En la DGT no saben matemáticas …

Esta mañana todavía me estaba despertando cuando he oído un anuncio de la DGT, diciendo que en un campo de fútbol cabe mucha gente, «por lo menos dos o tres mil personas». Y claro, incluso medio dormido ha saltado la alarma.

Veamos, un campo de fútbol mide aproximadamente 100 m de largo por 60-70 de ancho, es decir, su área es aproximadamente 6000 ó 7000 metros cuadrados. Sin apretarse, haciendo la estimación usual de las manifestaciones, de 4 personas por metro cuadrado, la cifra que sale está en el entorno de las 25000 personas. Vamos, un orden de magnitud más que lo que dice el anuncio. ¿De verdad que estos profundos cálculos no están al alcance de ninguna de las personas por las que ha pasado esa cuña publicitaria?

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¿Campaña por un nuevo currículo de matemáticas?

Este año también me fui de vacaciones con la intención de volver con ideas para promover algún tipo de acción pidiendo una revisión de los currículos de matemáticas. Y supongo que, como en años anteriores, la intención se habría quedado en eso, sepultada por el resto de tareas que uno se encuentra de cara al comienzo de curso, de no haber sido por este tuit de hace unos días:

La imagen del tuit es la transparencia 54 del powerpoint de este informe, que me parece interesante en general.

Creo que la gran mayoría de los profesores estamos de acuerdo en que los currículos son demasiado extensos. De hecho, este problema ha empeorado con la LOMCE. Si los informes de organizaciones a las que se recurre tan a menudo cuando se habla de competencia matemática coinciden en que es mejor elegir menos contenidos, para poder tratarlos en profundidad, ¿no debería este tema llegar al debate social? Seguramente las asociaciones de profesores podrían ser la opción natural, pero mis (escasos) intentos en el pasado reciente han tenido resultado cero. Creo que ha llegado el momento de intentar sacar partido de las nuevas tecnologías, y ensayar la participación directa. El objetivo de esta entrada es (aparte de tratar de forzarme a dar el paso) pedir opinión a los lectores, y recabar ideas. ¿Conocéis alguna alternativa que pudiera ser más adecuada que Change.org?

Fin de curso … IX Escuela Miguel de Guzmán

Lo que me parecía imposible hace un año ha resultado no serlo tanto: este fin de curso ha sido todavía más ajetreado que el anterior. No es una queja, porque la mayoría de las tareas son estrictamente voluntarias, y estoy muy contento de cómo van. Algún viaje profesional, las evaluaciones de mis alumnos, el trabajo con los libros de Singapur que llegan a los coles el próximo septiembre y, como guinda, el trabajo en la organización de la IX Escuela Miguel de Guzmán. El objetivo de esta entrada es pasar a limpio mis conclusiones sobre estas jornadas, y que además esto sirva como cierre del curso.

Lo primero, tal y como me comprometí durante la Escuela, aquí están enlazados los materiales que varios de los ponentes y encargados de los talleres ponen a disposición de la comunidad. ¡Gracias!

Para empezar por el final, la sensación que me quedó al terminar la Escuela fue, como otras veces en estos casos, agridulce. Para ser justos, dulce, pero con un pequeño toque agrio. Por supuesto, fueron días llenos de debates interesantes, intercambio de ideas y propuestas, y muy formativos. El toque agrio viene de la sensación de que estábamos reunidos una parte de la comunidad docente que estamos de acuerdo en muchas cosas, pero quizá olvidando que sigue habiendo una mayoría a la que no llegan estos mensajes. Es verdad que hubo algunas intervenciones en los debates de participantes que manifestaron que participaban en este tipo de eventos por primera vez, que le habían interesado mucho, y que volvían a casa con muchas cosas sobre las que pensar. En resumen: objetivo cumplido, y un detalle en el que creo que podríamos mejorar, tratar de llegar a una parte mayor de la profesión.

Lo que quiero hacer en el resto de esta entrada es dejar por escrito algunos comentarios sobre las ponencias, incluyendo también alguna observación crítica, cuando toque.

