La elusiva propiedad distributiva

Me sabe muy mal criticar a un profesor, pero creo que hasta que no reconozcamos todos en voz alta que tenemos un problema muy grave con la formación del profesorado, no habrá ninguna posibilidad de que comience a arreglarse. Acabo de recibir 3 whatsapp de mi hija (3º de la ESO), que transcribo literalmente:

me acaba de decir mi profe que lo que se aplica al multiplicar dos monomios o polinomios no es la distributiva
que la distributiva solo tiene uno y esto tiene muchos multiplicadores
y yo en plan pero es la misma propiedad distributiva 😥

¿Qué hago ante esto? ¿Me atrevo a sugerirle a mi hija que se lance a preguntar mañana que entonces qué propiedad se está utilizando?

Dos medios, dos velocidades

Con esa entrada quiero empezar la reflexión sobre el tema que propuso Conrad Wolfram en su presentación Stop teaching calculating, start learning math. El mismo mensaje, en el siempre atractivo formato de las TED talks, aquí. Me parece un tema de gran complejidad, y estoy muy lejos de tener una propuesta completa. Lo que me ha parecido más adecuado es empezar a presentar ejemplos concretos de qué impacto debería tener un buen uso de la capacidad de cálculo de la que estamos rodeados en temas ya presentes en las aulas. De hecho, hay un punto de la TED talk con el que discrepo. Wolfram acaba su presentación diciendo que el cambio en el enfoque de las matemáticas debe ser brusco, pasando sin solución de continuidad del paradigma actual a su propuesta. Dice que, de lo contrario, podríamos caer en el abismo que separa ambos enfoques. La verdad, no tengo claro cuál es ese abismo, ni me parece factible un cambio radical en ningún aspecto de un sistema como el educativo, cuya complejidad fuerza invariablement a que los cambios sean graduales. Sólo conozco un ejemplo de cambio radical en la enseñanza de las matemáticas, la New Math de los 60 en EEUU, que nos llegó como la Matemática Moderna en nuestra EGB de los 70. Creo que poca gente discrepa de la afirmación de que el fracaso fue absoluto.

Mi propuesta es, desde luego, más conservadora que la de Wolfram, pero creo que puede servirme (y espero que servirnos) para avanzar en la reflexión. A estas entradas les asignaré la etiqueta TIC; el término no me gusta, por el uso que se le ha dado, consistente demasiadas veces en hacer con el ordenador lo mismo que se hacía antes sin él. Pero desde luego sirve para el propósito de indexación, y puede ser también una forma de reivindicar el término.

Hoy quiero presentar un problema que leí en El placer de la x, de Steven Strogatz. En sí mismo, el libro me parece absolutamente recomendable: creo que logra bastante bien eso tan complicado de transmitir ideas matemáticas importantes a lectores sin conocimientos matemáticos. El problema es el siguiente:

Una persona quiere ir desde el punto A de la figura hasta el B. Por encima de la recta r hay nieve, y puede moverse a una velocidad de 0’8 m/seg. Por debajo de la recta, el terreno está despejado y se mueve a una velocidad de 1’5 m/seg. En la figura se muestra una posible trayectoria.

Calcula, en función de x, cuánto tiempo tarda.

Representa la función obtenida con ayuda de un ordenador, y da una estimación del valor de x para el que el tiempo del trayecto es mínimo.

$refraccion$ Un primer valor de este problema es desde luego el de la interdisciplinariedad, y cómo sirve de excusa para explicar que este fenómeno de velocidades distintas es lo que explica la refracción de la luz, y cómo la luz lo único que hace es moverse por el camino más rápido (ninguno de mis alumnos había oído hablar del tema).

