al menos usar «por» y «veces» indistintamente, olvidándonos del multiplicando, multiplicador, y demás. ¿Qué aporta esa terminología? Y, claro, cambiar el orden de las tablas, diciendo la tabla del 2 como 1 vez 2, 2 veces 2, etc. Eso ayudaría a ver la tabla del 2 como «contar de 2 en 2», y creo que facilitaría su aprendizaje. Como ya comenté en la entrada sobre las tablas de multiplicar, su correcto aprendizaje me parece imprescindible. Otra cosa, por supuesto, es que se debería trabajar con más calma, sin pretender la memorización precipitada.

Pero parece muy complicado encontrar un colegio que se atreva a experimentar con este cambio. Una dificultad añadida es que hay que coordinar dos ciclos, porque se empieza con la multiplicación en 2º, y se continúa en 3º. Si algún lector se anima, o conoce algún colegio donde se podría intentar, estaría muy interesado en recibir noticias, o en implicarme en la experiencia. Para ayudar, aquí están estas otras tablas de multiplicar. El orden intenta ser el de dificultad de aprendizaje. No conozco ningún trabajo en ese sentido, así que es sólo una conjetura personal.

La división (y III)

Para terminar, por lo menos de momento, con el tema de la división, una entrada breve sobre un tema que puede parecer un detalle, pero que creo que tiene su importancia. ¿Qué notación se debería usar para la división con resto? ¿Cómo escribimos que, al dividir 27 entre 6, el cociente es 4 y el resto 3? Por supuesto, siempre se puede utilizar el lenguaje usual, y seguro que esto es lo más conveniente al principio, pero conforme avanza el estudio, una notación adecuada tendría muchas ventajas. De entrada, si le pedimos a un alumno de primaria o secundaria que nos escriba el resultado de dividir 27 entre 6, como división en los enteros, la alternativa mayoritaria sería sin duda la disposición del algoritmo tradicional (aunque no les hiciera falta para llegar al resultado, porque el cálculo es así de sencillo). Si queremos reforzar el cálculo mental y posponer, o prescindir de, el algoritmo traidicional, necesitamos una buena notación.

En el mundo anglosajón, la notación usual es escribir 27 \div 6 = 4\,R\,3. Creo que tiene un grave inconveniente: el signo igual que aparece no es en realidad un igual. También escribimos 35 \div 8 = 4\,R\,3, de manera que estamos abriendo la puerta a un conflicto cognitivo: «si dos cosas son iguales a una tercera, también son iguales entre sí». No conozco ninguna otra alternativa que se use, y no se me ocurre ninguna que pueda ser mejor que recurrir a la mal llamada «prueba de la división» (en realidad, es la definición de división), es decir, escribir 27 =4 \times 6 +3.

¿Cuáles son los inconvenientes de esta notación? Sólo veo dos posibles:

  • puede costar un poco al principio, aunque es posible que esta percepción sea simplemente debida a que no estamos acostumbrados a ella, y no sea en absoluto así para niños que empiezan con el tema. En todo caso, si una opción es adecuada, dedicarle el tiempo necesario para asimilarla bien desde el principio es siempre rentable en el aprendizaje a medio y largo plazo.
  • la segunda es un poco más seria, y es el papel aparentemente simétrico de divisor y cociente. Para resolver esto, tendríamos que establecer el convenio de que uno de los dos, digamos el cociente, va siempre el primero, y trabajar ejemplos como 29 =4 \times 6 +529 =7 \times 4 +1.

Todo lo demás me parecen ventajas: la más importante, desde luego, esta notación facilita la comprensión de la operación y la interpretación de los resultados. Es una relación numérica «como todas» y por tanto evidencia qué ocurre con el cociente y el resto cuando dividendo y divisor se multiplican o dividen por un mismo número. Y es la natural para hacer cálculo mental: estoy convencido de que alumnos acostumbrados a ella no se encontrarían en el arranque de la trigonometría con el problema que me comentaba mi hija, y que seguro que es familiar para muchos profesores de secundaria. Al tratar de reducir un ángulo de 740º, ¿cómo se dividía por 360?

 

Los algoritmos tradicionales – La división (II)

La última entrada la dediqué por completo al debate algoritmo extendido – algoritmo comprimido. Quedó pendiente otro comentario de David, que me parece incluso más relevante:

Si queremos defender los algoritmos tradicionales (nosotros los defendemos, lo que atacamos es su introducción prematura) su presentación se tendria que “construir” en un “ambiente de resolución de problemas” empezar por algoritmos extensos y a partir de simplificaciones llegar al estándar.

