El debate sobre los deberes

En un comentario de la última entrada Lucas preguntaba por el programa de Jesús Cintora sobre los deberes, en particular sobre la intervención de Alberto Royo, autor de «Contra la nueva educación» (autor y libro que yo descubrí en el programa).

Mi conclusión principal sobre el programa es que es frustrante el poco rigor y la poca profundidad que hay en nuestro debate público. Como ya han pasado unos días, si algún lector quiere refrescar la memoria el programa está aquí y la intervención de Alberto Royo empieza en el minuto 23:30. Creo que merece la pena complementar esos minutos con esta entrada de su blog,

En este debate siempre he echado de menos los números. Ya en las lejanas reuniones del cole de mis hijas, lo único que intentaba cuando surgía el inevitable debate entre los bandos de padres pro y anti deberes era poner algún número a la cantidad de deberes. Nunca lo conseguí, los maestros solían salirse por la tangente de «cada niño es distinto». ¡Pues claro que cada niño es distinto! Por eso no tiene sentido mandarles a todos las mismas tareas, al que las necesita y al que no, al que se concentra y las hace en media hora y al que todavía se distrae mucho, y necesita media tarde para ello.

José Antonio Marina (minuto 49) sí se atrevió a poner un número: 15 minutos al día en 1º y subiendo 15 minutos cada curso. Me parece que llegar a 1,5 horas al final de primara es demasiado, pero al menos con estas cifras se podría empezar a hablar.

Como prueba de la superficialidad del programa me quedo con la situación de la estudiante de ESO (1h 02 min), y el relato de sus tareas del día: «pasar a limpio» una redacción de inglés y estudiar para el examen, estudiar los resúmenes de sociales y un ejercicio de matemáticas. Es verdad que «estudiar para un examen» es una tarea con duración difícil de valorar, y lo mismo estudiar los resúmenes, pero su madre en el programa dice que es una chica eficiente y que los hace en 1 hora. Mi reacción fue: ¿cómo es posible entonces que esté haciendo deberes a las 21:30? ¿No haría falta dar algo más de información sobre el horario de la estudiante durante esa tarde?

En fin, que el propósito fundamental de esta entrada era dar entrada al debate de los lectores que os animéis.

El máximo común divisor

El pasado sábado hubo una interesante conversación en twitter alrededor del máximo común divisor y los algoritmos para calcularlo. @druizaguilera proponía este diagrama conjuntista para determinar los factores comunes:

@raulf aportó este otro enfoque:

todo empezó con este tuit del pasado 7 de febrero: https://twitter.com/dacilgonz/status/696336412078186498

Estos días he seguido dándole vueltas al tema, y han cristalizado algunas ideas sobre las que llevaba tiempo pensando.

El primer comentario es que los métodos propuestos son realmente algoritmos para calcular intersecciones de multiconjuntos, y mi gran pega es que enseñan muy poco sobre qué es el máximo común divisor. Mi impresión es que la mayor dificultad de este tema no es el cálculo, sino la comprensión del concepto, para poder aplicarlo en la resolución de problemas. Del vídeo que enlacé en su día sobre lo que hacían mal en Singapur en los años 70, me interesa cada vez más una de las cosas que se mencionan: los procedimientos y la comprensión conceptual hay que trabajarlos en paralelo (el vídeo dura 5 min, y este tema se empieza a tratar a los 40 seg):

Para trabajar en paralelo la comprensión y el cálculo del mcd (y del mcm) me parece más interesantes las actividades que proponen Cecilia Calvo y David Barba en su trabajo publicado en SUMA, y que los autores han puesto aquí (vía @druizaguilera).