Desde el punto de vista puramente matemático, el primer apartado me parece una bonita aplicación del Teorema de Pitágoras, no sencilla pero que sí debería ser accesible a los alumnos de 2º-3º de la ESO. Mis alumnos de magisterio lo resolvieron aceptablemente bien, el Teorema de Pitágoras es una de esas cosas que se estudia con el suficiente detalle. Pero en el segundo apartado, la gran mayoría se quedaron bloqueados. Contaba con ello, por supuesto, nunca se habían enfrentado a algo parecido. Se trataba de la preparación para hablarles unos minutos de las posibilidades que nos ofrecen los programas de representación de funciones. Incluso para los alumnos que habían estudiado el Bachillerato de Ciencias, esta función les resultó extraña («fea», en palabras de alguno). Por supuesto que es la reaccion normal: es una función muy distinta a las que habían visto hasta ese momento, y muy distinta a las que se habían encontrado durante el excesivo tiempo que se dedica en bachillerato a la representación de funciones (sí, ya lo sé, obligado por la selectividad).

La observación que me parece más importante, en relación con la propuesta de Wolfram, es que la opción de estudiar la representación de funciones prescindiendo de los ordenadores nos obliga a dedicarnos a un tipo de funciones muy especial, casi siempre sin ninguna interpretación relevante, y además invirtiendo una gran cantida de tiempo en ello; representar una función no es sencillo. Dedicaré pronto una entrada completa al tema de representación de funciones, pero termino con mi opinión sobre el tema: creo que deberíamos dedicar tiempo a representar funciones sencillas, de las que se pueden dibujar (al menos de forma aproximada) «a ojo», y después pasar a ver funciones que aparecen en el estudio de los más variados fenómenos. Estas serían, casi invariablemente, excesivamente complicadas para dibujarlas a mano, pero ¡para eso están los ordenadores! Interpretar la representación de estas funciones, y sus implicaciones en los modelos subyacentes, es una forma mucho más productiva de invertir el siempre escaso tiempo disponible.

¿Quién mató a la geometría?

Ayer @lolamenting lanzó una pregunta muy interesante: ¿por qué la geometría está prácticamente desaparecida de nuestras aulas de primaria y secundaria? Contesté en cuanto la leí, casi sin pensar (es difícil sustraerse del todo al lado oscuro de las nuevas tecnologías), diciendo que me parecía una pregunta muy importante, y muy difícil de contestar. Me reafirmo en la primera parte, pero no en la segunda. Desde luego, voy a dar una respuesta especulativa, pero me parece que bastante convincente. Lo que me parece claro es que en la enseñanza de las matemáticas se han producido dos fenómenos muy claros:

A. Los currículos, pero sobre todo la práctica diaria en la mayoría de nuestras aulas, se han deslizado hacia la parte más mecánica de las matemáticas: algoritmos, fórmulas, rutinas, y recetas varias. La resolución de problemas, el razonamiento lógico y la comprensión conceptual son especies en peligro de extinción.
B. La geometría ha perdido peso en el curriculo, pero todavía más en las aulas. Es una de esas partes por las que se suele pasar más deprisa (junto con la estadística).

Mi tesis es bien sencilla: A explica – y es la causa de – B. ¿Qué caracteriza a la geometría? Sin duda, lo importante que son en ella el razonamiento lógico y la resolución de problemas (la comprensión conceptual es simplemente requisito previo de ambos). Esto ya me parece suficiente explicación: tenemos dos fenómenos, A y B,y el primero explicaría el segundo. Si la navaja de Ockham sigue afilada, lo más probable es que sea su causa.

Pero es que además hay varios argumentos adicionales que refuerzan esta explicación: ¿qué geometría se estudia y cómo se hace? Al principio, una buena parte del tiempo se dedica al cálculo de áreas y volúmenes, donde todo se reduce a memorizar una lista de fórmulas mucho mayor de lo necesaria, y a aplicarlas a ejercicios completamente rutinarios. Cuando avanza la secundaria, el estudio de la geometría se inclina claramente hacia el álgebra: en trigonometría, por ejemplo, se dedica mucho más tiempo a las identidades trigonométricas, o a resolver ecuaciones, que a los problemas.

Que esta tendencia está llegando a extremos inquietantes me ha quedado claro con el comentario de @lolamenting en esta entrada: parece que no es extraño encontrar profesores que impiden a los chicos apoyarse en la intuición geométrica para resolver problemas de fracciones. Sin exagerar, me parece que es una de las cosas más alarmantes, e incomprensibles, que he oído en los últimos años.

