Un examen de 4º de ESO

Antes de enseñar el examen en cuestión, unas notas aclaratorias:

Esta entrada no es, en absoluto, un «desahogo de un padre enfadado». Mi hija ya pasó los cursos mas difíciles, y trabaja razonablemente. Además, claro, tiene en casa ayuda cuando la necesita. De manera que su único problema es que tiene un poco mas difícil – que no imposible – llegar al sobresaliente, que es su objetivo.

Tampoco se trata de lanzarse al deporte de «criticar al profesor». No conozco personalmente a su profesora, pero estoy convencido de que me encontaría con un perfil similar al que ya he comentado en alguna ocasión: una persona trabajadora, y convencida de que hace lo que puede, dada la formación que tienen sus alumnos, los requerimientos del programa, etc. Algún comentario me ha llegado en la dirección de que pone muchas cosas en el examen para que todo el mundo pueda hacer algo … El problema de fondo aquí, claro, es el aislamiento en que vive una buena parte del profesorado. Y en este punto me parece que las responsabilidades están bastante repartidas: la administración no cuida la formación continua lo que debería, es verdad, pero en estos tiempos cualquier interesado tiene a su alcance experiencias, materiales y puntos de vista distintos: no necesariamente mejores, pero adecuados para promover la reflexión.

Por último, es evidente que se trata solo de «evidencia anecdótica». No tengo ni idea de lo extendido que está este enfoque en nuestras aulas. El problema es que ¡nadie lo sabe! Estoy intentando arrancar un estudio (anónimo, y con selección aleatoria de aulas) pero de momento sin éxito. No me he dado por vencido …

Para terminar, un dato relevante es, claro, el tiempo dedicado al examen: 1 h 20 minutos. Supongo que un día venceré la pereza y lo haré completo; de momento la opinión que tengo es solo «de primera vista». Y prefiero reservarla, por ahora, para escuchar antes las vuestras.

ex-ESO-4

Técnicas versus conceptos

La conferencia de clausura de la jornada sobre innovación que mencioné en la entrada anterior fue impartida por Michèle Artigue. No la conocía (soy un recién llegado al campo de la educación matemática) pero se trata sin duda de una primera figura a nivel internacional. Recientemente ha recibido nada menos que el premio Felix Klein en el año 2013 y la medalla Luis Santaló en el año 2014, dos de las distinciones mas importantes en el área.

La primera parte de su conferencia la dedicó a presentar unos materiales sobre los que estaban trabajando. Me parecieron interesantes. La idea era modelar con Geogebra problemas de persecución. Ahora no encuentro una referencia, pero cuando la consiga volveré a hablar sobre este tema.

Después su conferencia se deslizó hacia aspectos mas abstractos de la didáctica. Antes de seguir, una aclaración preventiva: no pretendo cuestionar el interés de esta didáctica mas abstracta. Lo único que digo es que demasiadas veces peca de excesivamente académica, y alejada de la realidad de las aulas y que, por tanto, puede no resultar del todo accesible e interesante para el profesor de a pie. Este problema no es, desde luego, exclusivo de la didáctica. De hecho, creo que los matemáticos caemos en este error con bastante frecuencia. Para dar un ejemplo en el que he caído personalmente, empeñarse en hablar de epsilones y deltas – o del Teorema de Bolzano – a futuros ingenieros. Y también ocurre en otras áreas alejadas de las matemáticas. La mas prominente me parece el bombardeo de análisis sintáctico y morfológico en los estudios de Lengua de nuestra secundaria.

Total: que en esos aspectos abstractos de la didáctica me perdí completamente, y estuve distraído unos minutos hasta que escuché una expresión ya oída, la teoría antropológica de lo didáctico. Ya me había topado con la etiqueta en alguno texto, sin llegar a entender casi nada, así que intenté concentrarme de nuevo en la conferencia, para ver si conseguía sacar alguna idea en claro. Nuevo fracaso: la jerga me resulta incomprensible. Si algún lector sabe algo del tema, y puede expicar en qué consiste en lenguaje accesible a profanos, le estaré sinceramente agradecido.

De manera que nuevos minutos de distracción, hasta que escuché una frase, pronunciada con total convicción. que captó de nuevo mi atención. Creo que, textualmente (habla un castellano bastante correcto), Artigue dijo: «Pensar que, gracias a las TIC, podemos prescindir de las técnicas y centrarnos en el estudio de los conceptos es un profundo error». Es una frase que suscribo completamente, pero se trata solo de la entrada al problema, claro. Es una pena que no hubiera tiempo para profundizar en el tema (era ya el final de la conferencia, no hubo turno de preguntas, y la reunión terminaba justo entonces) porque me parece una de las grandes cuestiones de la educación matemática en nuestros días.