Elegir adecuadamente el momento en que se introduce un algoritmo es fundamental, y estoy completamente de acuerdo en que casi siempre se hace de forma prematura. La práctica usual en nuestros colegios es comenzar con el algoritmo de la suma, y cuando se ha trabajado hacer, como aplicación, problemas con sumas. Y lo mismo se repite con el resto de algoritmos de la aritmética básica. Si tuviera que elegir, creo que este me parece el error más grave en nuestra enseñanza de las matemáticas básicas, y no por casualidad le dediqué al tema la primera entrada de este blog. Voy a permitirme repetir aquí la idea principal: estoy convencido de que el origen de la frase más escuchada cuando se empiezan a trabajar problemas, el «no entiendo el problema», tiene su origen en que no entienden el algoritmo correspondiente: el algoritmo de la suma en columnas, tal y como se suele presentar (y para esto da igual si las llevadas se justifican adecuadamente o no), tiene poco que ver con la idea intuitiva de contar la unión de dos colecciones de objetos. Me parece esencial que los niños trabajen primero los problemas, y presentar después los algoritmos.

Sería importante que nos acostumbráramos a una precisión terminológica, y a que diferenciáramos las expresiones «saber dividir» y «conocer el algoritmo de la división»: un niño de 5 años, que tiene 6 caramelos y quiere repartirlos por igual entre 3 de sus amigos, encontrará con seguridad una estrategia para hacerlo. Por tanto, al menos en cierto sentido, sabe dividir. Otra cosa es que necesite ir desarrollando estrategias que le permitan manejar números mayores. Es esencial que los niños trabajen, ya desde el primer curso de primaria (y mucho mejor si es antes de haber empezado con ningún algoritmo) problemas variados. Por ejemplo, se podrían plantear en clase problemas como estos:

  • Miguel ha llevado al cole 3 caramelos, Luisa 4 y Ramón 5. En el recreo se comen 2 caramelos cada uno, y el resto se lo dan a María. ¿Cuántos caramelos se come María?
  • Ricardo tiene 10 euros. Le da la mitad a su amigo José, 3 euros a su amiga Luisa, y el resto a su amigo Juan. ¿Cuánto dinero le da a Juan?
  • He comprado 3 bolsas de chuches, y en cada bolsa hay 4 regalices. ¿Cuántos regalices tengo en total?
  • Quiero repartir mis 12 euros entre mis 3 amigos. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?

Por supuesto, para un niño de 6 años se trata de auténticos problemas, que habría que trabajar con calma: quizá en grupos, quizá con alguna indicación del profesor cuando hiciera falta. Para un niño que trabaja desde el principio de esta forma es mucho más sencillo ir desarrollando e integrando progresivamente los algoritmos necesarios para trabajar con números según éstos se van haciendo mayores.

Para terminar, voy a atreverme a hacer una propuesta concreta para el algoritmo de la división:

  • durante el primer ciclo de primaria, se deberían trabajar problemas como los mencionados anteriormente, incluyendo por supuesto conceptos como mitad, tercio, cuarto.
  • durante el segundo ciclo, y conforme se introduce la multiplicación, el tamaño de los números va aumentando. Un niño que ya sabe multiplicar puede plantearse el problema de repartir 170 «lo que sea» entre 9 «lo que sea». Y explorar distintas alternativas para hacer este cálculo tiene un valor formativo enorme.
    Creo que, hasta este punto, al 100% de acuerdo con lo que sugería el comentario de David.
  • en el tercer ciclo (y, desde mi punto de vista, no antes), se podrían empezar a introducir algoritmos para la división. ¿El estándar, ABN, otros? Mi opinión: no lo tengo claro. Y esto no es una forma diplomática de discrepar del comentario de David. Digo simplemente que no lo tengo claro, y que para poder formarme una  opinión tendría que ver antes de qué serían capaces los niños que llegaran al tercer ciclo, si durante los dos primeros se hubieran dedicado a las tareas propuestas anteriormente.

Los algoritmos tradicionales – La división

El propósito de esta entrada es continuar con la reflexión del comentario de David Barba a mi entrada anterior. Creo que han quedado planteados varios temas muy interesantes. Decía David en su comentario:

¿cuál és el algoritmo estándar el que hacemos en nuestro país, o el que incorpora las restas parciales escritas en el papel como en la mayoría de países del mundo y que és mucho más transparente (por menos comprimido) que “el nuesto”?