Clara Grima, en la conferencia inaugural, nos demostró que se pueden decir cosas muy interesantes, y ser divertida, a la vez. No es algo que se vea con excesiva frecuencia en nuestro mundo …

Cecilia Calvo nos habló de las tareas ricas: su observación fundamental es que hay habilidades básicas que hay que practicar, pero que muchas veces esa práctica se puede hacer a través de esas tareas ricas, donde además hay involucradas actividades con valor cognitivo. En su presentación hay varios ejemplos, y en el espacio Puntmat muchos más. Me parece una propuesta muy interesante, con una sola debilidad: creo que para llevar esto al aula se necesitan docentes muy bien formados.

Juan Francisco Hernández, del Hispano-Inglés de Santa Cruz de Tenerife, nos habló de la clase invertida. Creo que merece la pena echar un vistazo a los materiales que ha puesto a nuestra disposición. No voy a entrar en el debate de fondo sobre la clase invertida, pero sí quiero mencionar que cuando se piensa en una metodología habría que tener en cuenta que una cosa es funcionar bien, o muy bien, con un docente – o un equipo docente – determinado (formado, trabajador, etc), y en un centro determinado, y otra cosa es que esa metodología sea generalizable al sistema escolar. Recomiendo estas reflexiones de El Lolaberinto sobre el tema.

Irene Ferrando habló sobre modelización. En su presentación (15 Mb) hay varios ejemplos muy interesantes. Por otra parte, aquí se aplica la misma observación del párrafo anterior, sobre metodologías «exportables», y un comentario adicional: en un vídeo donde nos enseñaba un proyecto de estimación de la cantidad de papel de aluminio en un colegio (el proyecto me pareció muy interesante) vimos a un alumno con la famosa «escalera de las unidades», subiendo peldaños y añadiendo ceros (¿o quitándolos?, nunca lo recuerdo). Los proyectos, la modelización, o la clase invertida, pueden ser buenas herramientas para motivar a nuestros alumnos (y esto es un valor en sí mismo, lo sé), pero creo que si no cambiamos algunas cosas de fondo, los resultados sobre el aprendizaje real serán limitados.

Para terminar, Lurdes Figueiral, la presidenta de la asociación de profesores de matemáticas de Portugal, nos presentó el currículo producto de la reforma de 2011. No recuerdo haber oído nada al respecto (sí, me temo que soy uno más de esa mayoría social que hace bien poco caso a lo que ocurre en nuestro vecino del oeste), pero parece que fue una reforma curricular bastante polémica, hecha en contra de la profesión. La impresión que trasladó Lurdes Figueiral fue muy negativa. Aquí está el currículo. El aspecto no es bueno, desde luego. Un interminable listado de contenidos … Una cosa, al menos, me gusta: los autores dan la cara, en primera página. La reforma se hizo bajo el mandato de un ministro de educación con formación de economista-matemático, Nuno Crato.

No asistí a ningún taller, fueron los ratos que dediqué a las gestiones organizativas, pero todos los comentarios que escuché fueron positivos.

En cuanto a las mesas redondas, al final las dos giraron en torno al tema de en qué debería consistir el aprendizaje matemático elemental (para mí, entendido como el correspondiente a la educación obligatoria) en estos tiempos. En la mesa de las calculadoras, Juan Emilio García nos mostró un par de vídeos que provocaron los momentos más hilarantes de la Escuela. Parece ser que los vídeos ya estaban en youtube. Yo no los conocía, y los quiero compartir aquí, porque además de divertidos me parece que tienen su interés didáctico.

El primero es una muestra perfecta de por qué hay que dedicarle algo de atención a enseñar a usar las calculadoras:

En el segundo, tres de las estrellas del humor español de los 70, con los cambios de unidades, y nuestra querida regla de tres …

Para terminar, como le dediqué cierto tiempo a pensar sobre mi intervención en la mesa redonda «Las matemáticas en la educación obligatoria del Siglo XXI», pensé que sería buena idea guardar esas reflexiones de alguna forma. En lugar de escribirlas, lo que he hecho es preparar un vídeo, porque me ha servido además de primera práctica con la herramienta ActivePresenter. Su versión gratuita me ha parecido bastante potente, y sencilla de empezar a usar.

Sirva este vídeo (20 min) de despedida por este curso. ¡Feliz verano a todos los lectores!

El debate sobre los deberes

En un comentario de la última entrada Lucas preguntaba por el programa de Jesús Cintora sobre los deberes, en particular sobre la intervención de Alberto Royo, autor de «Contra la nueva educación» (autor y libro que yo descubrí en el programa).