Por supuesto, en otras partes la situación no es la misma. Termino la entrada con unos ejemplos de los libros de primaria de Singapur. En general, la geometría tiene una presencia mucho mayor que aquí, ya desde primaria. En particular, usan los problemas de ángulos para iniciar a los niños en el razonamiento geométrico, y creo que lo hacen muy bien. Este es un ejemplo de 4º de Primaria:

Este otro de 5º:

y, por último, el de 6º:

Por supuesto, siguen con el tema en secundaria. En algún momento habrá una entrada dedicada a profundizar en este tema.

¿1/8 de cada vaso, o 1/8 del total?

Stop teaching calculating, start learning math! Si tuviera que rebautizar este blog, en inglés, me parecería un título perfecto. Creo que es suficiente razón para que no pueda dejar de recomendar una conferencia de Conrad Wolfram (el de Wolfram Alpha) con ese título. Me parece que lo justo es referenciarla a través del blog de Belén Palop, la amiga que me la recomendó. Suscribo todo lo que dice, aunque es verdad que quedan muchas cosas en el aire: a qué se refiere exactamente con «unos pocos cálculos básicos que sí habría que aprender» y, sobre todo, cómo habría que diseñar esas «nuevas matemáticas». Porque no es evidente, en absoluto, cómo introducir los conceptos y los problemas para que la capacidad de cálculo que tenemos a nuestra disposición ayude a la comprensión, y ayude a «aprender matemáticas».

Pero de lo que quería hablar hoy es de proporcionalidad. Creo que esta semana he dado un paso más en la comprensión de las dificultades de aprendizaje de la proporcionalidad y creo (espero) haber llegado al fondo, al menos en lo que respecta al tema que quiero tratar. Todo surgió a raíz de este problema (recuerdo que doy clase en magisterio, todos mis alumnos son mayores de edad):

Si preparamos una sangría con la siguiente receta: 2 medidas de zumo, 1 medida de ginebra (con 2/5 de alcohol) y
5 medidas de vino (con 1/8 de alcohol), ¿cuál será la proporción de alcohol en la bebida resultante? Da el resultado como
fracción irreducible.

Es un problema que, con alguna variante, llevo proponiendo desde que empecé en magisterio, en el curso 2010-2011. Unos alumnos sabían hacerlo, otros no, pero no había llegado a entender dónde empezaban las dificultades de estos últimos. ¿Que por qué este año ha sido distinto? Bueno, creo en cierto sentido el proceso es incremental: una vez entendida una dificultad, estás en mejores condiciones para detectar la que puede haber por debajo de la anterior. Pero también es cierto que cada año soy más consciente de la importancia de dedicar el tiempo necesario a un problema donde aparecen dificultades, que es mucho más efectivo hacer la mitad de problemas, pero aprovecharlos al máximo. Y, por último, cada año me esfuerzo más en crear el ambiente necesario para que se atrevan a preguntar, por «tonta» que parezca la duda. El caso es que ante la pregunta ¿está claro el enunciado? una alumna preguntó: pero el alcohol del vino, ¿es 1/8 en cada vaso, o 1/8 de los cinco vasos? Mi reacción fue explicarlo como algo «evidente», que era un problema sólo para esa alumna. Pero enseguida me di cuenta de que las cosas no marchaban, y cuando les pregunté la mitad de la clase reconoció que no veía nada claro que las dos alternativas fueran exactamente la misma. Evidentemente quedó claro que había una falta de comprensión muy profunda, que había que solucionar, y tras un par de intentos que funcionaron a medias, el que realmente convenció a la audiencia fue el de la figura, con la pregunta: si tengo una pared con cinco ladrillos, y pinto 1/8 de cada ladrillo, ¿qué proporción de la pared he pintado? (Una vez más, la geometría al rescate).

Me parece que hay pocas ideas más básicas que ésta en proporcionalidad, y en ese entido decía antes que creo haber «llegado al fondo». También creo que merece la pena comentar que algunos de los alumnos que confesaron su falta de comprensión son de los «aplicados», que no tienen ningún problema en seguir la parte más «estándar» de la asignatura, y que apostaría a que fueron alumnos más bien brillantes en secundaria.