Coincido plenamente. Entre esos dos algoritmos, el «extendido» me parece mucho mejor. Supongo que está claro de qué estamos hablando. Por si acaso, he puesto un ejemplo en la figura. En la razón de la preferencia, también coincidencia total: al ser más explícito, es más fácil entender qué se está haciendo, y no olvidarlo con el tiempo.

algoritmos-division

Creo que merece la pena añadir varios comentarios:

  • no conozco estudios al respecto, pero mi impresión es que el «usual» sigue siendo el de uso generalizado. Ya tengo en la agenda el tema para las próximas prácticas. Si consigo que 100 alumnos se interesen por el algoritmo de la división que se usa en el colegio al que van de prácticas, creo que la muestra empezará a tener algún valor. De momento, sólo comentarios parciales. En la mayoría de los casos, ni se contempla la posibilidad del extendido. Simplemente, siempre se ha usado el otro. En algún caso, aún reconociendo que el algoritmo extendido era más adecuado para empezar, la maestra me comentó que había dejado de empezar con él, porque luego a los chicos les costaba pasar al otro.
  • las anécdotas tienen el valor que tienen, pero esta me parece significativa: hace unos años, mi hija mayor llegó a casa diciendo: «papá, no he entendido lo que hemos hecho hoy en el cole», y allí tenía, delante de mí, una división con divisor de 2 cifras. Por supuesto, no recordaba cómo se hacían, y también por supuesto no podía permitirme decírselo a mi hija de 8-9 años. A esa edad, que un padre matemático confiese tal cosa no habría sido muy indicado … Total, que me lancé a intentar dividir, y lo que me salió fue exactamente el algoritmo extendido. La división estaba bien, y mientras respiraba con alivio, escuché: «No, en el cole no lo hacemos así». Y bueno, tras empezar a escuchar qué tipo de cosas hacían en el cole, se activó la conexión neuronal correspondiente, y recordé el algoritmo «usual». No creo haber estudiado en mi EGB ese algoritmo extendido. Creo que fue lo que me salió simplemente porque es lo natural. Este fue uno de mis momentos ¡ajá! sobre educación matemática, y fue quizá donde empecé a descubrir la importancia de que los algoritmos sean «transparentes», como dice David. Personalmente, a mi me gusta el término «significativos», porque creo que concuerda muy bien con el significado de este término en teoría del aprendizaje.
  • como dice David, el algoritmo extendido es el usado en la mayoría de los países, con excepción quizá de algunos hispanoamericanos. Estaría encantado de recibir información de nuestros lectores hispanoamericanos. Creo que la pregunta surge de forma natural: ¿por qué, en esto también, Spain is different? Me parece una pregunta muy interesante. Hace unos años leí que en otros países el algoritmo de la división (el extendido) no podía dar el paso necesario para coincidir con el nuestro, por culpa del algoritmo de la resta; es verdad que si en el algoritmo de la resta las llevadas se hacen en el minuendo (lo cual es, por otra parte, lo natural), es más complicado pasar al algoritmo «comprimido» de la división. Pero claro, esto no hace más que cambiar la pregunta: ¿por qué el algoritmo de la resta que usamos en España es diferente al utilizado en la mayoría de los países? Mi hipótesis es que la flecha va justo en sentido contrario: precisamente para poder comprimir el algoritmo de la división, nuestro algoritmo de la resta tradicional toma nota de las llevadas en el sustraendo. Como digo, es sólo una hipótesis. Si algún lector conoce alguna investigación en «historia de la educación matemática» que trate este problema, estaría encantado de leer sobre el tema.

Tenía claro que el comentario de David tenía que contestarlo en una entrda, pero parece que van a ser dos. El tema que planteaba sobre cómo construir los algoritmos lo trataré en la próxima entrada, me parece clave. Termino hoy con su última observación:

¡Será porque escuelas que quieren tener prestigio de “buenas” adelantan los contenidos en matemáticas un curso y esto marca línea?

Totalmente de acuerdo, creo que ese es el origen de la mayoría de los problemas. Nos gustan las apariencias. Ya comenté en la entrada sobre la educación infantil ese fenómeno: los colegios que, para darse nivel, adelantan la suma (el algoritmo tradicional, la suma en columnas) al final del ciclo de infantil. En general, el sistema presiona en dirección a la cantidad, no a la calidad. Pensemos en dos niños que vienen del colegio: uno con 30 cuentas y 10 fichas, y otro que nos dice que estuvieron casi toda la clase pensando. ¿Cómo reaccionaríamos?