Mi conclusión principal sobre el programa es que es frustrante el poco rigor y la poca profundidad que hay en nuestro debate público. Como ya han pasado unos días, si algún lector quiere refrescar la memoria el programa está aquí y la intervención de Alberto Royo empieza en el minuto 23:30. Creo que merece la pena complementar esos minutos con esta entrada de su blog,

En este debate siempre he echado de menos los números. Ya en las lejanas reuniones del cole de mis hijas, lo único que intentaba cuando surgía el inevitable debate entre los bandos de padres pro y anti deberes era poner algún número a la cantidad de deberes. Nunca lo conseguí, los maestros solían salirse por la tangente de «cada niño es distinto». ¡Pues claro que cada niño es distinto! Por eso no tiene sentido mandarles a todos las mismas tareas, al que las necesita y al que no, al que se concentra y las hace en media hora y al que todavía se distrae mucho, y necesita media tarde para ello.

José Antonio Marina (minuto 49) sí se atrevió a poner un número: 15 minutos al día en 1º y subiendo 15 minutos cada curso. Me parece que llegar a 1,5 horas al final de primara es demasiado, pero al menos con estas cifras se podría empezar a hablar.

Como prueba de la superficialidad del programa me quedo con la situación de la estudiante de ESO (1h 02 min), y el relato de sus tareas del día: «pasar a limpio» una redacción de inglés y estudiar para el examen, estudiar los resúmenes de sociales y un ejercicio de matemáticas. Es verdad que «estudiar para un examen» es una tarea con duración difícil de valorar, y lo mismo estudiar los resúmenes, pero su madre en el programa dice que es una chica eficiente y que los hace en 1 hora. Mi reacción fue: ¿cómo es posible entonces que esté haciendo deberes a las 21:30? ¿No haría falta dar algo más de información sobre el horario de la estudiante durante esa tarde?

En fin, que el propósito fundamental de esta entrada era dar entrada al debate de los lectores que os animéis.

El sorteo de la Champions (y II)

Muchas gracias a todos por las aportaciones. Creo que ha habido tres soluciones distintas, y que tiene sentido recapitularlas.

  1. Con probabilidad elemental, fijando un primer equipo español, digamos el A. La probabilidad de que su rival sea español es 2/7. Que el rival de A no sea español tiene probabilidad 5/7, y en ese caso que el rival de B sea el tercer equipo español tiene probabilidad 1/5. Por tanto, la probabilidad de eliminatoria española era \frac{2}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{7}.
  2. Directamente con la regla de Laplace, contando casos favorables y posibles. En algún momento hablaremos de la combinatoria, casi desaparecida del currículo. Y cuando se trata, reducida a variaciones, permutaciones y combinaciones, con sus correspondientes fórmulas. A la hora de la verdad, muchas cosas no son nada de eso. Por ejemplo, los posibles emparejamientos entre n equipos.
    Para la primera eliminatoria hay \binom{n}{2} posibilidades, para la segunda \binom{n-2}{2}, etc. Como es mejor ignorar el orden de esos emparejamientos, tras dividir por (\frac{n}{2})! se obtiene la fórmula para el número de emparejamientos entre n equipos: \frac{\binom{n}{2} \binom{n-2}{2} \cdots \binom{2}{2}}{(\frac{n}{2})!}. Tras simplificar queda (como observó ricardito) que el número de emparejamientos entre n equipos es el producto de los impares menores que n. En el caso de los 8 equipos, 7 \times 5 \times 3.
    ¿En cuántos de ellos hay eliminatoria española? Hay 3 posibles emparejamientos entre equipos españoles, y para cada uno de ellos hay que emparejar los restantes 6 equipos. Por tanto, hay 3 \times 5 \times 3 emparejamientos con eliminatoria española.
  3. Para terminar, mi modelo de las bolas rojas. Consideramos 8 posiciones, distribuidas en 4 cajas. La posición 1 y 2 en la primera caja, la 3 y la 4 en la segunda, etc. Hay \binom{8}{3}=56 formas de colocar 3 bolas en esas 8 posiciones.  Si en una caja hay dos bolas, hay 6 huecos para la bola roja restante. Por tanto, en 4\times 6 de las distribuciones de bolas hay 2 en la misma caja, y la probabilidad es \frac{24}{56} = \frac{3}{7}.

