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El razonamiento algebraico en primaria

Esta semana hemos podido hacer nuestro primer experimento con niños «de verdad» (¡Muchas gracias, Alex!). Ha sido una pequeña prueba, que espero sea el comienzo de una larga colaboración, pero creo que merece la pena ser comentada.

Desde el primer ciclo de primaria los niños resueven ejercicios como 3 + \square = 8. No tengo nada contra ellos: me parece muy adecuados. Pero hace años que me llamaba la atención que durante toda la primaria se formulan en ese lenguaje.  Pensaba que plantear algunas veces estas preguntas de forma más cercana al lenguaje algebraico podría servir para ir desarrollando ese sentido algebraico que tanto se echa de menos al empezar la secundaria. Cuando me atrevía a comentar esto con alguien del entorno de la educación primaria, la respuesta invariable era «Estás loco, eso es muy difícil para los niños».

Pensé que era una prueba muy sencilla, perfecta para arrancar esa colaboración con un entusiasta maestro de primaria que conocimos durante el curso de verano que impartimos el año 2012. A la hora de decidir en qué curso hacer la prueba, quería asegurarme de que no cometería el error más común  -minusvalorar a los niños – de manera que pasamos la prueba en 1º y 2º de Primaria. La prueba consistía en 10 preguntas en el lenguaje usual mencionado anteriormente y, en la cara posterior, preguntas similares, formuladas de esta forma: «Si  3 + a = 8, entonces a es …».

Una observación importante es que no dimos a los niños ninguna instrucción adicional. El único comentario fue: tenéis que leer con cuidado. Si no lo entendéis, no pasa nada, lo dejáis en blanco. Por supuesto, hubo niños que no entendieron; también hubo otros que, tras preguntarnos y escuchar nuestra respuesta de que debían leer con cuidado, soltaron un «Ya lo entiendo» lleno de ilusión.  Y otro grupo hizo todos los ejercicios sin mayor problema.

Aún no hemos procesado los datos con cuidado, pero ya tenemos una idea de la principal variable que queríamos medir. En el grupo de 1º, el 40% de los niños hizo los dos tipos de ejercicios de manera similar (con una diferencia de no más de una respuesta correcta). En el grupo de 2º, ese porcentaje sube al 60%. No todos, pero sí la gran mayoría de esos niños hicieron bien o muy bien los dos tipos de ejercicios.

Teniendo en cuenta que en primer curso están realmente desarrollando la comprensión lectora, que están entrenados con los ejercicios «con el cuadradito», y que los ejercicios en lenguaje algebraico eran totalmente nuevos, los resultados me han sorprendido por positivos. Se trata, es verdad, de resultados preliminares, pero me reafirman en la idea de que introducir un poco de lenguaje algebraico, ya en primaria, es perfectamente posible, y muy conveniente para desarrollar la comprensión lectora, el razonamiento lógico y el pensamiento algebraico.

La secante … y otras piezas de museo

Recuerdo, ya como estudiante, preguntarme porqué nos calentaban la cabeza con seis funciones trigonométricas, cuando con una y un poquito (el cuadrante) se podía saber todo sobre el ángulo en cuestión. Bueno, ya he entendido que hay buenas razones para estudiar las funciones seno, coseno y  tangente. Pero en lo que respecta a la secante, la cosecante y la cotangente, no creo que aporten nada al conocimiento matemático de un alumno, excepto quizá confusión. Por supuesto, hace 500 años, si había que hacer un cálculo con 5 decimales usando el valor de  1/cos x, era muy  de agradecer tener una tabla con esos valores precalculados. Y, si uno tiene la tabla, es razonable darle nombre a la función correspondiente. Pero la pervivencia de estas funciones en el curriculum matemático, a estas alturas del desarrollo tecnológico, es para mi todo un misterio.

El otro objeto con el que inauguraría un museo con conceptos matemáticos obsoletos son los números mixtos (y su pariente, la distinción entre fracciones propias e impropias). Sólo desde una visión muy reducida del concepto de fracción, como parte de un todo, tiene sentido ver las fracciones impropias como algo «especial». Si se introducen las fracciones también como solución a un problema de reparto, y como un punto en la recta numérica (en esta entrada más detalles), las fracciones con numerador mayor que el denominador son tan «propiamente fracciones» como las otras.  Y no le veo la ventaja a escribir \tfrac{17}{4} como 4\frac{1}{4}, y dedicarle tiempo a la aritmética correspondiente. Si es necesario, uno siempre puede escribir  \frac{17}{4}= 4 + \frac{1}{4} sin necesidad de conceptos ni algoritmos adicionales. Es una de esas cosas que sólo existen en los libros y las aulas del curso correspondiente, que nunca nadie se va a encontrar fuera de ese entorno, y que los chicos estudian brevemente, y olvidan rápidamente (en este caso, por suerte, porque en caso contrario podrían encontrarse con problemas ante una expresión algebraica como 3\tfrac{x}{2}.