Desde mi punto de vista, la clave es que existe una fuerte relación entre algunas técnicas y los conceptos. Dicho de otra forma: para comprender de forma adecuada ciertos conceptos es importante adquirir cierta soltura técnica. Ahora bien, creo que es crucial entrar en el detalle. Por poner un ejemplo sencillo: estoy de acuerdo en que hacer divisiones es importante para comprender los problemas de reparto y, en general, para adquirir sentido numérico. Ahora bien, si el valor fundamental del cálculo de divisiones es éste, es muy posible que tengamos que revisar cómo hacer las divisiones, y qué divisiones hacer. Por una razón muy sencilla: el algoritmo tradicional de la división se diseñó con un objetivo muy distinto, que no es otro que poder hacer divisiones exactas con enteros grandes. Si este objetivo ha quedado obsoleto (personalmente, creo que sí), es muy posible que el algoritmo tradicional haya quedado también obsoleto. Revisar los currículos con esta idea en la cabeza puede ser una tarea apasionante. Si hubiera que hacer un concurso sobre el algoritmo mas caduco, por superfluo a la hora de ayudar a la comprensión conceptual, mi voto creo que sería para la Regla de Ruffini. ¿Y el suyo?

 

Recopilación de información sobre los textos de Singapur

Han sido unos meses realmente intensos. Ya hace unos años que tengo casi toda mi docencia concentrada en el periodo que va desde primeros de septiembre hasta esta última semana (cuando los alumnos de Matemáticas I empiezan su periodo de prácticas), pero este curso se ha juntado además el impartir un grupo de Matemáticas I en inglés, con lo que eso implica de preparación de nuevos materiales. Esto no es para nada una queja: mis obligaciones docentes hasta el próximo septiembre son ya reducidas. Solo estoy explicando la baja actividad de este foro en estos pasados meses.

El objetivo de esta entrada es recopilar la información que tengo sobre las matemáticas en Singapur. Los pasados días 14 y 15 participé en unas jornadas sobre educación matemática organizadas por la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León. Lo que hice allí fue presentar lo que conozco sobre las matemáticas básicas en Singapur, haciendo especial hincapié en los aspectos del currículo y de los libros de texto en los que la diferencia con nuestra situación me parece mas significativa. Creo que la ponencia fue bien acogida, y en particular bastantes profesores me pidieron mas información sobre los libros de texto de Singapur. Mi compromiso fue reunir la información que tengo dispersa en varias entradas, para que fuera mas sencilla de localizar. A eso está dedicada esta entrada.

La primera aclaración es que los textos que tengo son los de Marshall-Cavendish (es la editorial de Singapur mas conocida a nivel internacional, aunque no he conseguido encontrar datos concretos sobre su presencia en el mercado local) de las etapas correspondientes a Infantil, Primaria y ESO. Me voy a concentrar en Primaria y ESO: como ya he escrito en alguna ocasión, creo que lo que mas necesita nuestra etapa de Infantil es defenderse de la presión que parece estar creciendo para acelerar el aprendizaje, y que los niños terminen la etapa leyendo, sumando (en columna) y si se puede mas cosas …

Prefiero comenzar con las malas noticias: conseguir los textos no es sencillo. El distribuidor para Europa hasta este verano era Maths No Problem,  pero justo este curso han lanzado una edición propia, ajustada al currículo británico, que no conozco. Algo parece que se está moviendo en Gran Bretaña, porque preparando esta entrada he descubierto que Maths No Problem ha lanzado un proyecto piloto patrocinado por el Ministerio de Educación y el National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics  basado en estos textos. Espero que la distribución mejore en algún momento, pero ahora mismo el único lugar que conozco para hacerse con los textos es Sgbox.com. La compra que les hice fue bien, pero envían los textos desde Singapur, así que lleva un tiempo …

La serie de matemáticas de primaria que mi departamento compró este verano se llama «My pals are here«. Aquí dejo una copia de los índices de los 12 libros de texto (dos por curso). Creo que puede servir para hacerse una primera idea de las diferencias con nuestros textos. El currículo de matemáticas se puede ver aquí, y querría hacer una mención especial al nuevo currículo del año 2013: lejos de acomodarse en el éxito que están teniendo en todas las pruebas internacionales, han emprendido una reforma del currículo, que arrancaron en 2013 en 1º de Primaria y 1º de Secundaria. Aquí está el nuevo currículo de los dos primeros cursos de primaria. Me parece que tanto la motivación como el currículo en sí mismo son todo un ejemplo. Me gusta mucho la idea de incluir en el currículo esas «situaciones de aprendizaje» que aparecen bajo el epígrafe de «Students should have opportunities to …».