El sorteo de la Champions y los modelos matemáticos

Actualización 3: un lector pregunta por los detalles del sorteo. Creo que lo razonable es aclarar eso al principio. Se trata de un sorteo puro, cualquier combinación es igualmente probable. Los detalles de cómo se lleva a cabo el sorteo «real» son irrelevantes, eso es parte del tema de «elegir bien el modelo», sobre el que quería escribir en esta entrada. En todo caso, simplemente hay 8 bolas en un bombo, y se van extrayendo una a una. Se empareja 1ª con 2ª, 3ª con 4ª, etc.

Tal y como ha quedado la entrada, creo que también es justo avisar a los lectores de que el reto es encontrar el fallo en los dos primeros argumentos. 

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A cuenta del sorteo de la Champions, en el que de un total de 8 equipos tenemos 3 españoles, @edusadeci lanzó la pregunta de qué probabilidad hay de que el sorteo empareje a dos equipos españoles, ya advirtiendo de que no es un problema tan sencillo como parece. Merece la pena echar un vistazo a las respuestas, realmente variadas …

Creo que es un ejemplo más de lo difícil que es la probabilidad, y de que muy pronto aparecen preguntas «sencillas» nada fáciles de contestar.

El aspecto que más me interesa del problema es que es un ejemplo perfecto de la importancia de elegir un buen modelo. Desde luego, la probabilidad se puede calcular directamente contando resultados del sorteo. Pero no es sencillo, y es otro buen ejemplo de lo sutil que es la combinatoria, sobre todo dado lo desentrenados que estamos en ella (su presencia en la educación matemática obligatoria es menos que testimonial).

El modelo que me parece más sencillo para contestar la pregunta original es considerar 4 cestos, y 3 bolas rojas. Si colocamos al azar las 3 bolas en los cestos, ¿cuál es la probabilidad de que caigan en cestos distintos? La clave para darse cuenta de que es el mismo problema es considerar las 8 bolas del sorteo, y ver el sorteo como el procedimiento de extraer bolas, al azar, e irlas colocando de dos en dos en los cestos. Podemos imaginar las bolas de los equipos españoles coloreadas de rojo, y darnos cuenta de que realmente el resto de las bolas ¡no juegan ningún papel! Visto así, queda también claro que se trata de una variante del problema del cumpleaños, donde tenemos 3 personas, que cumplen años en 4 días (con probabilidad uniforme, e independientes, claro) y nos preguntamos por la probabilidad de que sus cumpleaños sean distintos.

Una vez hemos llegado aquí, el resto es probabilidad «sencilla». Si numeramos las 3 bolas según el orden en que las colocamos en los cestos y consideramos los sucesos

A_i \equiv «la bola i cae en un cesto vacío» (para i=2,3)

vemos que calcular la probabilidad de que no haya eliminatoria entre dos equipos españoles es una pregunta que se puede responder con conocimientos básicos de probabilidad condicionada:

probabilidad-Champions

Actualización: podría decir aquello de «estaba preparado para ver si alguien prestaba atención», pero en absoluto, mi argumento está mal, sin paliativos. Un fiel seguidor del blog me lo ha hecho ver: el problema del modelo que propongo es que no excluye que haya tres bolas en un cesto, cosa prohibida en el sorteo. Eso sí, la solución que propone el lector (matemático, como yo) creo que tampoco es correcta. Al final, esta entrada va a ser sobre todo una prueba de que, con la probabilidad y la combinatoria, cualquiera puede cometer errores. Y que modelar de forma correcta es complicado, aún en situaciones «sencillas».

Como ya no me fío de nada he decidido recurrir a la «fuerza bruta», y contar las formas de colocar 3 bolas rojas en 4 cestos, sin permitir que haya 3 en el mismo. Son 16, y aquí están: 

sorteo-bolas-rojas

De esas 16, sólo en 4 se evita el emparejamiento entre dos equipos españoles. Por tanto, la probabilidad de que haya una eliminatoria española es 3/4. Nada extraño que haya ocurrido … 

Actualización 2nuevo error, otra vez de principiante. Los sucesos de la figura NO son equiprobables. Si pensamos en las permutaciones de 8 elementos, que sí son equiprobables, y vemos el sorteo como emparejar 1 y 2, 3 y 4, etc, los sucesos con 3 bolas en distintos cestos se pueden completar a 8 permutaciones (en el sentido de contar sólo las posiciones de las bolas rojas), mientras que los que tienen dos bolas en un mismo cesto se pueden completar solo a 2. Visto así, el conteo para los sorteos sin emparejamiento español es 32/(32+56) = 4/7, que sí coincide con la solución que proponía Roberto Muñoz, el lector que me hizo ver mi primer error. 