El tema del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo lo trato en magisterio, a todos los alumnos les suena la receta de «factores comunes …», y lo hacen bien, en general, sin necesidad de procedimientos ad hoc. Lo que me sorprende es que ninguno parece estar familiarizado con el hecho de que a partir de la factorización de un entero es fácil escribir el conjunto de sus divisores, lo cual es tanto como decir que no tienen idea de por qué funciona la receta que usan para calcular el máximo común divisor. Creo que es un tema sencillo de entender, no hay más que pararse a comparar el conjunto de divisores de un número como 36 con su factorización. La relación entre factorización y divisores da mucho juego (estos temas han sido para mí un descubrimiento reciente, a raíz de impartir clases en magisterio: la aritmética elemental está llena de relaciones que dan lugar a auténtico pensamiento matemático). Por ejemplo, a partir de la relación entre factorización y divisores se pueden contar el número de divisores de un entero: si $n = p^2\cdot q^3\cdot r$ (p, q y r son números primos distintos, claro), entonces n tiene 24 divisores. A la inversa (examinar un problema al revés es una de las mejores formas de profundizar en su comprensión), puedo construir números con, por ejemplo, 18 divisores, de estas formas: $p^8\cdot q$ , $p^5\cdot q^2$, $p^2\cdot q^2 \cdot r$ . ¿Cuál es el número más pequeño que tiene 18 divisores?

Hay otro aspecto quizá incluso más importante. Los pedagogos dicen (y en este punto estoy de acuerdo con ellos) que algo se ha aprendido de verdad cuando el conocimiento se puede transferir a otra situación. Y aquí radica la extraordinaria potencia del método matemático: que las ideas y las estrategias que involucra son transferibles a una cantidad sencillamente sorprendente de situaciones. Cuanto más especializado sea un procedimiento, menos transferible será. No dudo de que las propuestas del principio de esta entrada sean útiles para que los alumnos hagan los cálculos necesarios para superar el examen correspondiente, lo que dudo es qué quedará de todo eso un año después de haber hecho ese examen.

Curso de formación matemática de maestros en Madrid

Una entrada rápida para anunciar un próximo curso de formación matemática para maestros. Creo que el nuevo equipo de la Comunidad de Madrid está sinceramente interesado en trabajar en este tema. El plazo de instripción ya está abierto, y se cierra el lunes 22. El curso comienza el miércoles 24 y está organizado en colaboración con la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Españóla.

Más información aquí. Espero que el curso sea un éxito, y que sea sólo el comienzo de una serie.

El algoritmo de la división: España-Singapur

A raíz de esta entrada, donde enlazaba este vídeo en el que un profesor de Singapur hablaba sobre los errores que se cometían en la enseñanza de las matemáticas en Singapur hace 40 años, algunos lectores preguntaron sobre qué habían hecho allí para corregir esos errores. Lo que quiero mostrar hoy es un ejemplo del tipo de cálculos que hacen ahora en primaria, comparando su enfoque del algoritmo de la división con lo que se hace en nuestras aulas.

Esta imagen está sacada de un libro de 4º de Primaria de Marshall-Cavendish.

Singapur-4-division

La organización del algoritmo es la más común en el mundo anglosajón, pero creo que es fácil de ver. El divisor está a la izquierda (con el paréntesis a su derecha), el cociente se pone arriba, y los restos parciales igual que en nuestro sistema. Estas son las primeras divisiones (en el sentido de aplicación del algoritmo tradicional) y me gusta el detalle de los cuadrados, que ayudan a que el alumno no se pierda. Pero la diferencia fundamental con nuestro sistema es que son las primeras que hacen … ¡y las últimas! No hay en este curso ni en los siguientes divisiones más complicadas, ni divisores de dos o más cifras.

Este otro ejemplo está tomado de uno de nuestros textos de 3º de Primaria. Es también el comienzo del tratamiento del algoritmo (la 2ª página), pero tras un ejemplo donde aparecen las restas explícitamente, ya se empeñan en decir que «en la práctica no se escriben las restas».

division-españa

Quiero insistir en este punto: será, en todo caso, en la práctica española. Lo más extendido a nivel internacional es escribir las restas completas. De hecho, sigo buscando (sin éxito) información sobre cuándo y por qué decidimos tomar este camino, que creo que está relacionado con nuestra también peculiar forma de restar. Para poder hacer las restas de la división mentalmente, hace falta gestionar las llevadas de la resta en el sustraendo, como se hace en España, y no en el minuendo, lo generalizado en otros países.