No he pretendido ser exhaustivo, seguro que hay más conceptos como estos. Si hay contribuciones en los comentarios, mantendré una lista.

Arithmetic for parents

He descubierto hace poco un libro que considero del máximo interés. Un matemático israelí, Ron Aharoni, con amplia experiencia en investigación, se dedica durante 6 años, a tiempo completo, a enseñar matemáticas de primaria en un colegio público. En el libro cuenta sus experiencias y, sobre todo, la visión de las matemáticas elementales que elaboró después de las muchas horas de trabajo y reflexión invertidas en la experiencia. Creo que la visión que proporciona es imprescindible para cualquiera relacionado con la enseñanza de las matemáticas, y para cualquier matemático que quiera descubrir cómo de profundo puede ser el mundo de la matemática elemental. El libro fue originalmente escrito en hebreo, y la edición inglesa puede encontrarse, por ejemplo, aquí.  La Academia de Ciencias Chilena lo ha editado recientemente en castellano (Aritmética para padres y madres), y espero que no tardemos mucho en conseguir que exista una edición a la venta en España.

El test de la mediatriz

Cuando cae en mis manos un texto en el que debo esperar encontrarla, lo primero que hago para hacerme una primera idea del enfoque que sigue el libro en la presentación de las matemáticas es buscar la definición de mediatriz de un segmento. Las posibles definiciones son:

  1. la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
  2. la mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Mis opiniones en esta entrada pueden ser más subjetivas que nunca, no conozco estudios sobre el tema, pero creo que el optar por una u otra dice bastante del planteamiento metodológico del texto. Claramente, la primera alternativa es más sencilla de entender, más visual. Hasta el lector más despistado será capaz de visualizarla. Sólo tiene un inconveniente: que no sirve para nada.

La segunda alternativa requiere por supuesto más trabajo: a partir de la definición, hay que descubrir que ese conjunto de puntos es una recta, que es perpendicular al segmento, y que pasa por el punto medio de éste.

El lector puede estar pensando en este punto que los alumnos deben tener las dos visiones de la mediatriz. Y esto es  cierto, por supuesto. Que, por tanto, partir de una de ellas como definición, y llegar a la otra como una propiedad, resultará equivalente. Discrepo: la definición (el concepto) y las propiedades que de ella se deducen, se sitúan en niveles cognitivos distintos. El concepto, que se debe reflejar en la definición, es lo que permitirá insertar el nuevo objeto en la estructura de aprendizaje del alumno.

Cuando la mediatriz aparece en diferentes construcciones geométricas la clave es la idea de equidistancia.  Por tanto, un alumno que ha interiorizado la definición (2) tendrá mucho más fácil entender el papel de la mediatriz en las construcciones.

Otra ventaja de la definición (2) es que posibilita el aprendizaje por descubrimiento. La idea de equidistancia en natural, y se puede pedir a los alumnos que encuentren puntos que estén a la misma distancia de dos puntos A y B determinados.

Y existe por supuesto una última razón para preferir la definición (2). Es la que se corresponde con la de las matemáticas superiores. La perpendicular en el punto medio aparece cuando medimos la distancia de la forma usual, pero en un curso de bachillerato, o en un seminario para alumnos interesados, es perfectamente posible plantear el problema de estudiar qué tipo de mediatrices aparecen si la distancia entre dos puntos se mide de otra forma.

Sin haber hecho un estudio exhaustivo, concluyo esta entrada con mi impresión de que, en los textos de primaria y secundaria españoles, la opción (1) es claramente mayoritaria.

Para terminar, un par de problemas que se pueden plantear ya en secundaria para trabajar la mediatriz desde el punto de vista métrico:

  • En el parque de la figura hay papeleras en los puntos A, B, C y D. Dibuja el conjunto de puntos del parque para los que la papelera más cercana es la situada en el punto A.

parque

  • Construye la circunferencia más grande que pasa por A y por B y que tiene el centro dentro del polígono P.

circ-poli

El álgebra y la energía fotovoltaica

De acuerdo, admito que esta vez me he dejado llevar por la tentación del título llamativo. Prometo no abusar del recurso. Pero es que creo que realmente hay una conexión entre como en España estamos tratando estos dos temas. En la figura se puede ver la evolución de la cifra total de MWh de energía solar fotovoltaica en funcionamiento en Alemania y en España, entre los años 2002 y 2011 (los incrementos corresponden, por tanto, a la cantidad instalada cada año). La escala vertical es distinta, pero lo que me interesa es observar lo distinta que ha sido la evolución en los dos países (y supongo que no es difícil averiguar cuál corresponde a España y cuál a Alemania).