En la secundaria la situación se complica un poco. La figura muestra la estructura que se puede encontrar en el documento del plan de estudios de secundaria. estructura-secundaria-Singapur

Al final de primaria tienen una prueba externa, la Primary School Leaving Examination, que además usan para separar a los alumnos en una vía tecnológica y otra académica de secundaria (y para que los alumnos con mejores resultados obtengan plaza en los mejores centros de secundaria). No es el objetivo de esta entrada entrar en estos detalles, pero no me importa dejar claro que no me gusta una separación tan temprana, y que tales niveles de competitividad a esas edades son controvertidos.

En todo caso, es útil tener en cuenta este detalle al examinar los ejemplos de secundaria que tengo, ya que corresponden a la vía académica. Ahora mismo estoy intentando conseguir información sobre cuántos estudiantes hay en cada una de estas vías, y también algún texto del O-level, que parece ser mas exigente (los que tengo corresponden al N-level). En esta página (de la asignatura que imparto en el máster de secundaria) he puesto los índices de los libros, y algunos temas escaneados. La asignatura del máster la estoy dedicando este año, esencialmente, a que los alumnos hagan un análisis comparativo de cómo se tratan algunos temas básicos en esos libros de Singapur y en algunos nuestros.

Tras esos cuatro años de secundaria hay dos años mas de enseñanza preuniversitaria, que parecen esencialmente dirigidos a preparar su A-level. Se pueden encontrar ejemplos de un libro de texto de esa etapa en esta otra entrada.

Para terminar, estos son los materiales de 1º de primaria que terminé el pasado septiembre. Como dije entonces, cualquier información sobre qué tal funcionan en un aula será agradecida.

 

Segunda tanda de TFGs. Mas España-Singapur

El objetivo de esta entrada es hacer públicos algunos trabajos fin de grado mas, pero mientras la preparaba me ha llegado un enlace que creo que merece publicidad.

Antonio Cabrales (¡Muchas gracias!) me ha enviado este enlace, en el que se habla de los buenos resultados de un colegio italiano que se lanzó a usar libros de texto finlandeses en 3º de Primaria. Sobre la enseñanza de las matemáticas en el inicio de la educación primaria en Italia, el artículo dice

In Italy the initial study of maths is based on the learning of addition, subtraction and multiplication tables. The instructional material is full of text and, according to Piccinini, does not encourage children to pursue independent reasoning and deduction.

Resulta familiar, ¿verdad? No conozco los libros finlandeses (ya está en la lista de tareas pendientes), así que poco mas puedo decir por ahora sobre el tema.

Y ahora, los trabajos fin de grado prometidos. Todos hacen un estudio comparativo entre libros de texto españoles y los de la editorial Marshall-Cavendish, de Singapur.

 

Una comparación de libros de texto España-Singapur

Este verano ha terminado la primera promoción del Grado de Educación Primaria en la Universidad de Alcalá. Varios de los estudiantes que se han interesado en que les dirigiera el Trabajo Fin de Grado (como parte de la última reforma de los planes de estudio en la universidad, todos los estudiantes tienen que elaborar un trabajo para obtener su título de grado. Los detalles pueden variar mucho entre universidades) han trabajado comparando el tratamiento de un tema concreto en algunos de nuestros libros de texto de primaria con los de Singapur (en concreto, con los de Marshall-Cavendish, que es la editorial de la que he hablado otras veces).

Estoy contento con el resultado de los trabajos, porque en todos los casos los alumnos han sido capaces de analizar importantes diferencias de fondo. Lo que quiero hacer hoy es simplemente hacer público uno de esos trabajos (por supuesto, tengo el permiso del alumno). El autor es Ignacio Fernández Balboa, y debo aclarar que no se trata de un «alumno promedio», sino del mas brillante de su promoción en mis asignaturas y probable premio extraordinario.  Bueno, aquí está.

 

 

Los «problemas de ciclistas»

Dos ciclistas están en dos pueblos distintos, a una distancia de 112 km. Empiezan a pedalear, a la vez, para encontrarse. Uno va a 18 km/h, y el otro a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? (Debes resolver el problema sin usar razonamientos algebraicos, y dar el resultado en horas, minutos y segundos).