Deberíamos estar debatiendo sobre el algoritmo tradicional y, en particular, sobre la conveniencia de seguir haciendo divisiones con divisores de dos y tres cifras, como sigue diciendo el currículo de la LOMCE. Pero, al menos, mientras llegamos a eso deberíamos optar por que los alumnos escribieran la resta explícitamente, ya que esto facilita bastante la comprensión del algoritmo (aparte de ser lo que harán después, si llegan a dividir polinomios). El argumento de que así se favorece el cálculo mental me parece falaz: el mayor interés del cálculo mental es que favorece la comprensión; no tiene sentido usarlo justo aquí, cuando su papel es «ayudar a no entender».

¿Por qué recurren al móvil para calcular el doble de 16?

Justo antes de navidades vi un par de tuits de @unmatematico que decían

Alumnos de ingeniería que usan la calculadora para operaciones del tipo «32 – 24», «-3-2+1» [sic] y cosas similares

Acabo de ver dos más muy buenas «2x2x4» y «9-16». Realmente tenemos un problema …

Creo que muchos hemos visto cosas similares. En mi caso, la última que recuerdo es la que da título a esta entrada. Contesté al tuit, preguntando por las posibles causas, y @druizaguilera contestó con esta lista:

prohibición en primaria + uso indiscriminado en secundaria (y sin instrucciones)
poco trabajo del cálculo mental
pocas (nulas) estrategias personales de cálculo
pereza

Contesté diciendo que estoy esencialmente de acuerdo (algo se podría matizar, porque obviamente 3 es consecuencia directa de 2), pero que me falta una, y es el exceso de cálculo tradicional, sobre todo en primaria. A esto @unmatematico contestó diciendo que no veía claro el mecanismo por el cual el exceso de cálculo en primaria podría llevar a usar la calculadora para operaciones como las mencionadas en la universidad, y me comprometí a exponer mis reflexiones, con el espacio adecuado, en una entrada del blog. Aquí está.

Es verdad que no es imposible trabajar tanto los algoritmos tradicionales como las estrategias de cálculo mental. De hecho, esto es lo que se debería hacer, porque es lo que figura en nuestro currículo de primaria (junto con la iniciación en el uso de la calculadora, y el decidir qué método usar en cada caso). Pero no es sencillo, porque las estrategias para el cálculo mental son distintas (a veces, casi contrapuestas) a las rutinas que se adquieren con los algoritmos tradicionales. De hecho, la principal dificultad que se encuentran mis alumnos para avanzar en el cálculo mental es que tratan de imitar mentalmente lo ya conocido para el papel. También se puede uno encontrar el caso contrario: el niño que ha desarrollado estrategias personales para el cálculo de sumas y que, al empezar en el cole con el algoritmo en columna pierde la comprensión del proceso de suma que había desarrollado.

Me parece que el problema tiene difícil solución mientras sigamos empeñados en que los niños aprendan a hacer divisiones con divisores de tres cifras, como la del ejemplo, sacada de un libro de 5º para la LOMCE y de un problema «realista»: una panadería hace 15408 barras de pan, y pone 237 en cada cesta. ¿Cuántas cestas necesita?

barras-pan

Nota final: encima, seguimos empeñados en comprimir la escritura de la división, en lugar de escribir ese $237 \times 5$ que figura en la ayuda. Creo que estamos bastante solos en el mundo a la hora de comprimir así la división. Desde luego, no se hace en los países anglosajones. ¿Algún lector de habla hispana nos comenta cómo se escriben estas divisiones en su país?

Segunda nota final: la entrada me ha quedado menos convincente de lo que la imaginaba antes de empezar. Es un tema que daría para estudios y trabajos de aula.

¿Por qué decimos multiplicado por?

Ayer caí en la cuenta, al escribir esta frase en unas notas sobre división de fracciones: «dividir por 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2». Y como al escribir esta entrada, sobre las ventajas de usar «veces» en lugar de «multiplicado por», terminaba diciendo que no veía ninguna razón para el uso del «multiplicado por», salvo la fuerza de la costumbre, a riesgo de resultar pesado quiero volver sobre el tema para aclarar que «multiplicado por» refleja el hecho de que la multiplicación es la operación inversa de la división, y que en ambos casos el operador actúa por la derecha.

Eso sí, creo que se trata simplemente del «gol del honor» (y en tiempo de descuento). La terminología «veces» me parece más indicada para introducir la multiplicación, y creo que lo adecuado sería añadir en algún momento (seguramente al principio de la secundaria) que «3 veces 4» se dice también «4 multiplicado por 3» (que resulta ser igual a «4 dividido por 1/3»).