fv-instalada-Alemania-EspañaPues bien, creo que este mismo comportamiento, caracterizado por el gusto por los extremos, aparece en muchos aspectos en nuestro país, y en particular en el tratamiento del álgebra a lo largo de la educación preuniversitaria. En muchos países, durante la educación primaria hay algún tipo de introducción al razonamiento algebraico, que generalmente es conocido como preálgebra. Pueden ser cosas muy sencillas, como por ejemplo: dada la serie 3, 5, 7, …. ¿cuál es el siguiente término? ¿Y el término que ocupa el 10º? ¿Y el término que ocupa el lugar n? Estas preguntas ayudan a que los chicos empiecen a pensar despegándose un poco de un número concreto.

En España no se trabajan situaciones de este tipo en la enseñanza primaria, y el álgebra llega, de golpe, normalmente en 1º de secundaria. Y llega «a lo grande», con toda su terminología. Aparecen los monomios, con su parte literal, los monomios semejantes y cuándo se pueden sumar y cuándo no. Por supuesto, es imposible que un estudiante entienda nada. Lo máximo a lo que podemos aspirar es a que manejen correctamente las técnicas, y que empiecen a entender con el uso. Pero esto es un paso en la dirección equivocada, porque introduce el álgebra como un nuevo mundo, con nuevas y extrañas reglas, cuando se debería presentar como la extensión natural de la aritmética. De esta manera, muchos de los alumnos nunca llegan a dominar ni las técnicas, ni mucho menos el razonamiento algebraico.

Si hiciéramos un estudio de la «cantidad de álgebra» (por ejemplo, el número de letras en expresiones matemáticas) que aparece en nuestros libros, a lo largo de los diferentes cursos, creo que la gráfica se parecería bastante a la de la derecha, en tanto que en los casos de otros países, el aspecto sería más parecido a la gráfica de la izquierda. Un ejemplo: en este enlace he puesto un par de fotocopias del tema de potencias. El ejemplo español corresponde a un libro de 2º de la ESO; el otro corresponde a un libro de 3º de educación secundaria de Singapur. En los dos países la educación primaria son 6 cursos, y arranca a los 6 años, de manera que el libro de Singapur corresponde a un año posterior. Quizá esté un poco obsesionado con el tema, y me encantaría leer vuestras opiniones, pero me parece que los ejercicios de Singapur están mejor pensados para ayudar a que el alumno entienda los conceptos básicos.

El álgebra es un tema importante, y volveré sobre él, pero quiero terminar hoy con un par de observaciones sencillas, que creo que facilitarían el paso de la aritmética al álgebra.

  • en el tercer ciclo de primaria, lo más usual es recurrir siempre a los decimales, y al cálculo aproximado, hasta el punto de que si le presentamos a un alumno la expresión  14 \pi   como solución de un problema que pide la longitud de una circunferencia, seguramente nos encontremos con la respuesta «pero el problema no está terminado» o «pero eso no es un número». Por supuesto, se debe trabajar a veces con la aproximación decimal de \pi (o de cualquier otro número), pero también se debería cuidar el trabajo con aritmética exacta. Si un alumno está familiarizado con calculos como 2 \pi - \frac{\pi} {2} = \frac{3\pi}{2} tendrá después mucho más fácil el comienzo de los cálculos algebraicos.
  • es fundamental que los alumnos, durante la primaria, entiendan bien el significado del símbolo » = »   (a mi amiga Belén Palop le debo la primera referencia sobre la importancia de este hecho – no pretendo que hayamos descubierto nada: una vez localizado el problema, ya he visto que esta dificultad de aprendizaje aparece en bastantes trabajos de didáctica de las matemáticas). Antes de llegar al álgebra (en concreto, a las ecuaciones), se suele obviar el carácter simétrico del signo » = «. El significado es casi siempre «el término de la izquierda produce el de la derecha». Un síntoma evidente de esto es cuando vemos que un alumno escribe 3 + 5 = 8 + 7 = 15 . Está claro que un alumno que usa el símbolo » = » de esta forma tendrá serios problemas con las ecuaciones algebraicas. Hay varias estrategias para resolver esta dificultad de aprendizaje, pero la más sencilla (la descubrí en los libros de primer ciclo de Singapur) es alternar, desde el principio, los típicos ejercicios como 3 + \square = 8 con otros como 7 = \square + 5 .