Lo dicho, la probabilidad es resbaladiza, y si algún lector tiene un futbolín y cree que debo pasar por debajo de él, estoy dispuesto. 

Los currículos de la LOMCE

Espero que la salida del lío político en el que estamos incluya deshacerse de la LOMCE, y conseguir de una vez una ley educativa con consenso en los temas básicos, pero sobre todo espero que como parte de ese proceso podamos de una vez dedicarle un tiempo a los temas puramente educativos, a los currículos.

Con motivo de este curso de formación en Las Acacias estoy mirando un poco más en detalle el currículo de primaria de Madrid, y no lo voy a calificar por si esta entrada la leen menores …

@ClaraGrima y @lolamenting mencionaron en días pasados algunas erratas (no recuerdo si se trataba del currículo de Madrid o del currículo del Ministerio, tanto da). Eso ya es grave, pero es mucho peor el mensaje de fondo que transmite sobre qué son las matemáticas. Es difícil elegir el ejemplo más disparatado, pero me quedo con éste, sacado textualmente de los contenidos de 6º de Primaria, sobre proporcionalidad y porcentajes:

Usa la regla de tres en situaciones de proporcionalidad directa (ley del doble, triple, mitad …) para resolver problemas de la vida cotidiana.

Ya es grave que sigamos insistiendo con la regla de tres, cuando son sobradamente conocidos los problemas de aprendizaje que genera, y manteniéndonos como uno de los poquísimos países donde se sigue usando, pero es peor todavía eso de «ley del doble, triple, mitad». La verdad, no las había oído nunca, pero en este contexto sólo pueden referirse a que si compro el doble de cierto producto, pago el doble, y si compro la mitad, pago la mitad. ¿De verdad eso es una ley, y tiene que acabar con el correspondiente recuadro amarillo en el libro de texto? Ni siquiera suena a siglo XX, ¡más bien a siglo XIX!

Mi no comprender …

  • El profesor A se pasa sus clases dictando apuntes.
  • El profesor B hace un trabajo estupendo, esforzándose porque sus alumnos aprendan algo.
  • El experto X se atreve a incluir en un informe que habría que recompensar a los buenos profesores.
  • Se arma la marimorena.

Mi no comprender …

Los deberes y la atención a la diversidad

Voy a escribir esta entrada recurriendo al estilo tengo un amigo que …

La hija de mi amigo acaba de terminar 2º de Bachillerato. Estudió un año fuera, y se le dan bien los idiomas; su inglés es excelente. Mi amigo se sorprendió cuando la nota final de su hija en inglés fue de 8. Se trataría de una anécdota, si no fuera porque la chica quiere estudiar una carrera con una exigente nota de corte, de manera que mi amigo fue al instituto a pedir explicaciones. Las explicaciones no son de primera mano, pues la profesora acaba de tomar un permiso de maternidad. Pero mi amigo habla con la jefa del departamento que, con toda amabilidad, le muestra las notas de su hija. Las notas de todas las pruebas escritas, de expresión oral, etc, son de 9 o superiores, pero tiene un 3 en el apartado «tareas y actitud». Al aplicar los porcentajes establecidos en la correspondiente programación didáctica, la nota es la que es … Formalmente, supongo que todo correcto. Personalmente, creo que la historia da lugar a reflexiones interesantes.