El problema de la vaca

No sé si seguirá siendo conocido aquél problema sobre un ingeniero, un físico y un matemático, en el que el matemático terminaba diciendo «Sea una vaca redonda y sin rozamiento …». No, no voy a hablar de ese problema, pero si de otro problema con una vaca, y que tiene algo tiene que ver con el modelado o, más en general, con la interacción matemáticas-realidad.

El disclaimer habitual cuando hablo de mis alumnos de magisterio: creo que son una buena muestra del alumno medio, y me encantaría recibir información sobre cómo funciona el problema en un aula de 3º-4º de ESO.

En el problema hay una vaca en el exterior de un recinto, y está atada a la valla. Se pregunta por la región en la que la vaca puede pastar, y en función de la geometría del corral, y de la longitud de la cuerda, pueden aparecer versiones de dificultades muy variadas, cosa que siempre me parece interesante. El caso es que ya lo había planteado un par de años, sin ningún dibujo de apoyo en el enunciado, y me encontraba con que, sencillamente, la gran mayoría alumnos no entendían el problema cuando lo trabajaban antes de clase. De forma que este año me decidí a incluir un dibujo, y este era exactamente el enunciado que aparecía en la hoja de problemas de hace un par de semanas:

Lo sorprendente (al menos, a mi me lo parece) es que, al pedirles en clase que contestaran lo que había hecho sobre el primer apartado, y lo entregaran, una clara mayoría de los alumnos (al menos el 80%) sigue sin ser capaz de hacer algo coherente. La respuesta mayoritaria fue dibujar una circunferencia, con centro en el punto donde está atada la vaca, pero ignorando completamente el recinto rectangular. Y creo que esto pone de manifiesto un tema que no sé si se ha estudiado lo suficiente, y es la curiosa interacción (o falta de ella) entre los procesos mentales que usan muchos alumnos al tratar de resolver problemas de matemáticas, y los procesos del «sentido común», que usan cuando no están «haciendo matemáticas».

Por supuesto que es algo conocido, por ejemplo, cuando se dan respuestas claramente absurdas, sin reflexionar un momento sobre si la solución tiene o no algún sentido. El «tratamiento» para arreglar esto también me parece claro: plantear problemas que tengan conexión con el entorno conocido, y pedir que se reflexione sobre lo trabajado. Pero, ¿de verdad que no se le puede plantear un problema como éste a un alumno que no se haya dedicado al pastoreo?

Suena familiar, ¿verdad?

Una minientrada, para recomendar encarecidamente la visión de este vídeo (5 minutos). En él se habla de lo que hacían mal en Singapur enseñando matemáticas hace 40 años. ¿No resulta inquietantemente familiar?

(Quiero dar las gracias a David Ayerra, del colegio Irabia-Izaga, de Pamplona, que no sólo me ha dado a conocer el vídeo sino que lo ha subtitulado).

Por resumir …

Creo que el debate causado por el tema «veces vs multiplicado por» ha sido muy interesante (gracias a todos por los comentarios) y que merece la pena una última entrada resumen (con la promesa de no volver a escribir sobre este tema en una temporada, es cierto que empieza a resultar machacón).

El debate de darle sentido a la expresión $2 \times 3$ se puede tener en el terreno puramente matemático, o en el de la educación matemática. Me voy a centrar en el segundo, porque me parece mucho más importante.

Las dos opciones más extendidas para interpretar $2 \times 3$ son «dos multiplicado por tres», es decir, $2 \times 3 = 2+2+2$ y «dos veces tres», es decir, $2 \times 3 = 3 +3$ . Es verdad que hay otras propuestas, tendentes a unificar las dos posibilidades, como leer $2 \times 3$ en el orden «dos tres veces» o «tres veces dos», pero me parecen artificiales, también chocan con el orden natural del lenguaje, y quizá podrían ser una buena opción si en algún lugar estuviera escrito el hecho inamovible de que $2 \times 3$ tiene que ser «dos multiplicado por tres». Pero es que no es así, si echamos un vistazo al resto del mundo es fácil darse cuenta de que existen las dos opciones.