Un último comentario: tras haber probado varias alternativas, creo que esta misma idea es la más efectiva para modelar este tipo de problemas. Una vez que los alumnos entienden que el problema de la sangría es exactamente el mismo que la pregunta de qué parte del rectángulo de la figura he pintado de azul, todo resulta sencillo. (Con lo que no hubo ningún problema fue con el «1/8 de 5/8», esa dificultad fue obvia el primer año, y desde entonces le dedico el tiempo suficiente en la teoría).

La división: una operación con dos significados

Quede claro desde el principio: soy consciente de que el tema del que quiero hablar hoy es bien conocido en didáctica. Algún día intentaré escribir sobre por qué las ideas más relevantes de la didáctica llegan tan poco a las aulas.

El problema con la división es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores: ya he escrito varias entradas sobre el algoritmo de la división, y esta es la primera sobre su significado. Consideremos estos dos problemas:

Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son «problemas de dividir». Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de «dividir por 1/2» porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases de magisterio del curso pasado, después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como «Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?»

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que,una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.

Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.

JumpingSums

Hoy quiero presentar mi primera contribución al campo de los recursos para el aprendizaje de la aritmética. Es un trabajo fin de carrera de un estudiante de Ingeniería Informática, y se trata de una aplicación para dispositivos Android. Está basado en la «recta numérica vacía», una idea que descubrí en este artículo de David Barba y Cecilia Calvo, y que me parece muy interesante para trabajar las sumas y restas, de naturales y enteros. La aplicación se llama JumpingSums y la podéis descargar en este enlace. En la figura podéis ver un par de capturas de pantalla, y lo que hay ahora mismo es una versión beta, por lo que me encantaría recibir información de los que os animéis a utilizarla, con sugerencias, fallos y cualquier comentario que se os ocurra. Podéis hacerme llegar la información bien con un comentario en el blog, o con un correo a masideas.menoscuentas@gmail.com.

Uso y abuso de las fórmulas I – Áreas

Este verano las fórmulas han estado de moda. Primero, la de sostenibilidad de las pensiones; luego, la fórmula para el cálculo de las becas. Por supuesto, la reacción ante ellas ha sido la de siempre, en la línea con el aviso que cuentan los autores de libros de divulgación: con cada fórmula que aparezca en el libro perderás lectores. Las fórmulas no son más que un aspecto del lenguaje de las matemáticas, aunque es verdad que uno de los aspectos que puede resultar menos intuitivo. Sobre todo, si como con muchas otras cosas cometemos el error de introducir demasiadas y demasiado pronto, sin dedicarle el tiempo adecuado a la comprensión. Un tema en el que me parece que esto queda muy claro es en el cálculo de áreas, al final de primaria y durante la ESO. Voy a dedicar esta entrada a reflexionar sobre el uso de las fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas. Creo que todos los profesores de final de bachillerato, y primeros cursos universitarios nos hemos escandalizado ante alumnos que no recordaban fórmulas básicas. Me parece que la principal razón es que hay realmente demasiadas fórmulas, y que deberíamos pensar con cuidado cuáles son realmente necesarias.

Como primer ejemplo de fórmula superflua (bueno, más que superflua, diría perjudicial), pondría la del área de un polígono regular, en la figura.

No se trata sólo de que la fórmula aparezca muchas veces sin justificación. Por mucho trabajo que nos tomemos en deducir la fórmula en clase, si después lo que hacemos al resolver los problemas es recurrir a la fórmula, lo que quedará en la cabeza de la mayoría de los alumnos será esa fórmula final (bueno, quedará durante un tiempo, claro, porque es un tipo de conocimiento que no integran en sus esquemas mentales, un conocimiento no significativo, y que la mayoría olvidarán un tiempo después). ¿Qué ventaja tiene esta fórmula sobre el hecho de que un polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos iguales? Por el contrario, yo si le veo una ventaja a esta segunda opción: se inserta en cosas que ya se conocen, y permite repasar el área del triángulo cada vez que se resuelve un problema de esta forma. Se trata de un ejemplo de manual de aprendizaje significativo.