Este es un problema que, con variantes, planteo cada año a mis estudiantes de Matemáticas I. Tras varios años de observar los patrones de respuesta de los alumnos, he detectado varias cosas interesantes, y que creo que pueden ser de interés para algunos lectores.

La primera observación es que, cuando no les permites usar el álgebra, la mayoría (hablo al menos de 3/4 partes de los alumnos, que sí lo intenta, porque hacen otros probleas de la hoja) no consiguen hacer nada. Este detalle de prohibirles el álgebra es un tema de reflexión en sí mismo, desde luego. Encantado de recibir ideas al respecto, y ya tengo apuntado el tema para una futura entrada. De momento, me limitaré a decir que, desde mi punto de vista, el uso del álgebra para resolver problemas como éste empobrece el aprendizaje de la aritmética.

En la clase en la que tratamos los problemas, los alumnos a los que pregunté –y que habían hecho algo– empezaron con la idea de que «es lo mismo que si los dos ciclistas se movieran a una velocidad de 20 km/h». Tratar de convencerles (a ellos y al resto de la clase) de que también es lo mismo que si un solo ciclista se mueve a 40 km/h, costó sorprendentemente mas. De hecho, creo que no lo conseguí hasta que no cambié ciclistas por pintores, la carretara por una valla (y los km por m, por aquello de las «matemáticas realistas»).

Pero la segunda parte me parece también interesante: el problema que tenemos ahora es cuánto se tarda en recorrer 112 km si nos movemos a 40 km/h. Supongo que entendieron que esa prohibición del álgebra se extendía a «fórmulas de la física» (así le llaman a cosas como e=v.t) — y aquí acertaron, esa era mi idea–. Lo que hicieron entonces es razonar que en 2 horas recorren 80 km, en media hora mas otros 20 km, y continuaron dividiendo hasta la solución final. Ya se que algún lector puede estar pensando que no eran «soluciones independientes». Fueron tres grupos, y digamos que pregunté lo suficiente para convencerme de que sus razonamientos sí eran personales, además de que en los tres casos se trataba de alumnos que apuntan muy buenas maneras en la asignatura.

Y todo esto, a pesar de que la semana anterior habíamos trabajado en la teoría la división, y nos habíamos parado en sus dos significados. Esta dificultad no me sorprendió, ya lo había visto otros años (por eso el problema estaba formulado de esta forma; si la distancia hubiera sido de 120 km, no habrían tenido ningún problema con esta parte). Resulta realmente llamativa la dificultad de comprensión de la división cuando el cociente o el divisor no son números enteros. La causa la tengo clara: demasiadas divisiones hechas en primaria, con poca atención a su significado.

 

El rechazo a las matemáticas: un apunte

No es mi intención adentrarme en el tema del rechazo a las matemáticas, tan importante y sobre el que tanto se ha escrito. Pero es que la estupenda entrada de mi compañero David Orden Siete consejos para evitar que tu hijo odie las matemáticas (perfecta para unos padres cuyos hijos están entrando en el sistema escolar) ha coincidido con las tareas de 2º de Bachillerato que están empezando a llegar a mi casa estos días … No estoy diciendo que a la entrada de David le falta nada, porque yo tampoco tengo un remedio para el problema que quiero comentar, pero estoy seguro de que muchos padres que hayan leído la entrada, y que tengan hijos que ya hayan avanzado un poco en primaria, se habrán preguntado: vale, muy bien, pero ¿qué hago cuando mi hijo de 4º de primaria trae a casa, día tras día, 15 divisiones (o trabajos equivalentes en otros cursos)? Por supuesto que no tengo ni idea de lo extendido que está este problema, ¡nadie la tiene!

El dilema que plantea esa situación es realmente complicado, y desde luego no me atrevo a dar ningún consejo para afrontarla. Lo que sí tengo claro es que ese problema (el exceso de tareas rutinarias) está detrás del poco aprecio, o directamente aversión, de mucha gente ante las matemáticas. El primer día de clase dedico cierto tiempo para hablar con mis alumnos nuevos de magisterio sobre su actitud ante las matemáticas. El rechazo a las matemáticas no es generalizado, ni mucho menos. Diría que cerca de la mitad de la clase tiene un actitud positiva, o al menos neutra, ante la materia. Como he comentado alguna vez, creo que el perfil de los estudiantes de magisterio ha cambiado algo en los últimos años. Pero cuando pregunto a esa otra mitad de alumnos con rechazo, o sentimiento de incompetencia, o ambas cosas, la respuesta que encuentro muchas veces tiene que ver con el problema del tedio y la incomprensión de las tareas rutinarias que comento.