En inglés casi siempre dicen «two times three», aunque es verdad que esa expresión la interpretan en algunos lugares como «2+2+2» y en otros como «3+3» (este hecho me ha llamado mucho la atención desde que lo descubrí). En la reforma del Common Core de EEUU han optado por unificar lenguaje usual y sentido matemático, y seguro que esto es lo que ha dado lugar a la confusión del alumno que ha hecho saltar toda esta polémica.

En Alemania (y presumo que en los países de influencia germana) también usan el «veces», y lo interpretan según el lenguaje usual:

En Singapur también es este el convenio y creo que en Asia en general es la alternativa mayoritaria.

Una vez comprobado que se puede elegir, estas son las ventajas que le veo a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):

(y más importante), se entiende mejor. Un niño de 4-5 años que se está iniciando en los números y en el lenguaje está en condiciones de interpretar la expresión «dos veces tres». Por el contrario, la expresión «tres multiplicado por dos» resulta muy abstracta para los niños de 7-8 años, y lo que ocurre muchas veces es que aprenden de memoria las tablas de multiplicar y son justo las tablas las que le dan sentido a las expresiones como «siete multiplicado por ocho». Eso es poner el proceso de aprendizaje completamente al revés, y las dificultades en la resolución de problemas son inevitables.
la propiedad distributiva (en uno de los dos órdenes) es completamente natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6. Si somos coherentes con el «multiplicado por», el doble de 6 debe escribirse $6 \times 2$ lo que resulta un tanto peculiar, ¿no?
en el álgebra, en expresiones como $2x$ , el multiplicador se pone a la izquierda. Un error sorprendentemente común en los primeros cursos de secundaria es encontrar alumnos que escriben $x + x = x^2$ . Me pregunto si una de las razones de que ocurra esto es no tener del todo asumida la multiplicación, y el sentido de «dos veces x«.
con las fracciones pasa algo parecido, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
Y, hablando de operadores, en la multiplicación el operador es el multiplicador, y los operadores van casi siempre a la izquierda (es cierto que hay operadores que actúan por la derecha, pero son pocos, y propios de matemáticas mucho más avanzadas).

He pensado en ventajas del «tres por dos», pero no se me ocurre ninguna, salvo naturalmente la dificultad del cambio. Me interesa de verdad escuchar alguna otra.

por … ¿por qué?

Visto que el tema de la multiplicación salta a los medios de masas (muchas gracias por la mención, Joséangel), me lanzo a escribir una entrada rápida con mis últimas reflexiones sobre el tema. El término «por» es una abreviatura de «multiplicado por» y cuando escribimos «3 x 5», con la lectura usual en España, debemos leer «3 multipliciado por 5»: 3 es el multiplicando, 5 el multiplicador. Por tanto, 3 x 5 es una abreviatura de 3 + 3 + 3 + 3 + 3. El problema es que esta interpretación no es nada intuitiva para el alumno que se está iniciando en la multiplicación, y creo que este problema está en la base de muchas dificultades de aprendizaje. Para liarlo más, como los adultos tenemos asumida la propiedad conmutativa, no siempre somos coherentes. Por ejemplo, si queremos calcular el doble de 6, casi todos escribiremos 2 x 6, cuando según la lectura «por» el doble de 6 debería escribirse 6 + 6, es decir, 6 x 2.

No creo que valga el argumento de que «es lo mismo», porque desde luego que el resultado es el mismo, pero los significados de $6 \times 2$ y de $2 \times 6$ son distintos, y comprender por qué el resultado es el mismo es una parte importante de la comprensión de la operación de la multiplicación.

Creo que todo son ventajas al sustituir el término «por» por el término «veces», como hacen en la mayoría de los países. El niño entiende sin ninguna dificultad el significado de la expresión, y creo que el aprendizaje es mucho más natural. Sólo haría falta vencer una poderosísima fuerza que rige el sistema educativo: la fuerza de la inercia.

Y si algún día cambiamos, desde luego que habría que ser más comprensivos que el maestro del ejercicio que ha sacado el tema a debate. Sobre los problemas causados por un cambio en alguna metodología que chocan con lo que las familias recuerdan de su educación básica habrá que escribir en alguna ocasión.

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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