¿Y los trapecios? El otro día pregunté en mi clase de 3º de magisterio por el tema. Muy pocos, claramente por debajo del 10%, recordaban la fórmula para el área de un trapecio. De nuevo, una fórmula fácil de deducir pero, ¿merece la pena? ¿No es mucho mejor que se den cuenta de que un trapecio se descompone fácilmente en dos triángulos, ambos de altura h, uno con base b y otro con base a? En este caso, además, hacerlo así permite trabajar triángulos en posiciones «no usuales», una fuente de problemas para muchos alumnos hasta bien avanzada la secundaria.

Pero sin duda las fórmulas que primero eliminaría de las aulas son las de la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular.

¿Por qué? Pues porque cada vez que las usamos estamos desperdiciando una magnífica oportunidad de repasar el concepto de proporcionalidad. Peor aún, cada vez que las utilizamos estamos reforzando esa imagen de las matemáticas elementales como un conjunto de recetas y fórmulas arbitrarias, sin conexión entre sí, y estamos perdiendo una magnífica oportunidad de mostrar las matemáticas como lo que son: un conjunto coherente y unificado de principios, conceptos y relaciones, donde abundan las conexiones entre distintas áreas, y donde nada es porque sí. Adaptando el título del blog a el tema del cálculo de áreas, diría que lo que hace falta es más razonamiento y menos fórmulas.

Para terminar, voy a atreverme a hacer un resumen de las fórmulas que creo necesarias para el tema de figuras planas:

área de los paralelogramos y de los triángulos
longitud de la circunferencia y área del círculo

¿Olvido alguna?

Por supuesto, cuando pasamos al tema de volúmenes de sólidos y área de superficies la situación empeora. Revisaré este tema en una próxima entrada.

Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Las estaciones. Día y noche

Esta noche he hecho un vuelo transoceánico y, al mirar la pantalla de información del vuelo, donde se veían las zonas día/noche, me ha llamado la atención que, en lugar de las típicas fronteras de tipo sinusoidal, esta vez lo que se veía de noche era un rectángulo perfecto. La verdad, no lo había pensado nunca, y he tardado unos segundos en encontrar la explicación: ¡Claro, estamos justo en el equinoccio de otopo!
Me pregunto cuántos de los pasajeros se habrán dado cuenta y cuántos se habrán preocupado por la explicación. Pregunta retórica, claro, se de sobras que casi ninguno. Pero me parece que en este tema los educadores tenemos una buena cuota de responsabilidad: desde que un niño entra en el colegio en primaria, y hasta que sale del sistema educativo, en lugar de fomentar la curiosidad, el acostumbrarle a buscar el porqué de las cosas, lo que hacemos es anestesiarle esa curiosidad (por supuesto, estoy hablando en general).
Me he dado cuenta de que hace bastante que no escribo de interdisciplinariedad, y que el tema de las estaciones se presta perfectamente. ¿Habéis preguntado a alguien alguna vez el porqué de las estaciones? Los «buenos estudiantes», en general, recuerdan que la razón no es la distancia entre la tierra y el sol, sino la inclinación con que los rayos solares llegan a la tierra. Ahora bien, si queremos rascar un poco más, y preguntamos por qué esa inclinación cambia a lo largo del año, la cosa se complica un poco más. Y me parece que es una idea para una actividad perfecta para secundaria, idealmente coordinada con la asignatura de tecnología, o la de ciencias, o la que se pueda. Creo que es tema a caballo entre las ciencias y la geometría (la gran olvidada de las matemáticas): el fenómeno es muy relevante en ciencias, por supuesto, pero la explicación es geometría pura. Me parece que es perfectamente posible que un grupo de alumnos construya un modelo sol-tierra, que vean cómo el ángulo con el que llegan los rayos del sol va cambiando cuando la tierra gira, que vean cómo eso afecta a los periodos día/noche, y que vean cómo se representan esas regiones del globo terráqueo en un planisferio. Una actividad que les podría hacer pensar bastante, y sin una sola cuenta …

a+b+c = 180 º

Mi intención hoy es reflexionar sobre cuál es la mejor manera de presentar a los alumnos (digamos de 4º – 5º de primaria) el hecho de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Antes de nada, una aclaración (seguramente innecesaria): cualquiera de las opciones que voy a presentar, o cualquier otra que se nos pueda ocurrir, será mucho mejor que lo desgraciadamente habitual en nuestras aulas – el libro enuncia el resultado, como «verdad revelada», y a partir de ahí el hecho es cierto «porque lo dice el libro».