Para poner un ejemplo concreto, exactamente del mismo problema aunque correspondiente a un curso posterior, estos son los deberes que llegaron a mi casa, para hacer de miércoles a jueves (2º de Bachillerato):

2014-09-deberes(1) En el ejercicio 1 la frase «utilizando el método de Gauss» está tachada porque aún no lo han visto. Lo que tenían que hacer era la «fuerza bruta»: 4 ecuaciones, 4 incógnitas, y paciencia …

Como siempre digo, no se trata de «criticar al profesor». De hecho, cuando tras reprimirme durante todo el curso pasado, fui a hablar con la profesora de mi hija una vez terminado el curso, me encontré con un perfil de profesor sobre el que no había pensado lo suficiente, y al que le estoy dando vueltas desde entonces: me pareció una profesora muy trabajadora, preocupada por que sus alumnos aprendan y muy convencida de que estaba haciendo lo que tenía que hacer. El único problema es que su idea de qué son las matemáticas, y en qué consiste por tanto aprender matemáticas, no coincide con la mía.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

La formación matemática de los maestros

Hoy el Instituto Nacional de Evaluación Educativa publica esta entrada sobre la formación matemática de los maestros. Supongo que la culpa es mía, por haberme extendido demasiado, pero han recortado la versión original que les envié, sin prevenirme. No han cambiado nada relevante; todas las ideas importantes están ahí, pero la sintaxis ha sufrido algo … Para no llevarme mas collejas de las que me merezco, aquí está la versión completa.

Jornada de educación matemática en Segovia

Tengo pendiente una reseña sobre la Escuela Miguel de Guzmán. Estoy esperando a recopilar los enlaces a las presentaciones, y me está llevando mas tiempo del esperado. En cualquier caso, antes de fin de mes presentaré lo que tenga, antes de que mis ideas se enfríen del todo.

Hoy quería simplemente hacer un pequeño anuncio de dos jornadas interesantes sobre educación matemática que tendrán lugar próximamente. La primera, la jornada que organiza la feemcat el próximo 4 de octubre. Estaré en Barcelona ese fin de semana, pero tendré que repartir mi tiempo entre esa jornada y el certamen de Ciencia en Acción.

La otra actividad, una jornada en Segovia: Las metodologías innovadoras en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (14 y 15 de noviembre). Aquí está el segundo anuncio. La verdad, me ha hecho ilusión que por primera vez en mi presentación aparezca «… y autor del blog Mas ideas, menos cuentas». Pero lo que espero con más ganas de esa jornada es tener por fin ocasión de coincidir con Tony Martín. El título de su ponencia: Las matemáticas de la educación primaria en el siglo XXI creo que da en la diana. Es un debate que ha empezado en algunos sitios, pero que en nuestro país es inexistente. Y hasta que no decidamos en qué consiste la alfabetización matemática básica del siglo XXI será imposible dirigir nuestros esfuerzos en la dirección adecuada. Este verano le estuve dando vueltas a la idea de intentar montar algún tipo de reunión. Mi título era «Las matemáticas elementales en el siglo XXI». Había dejado aparcada la idea por falta de tiempo y energía, pero es posible que este próximo noviembre reciba un nuevo impulso …

Libro de 1º de Primaria

Con algo de retraso, pero aquí está el material prometido:

Como ya decía en la entrada anterior sobre este tema, el punto de vista con el que he hecho los libros es pensar en qué me gustaría tener a mi si me tocara empezar a dar clase en 1º de primaria. Y lo que me gustaría es tener unas transparencias para proyectar en una pantalla, o en una pizarra digital, y poder presentar imágenes y hablar y trabajar con los niños sobre ellas. Esto es el «libro de texto para proyectar», dividido en dos partes. Por supuesto, sé que no en todas las aulas hay pizarra digital o pantalla disponible, y hay también una versión para papel, el «libro de texto para imprimir» (es en color, pero pensada para poder ser imprimida en blanco y negro, en ningún momento se hace referencia a “ese cuadrado azul”). También hay una guía del profesor, con algunas indicaciones. Son indicaciones breves, quizá demasiado breves para algunos. Mi impresión general es que este tipo de cosas suelen ser demasiado extensas, y prefiero ser breve para resaltar las ideas fundamentales. Es posible que me haya excedido. Por último, hay dos cuadernos de ejercicios.

Encantado de recibir cualquier tipo de comentario que surja del uso de los materiales, tanto si se trata de un uso puntual como si alguien se lanza a usarlo como base del curso. Pueden ser comentarios a esta entrada o mensajes al correo masideas.menoscuentas de gmail.