Conozco, porque lo he vivido en primera persona, el problema de tener un alumno de nivel claramente superior al que estoy impartiendo en clase. Sé que los profesores estamos cada vez mas saturados, y puedo entender (que no aprobar, creo que no cuesta tanto) que el profesor asigne las mismas tareas a todos sus alumnos, independientemente de sus necesidades educativas. Lo que no me cabe en la cabeza es que penalice a un alumno que no es suficientemente disciplinado con unas tareas que tienen para él valor muy próximo a cero. ¿Dónde queda la atención a la diversidad, que inunda todos nuestros decretos educativos, y que tanto se echa de menos en nuestras aulas? Y, lo siento, pero aquí no me vale la excusa de la falta de medios, creo que se puede hacer a coste cero. Lo que yo hago es valorar ese trabajo personal, deberes, o como quiera llamarse, cuando resulta en una subida de la nota. Pero si un alumno saca un 9 en uno de mis exámenes, me demuestra que su rendimiento en la asignatura es sobresaliente, y esa es la nota que creo que merece, independientemente de que para obtenerla le haya hecho poco caso a las tareas que he diseñado. Supongo que aquí es donde entra ese supuesto valor de los deberes relacionado con la disciplina … Y puede que sea cierto, si pensamos que el objetivo del sistema educativo es formar a disciplinados integrantes del sistema, prestos a acatar las órdenes del superior sin perder un segundo en valorar si las instrucciones tienen algún sentido. Mi idea de la educación es un poco distinta …

Aunque mi amigo no había tenido ningún contacto con la inspección educativa, se decidió a hacerles una visita. En el fondo, se trataba mas que nada de sondear la actitud de la inspección ante el tema de la atención a la diversidad, ya que parecía claro que formalmente el problema tenía poco arreglo. La actitud de la inspectora fue rotunda: las tareas tienen que hacerlas todos los alumnos, y si la programación dice que se valoran con un 15%, pues así se valoran. Para zanjar el tema, mi amigo le planteó una pregunta clara: si un alumno de primaria tiene un rendimiento en matemáticas claramente avanzado, y el maestro manda unas cuantas sumas que ese alumno hace tiempo que domina completamente, ¿qué hay que hacer entonces? La respuesta fue tajante: ese alumno debe hacer todas las sumas, igual que el resto de sus compañeros. Luego, en todo caso, el maestro debería pensar en alguna otra tarea adaptada al nivel de aprendizaje del alumno en cuestión. Obviamente, tras esa respuesta mi amigo decidió dar por terminada la conversación. La actitud de esa inspectora ante la atención a la diversidad quedó suficientemente clara. Evidentemente, no tengo ningún dato para valorar cómo de generalizado es ese peculiar tratamiento de la diversidad, pero la hipótesis de que está bastante extendido explicaría muchas cosas, como el escaso número de estudiantes con excelentes resultados que tenemos en las pruebas internacionales de referencia, o esos casos de alumnos brillantes, que a veces sobrellevan la situación, por supuesto, pero otras veces caen en el aburrimiento absoluto o, directamente, en comportamientos problemáticos.

Sobre el rechazo a las matemáticas

Creo que son buenas noticias, otro interesante artículo (esta vez en La Vanguardia) sobre el problema del rechazo a las matemáticas. Estoy bastante de acuerdo tanto en el diagnóstico como en formas de intentar arreglar el tema, con una ausencia clamorosa: la necesidad de abstracción del razonamiento matemático requiere madurez mental; por tanto, es necesario acompasar esos contenidos matemáticos al desarrollo de los alumnos. Como he escrito en variadas ocasiones, cuando se comparan nuestros currículos con los de otros países muchas veces se descubre que precipitamos el tratamiento abstracto de muchos temas. Y el gran problema es que esto no se está arreglando, sino que estamos profundizando en el error. Muy claro en la LOMCE, donde se adelantan contenidos ya en primaria, y donde se ha sobrecargado todavía mas el currículo de secundaria. Pero no se trata solo de un tema curricular: cada vez es mas frecuente ver colegios que para mostrar su «nivel» introducen el algoritmo clásico de la suma ya en el último año de infantil (y este problema no es específico de las matemáticas, hacen lo mismo con el objetivo de terminar infantil leyendo). ¿Cómo revertir esta tendencia? Ayer mismo tuve en una reunión en un colegio (público), para presentarles el material de 1º. La idea de prescindir durante ese curso de los algoritmos tradicionales de la suma y la resta les gustaba (de hecho, su actitud hacia todo el material fue de lo mas positiva) pero tenían claro que uno de los obstáculos que tendrán que vencer si se deciden a dar el salto es la resistencia de los padres cuando su hijo no «haga sumas» como los demás …