Claramente, el resultado debería ser introducido de forma experimental, midiendo los ángulos en una serie de triángulos y comprobando que la suma es en todos los casos (aproximadamente) 180º. Pero me parece esencial una segunda fase, en la que se presente un argumento general. Veamos dos opciones:

Opción 1: en la figura vemos la idea, creo que suficientemente conocida. Se colorean los ángulos de un triángulo hecho en cartulina, luego el triángulo se recorta por las flechas, y se comprueba que los tres ángulos completan un ángulo llano.

Opción 2: se considera la recta paralela a uno de los lados que pasa por el vértice opuesto. Evidentemente, este enfoque requiere haber trabajado antes la igualdad de los ángulos alternos-internos. (Este es un resultado más sencillo de entender y, en todo caso, se puede comprobar fácilmente recurriendo al corte de una cartulina).

Me falta la experiencia de aula para decantarme claramente por una de las dos opciones (o por alguna otra). Si tengo que dar mi opinión, me inclino por la segunda. Es muy posible que mi gusto por las matemáticas me condicione demasiado, pero creo que el argumento es suficientemente sencillo para que se entienda ya en estos cursos, y le veo dos ventajas: la primera, su belleza; la segunda,y más importante, que muestra cómo un resultado matemático – un teorema – se deduce usando resultados previamente establecidos. ¿Qué opináis?

Par/Impar

El concepto de paridad es seguramente el ideal para que un alumno empiece a explorar el mundo del razonamiento matemático. ¿Cuándo? Desde mi punto de vista, cuanto antes, mejor. Evidentemente, el enfoque no puede ser el mismo si se trabaja en 2º de primaria o en 2º de la ESO, pero un niño de 6-7 años está perfectamente preparado para empezar a explorar el concepto de número par, y las propiedades de la aritmética de los números pares e impares.

Sólo hay un problema, y es cómo se introducen los números pares en los libros de texto. En la figura se muestra un ejemplo de un libro de texto. Una vez más, la editorial no es importante: las mayoritarias hacen todas lo mismo. Creoo que se trata del mismo tipo de error del que hablé en la entrada sobre la mediatriz de un segmento. Se confunde lo que es la definición de algo con lo que es una propiedad derivada de esa definición. Si por alguna extraña mutación tuviéramos nueve dedos, todo sería distinto …

Se trata de un error epistemológico grave, pero lo más importante para el tema que nos ocupa es que definir los números pares como se hace en la figura empobrece cualquier tipo de trabajo sobre ellos. Hay dos posibles definiciones para los números pares, y las voy a formular al nivel que lo haría ante una clase de niños de 6-7 años:

el número de objetos es par si se puede dividir en dos montones iguales, sin partir ningún objeto.
el número de objetos es par si se pueden emparejar.

No creo que una de las dos sea mejor que la otra. De hecho, parte del trabajo de razonamiento matemático que hay que hacer es que los niños se convenzan de que son definiciones equivalentes. A partir de ellas, además, se pueden trabajar multitud de cuestiones: propiedades de los números pares (en qué cifra terminan), qué pasa si sumamos dos números pares, o dos que no lo sean, o …

Definiendo los números pares como hacen los libros de texto (y como por tanto se hace en la mayoría de las aulas) estamos ignorando el principio básico que ya tenía claro Plutarco hace más de 2000 años: estamos tratando al cerebro como un vaso que hay que llenar, cuando en realidad es una lámpara que hay que encender.

Supongo que los libros de texto toman el camino «fácil», el problema es que no lleva a ninguna parte. Seguro que hay lectores que ya han comprobado que las defininiciones que he propuesto son perfectamente posibles ya en primer curso de primaria. Nosotros lo comprobamos el otro día en una clase «normal». Por supuesto, la observación final es que esa definición no fue el fin del proceso, sino el comienzo de las más variadas preguntas por parte de los niños…

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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