Las fracciones (y 3)

Queda para esta última entrada sobre las fracciones la división, que es la operación más complicada de introducir. Lo esencial, desde luego, es que se entienda que es una extensión de la operación que ya se conoce para los números enteros. Conozco dos alternativas, las dos con sus propias ventajas e inconvenientes:

  1. el enfoque estrictamente algebraico: dividir es multiplicar por el inverso. Por supuesto, este enfoque lleva al algoritmo, generalmente utilizado en los países anglosajones de «invertir y multiplicar». Creo que la gran ventaja de este enfoque es que ayuda a asimilar la conexión entre multiplicación y división, fundamental en el razonamiento algebraico. Para trabajar de esta forma las fracciones es esencial haber insistido antes en que, por ejemplo, dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por 1/2. El inconveniente de este enfoque es que esconde la conexión con la división de enteros: el problema de «cuántas veces cabe» el divisor en el dividendo.
  2. reducir a común denominador. Dividir 11/3 entre 3/2 se puede modelar, siguiendo lo que ya se conoce de la división en el conjunto de los enteros, como el problema de cuántas veces cabe 3/2 en 11/3. Si reducimos a común denominador, tenemos el problema de cuántas veces cabe 9/6 en 22/6. Si se ha trabajado antes la representación de las fracciones en la recta numérica, como se proponía en las entradas anteriores sobre fracciones, y se ha entendido que el denominador simplemente fija la unidad de medida, creo que es fácil entender que la respuesta es la misma que cuántas veces cabe 9 en 22, es decir, 22/9.  La gran ventaja de este enfoque es que extiende de manera natural esta interpretación de la división de números enteros (aunque, claro, no la del reparto). El principal inconveniente es el algorítmico. Desde mi punto de vista este inconveniente no es tan importante. Me parece mucho más relevante entender qué se está haciendo al dividir dos fracciones que ser capaz de hacer N divisiones por minuto. En todo caso, una opción que puede ser razonable en la práctica es introducir la operación con este enfoque, y ver que coincide con el algebraico, lo que nos proporciona un algoritmo eficiente.

El procedimiento de «multiplicar en cruz» me parece inferior a estos dos. Ni ayuda con la introducción al álgebra que supone el enfoque 1) ni da ningún sentido a la operación, como sí hace el enfoque 2). Además, desde el punto de vista puramente algorítmico, es proclive al error que estoy seguro que todos hemos visto: todos los niños multiplican en cruz, de acuerdo. Pero, «¿qué va arriba y qué va abajo?» …

TIMSS 2011 – España, de mal en peor …

Ayer se publicaron los resultados del estudio TIMSS 2011. El TIMSS es el estudio internacional más amplio sobre competencias en matemáticas, ciencias y lengua. La principal diferencia con el quizá más conocido PISA es que el TIMSS evalúa niños en 4º año y en 8º año. España sólo ha participado en el estudio del 4º año (niños de 9-10 años), supongo que porque la otra edad ya está cubierta por PISA. Ningún dato es bueno, pero si nos centramos en Matemáticas, yo calificaría los resultados de alarmantes. Creo que la presentación que se ha hecho en la prensa, «España, por debajo de la media …» es muy benevolente. Es verdad que los datos están normalizados para que la media sea 500, y que España, con un resultado en Matemáticas de 482, está por debajo, aunque cerca, de la media. Pero si los periodistas tuvieran un poco más de formación matemática, deberían haberse dado cuenta de que el TIMSS es un estudio muy amplio, y que participan países con resultados realmente pobres (Yemen, 246, Marruecos, 335), que bajan la media significativamente. Si nos centramos en los países de la Unión Europea, donde está España es en una cerrada competición por el último lugar: Polonia – 481-, Rumanía -482 -, España -482-. El resto de los participantes  -y son casi todos, sólo detecto la ausencia de Francia (llamativa, no conozco las razones)-, están por encima (muchos, muy por encima). El informe completo se puede obtener en este enlace, y los resultados globales en matemáticas están en la página 40 (Capítulo 1).

Es verdad que la lengua materna es un tema muy sensible, y que cualquier reforma educativa que quiera modificar el estatus quo debe necesariamente generar un fuerte debate, pero si nos quedara un mínimo de sensatez como país creo que datos como el de este estudio deberían ocupar, al menos, el mismo espacio que el tema lingüístico en el debate social.

Las causas de los pobres resultados de la enseñanza de las matemáticas en primaria son uno de los orígenes de este blog, pero quiero aprovechar esta entrada para exponer un problema muy concreto, creo que poco conocido, y sobre el que cuanto más sé más preocupación me provoca. En los programas de Magisterio del año 1992 desapareció la especialidad de «maestro especialista en ciencias»  (tampoco quiero sugerir que debería recuperarse, una de las evidencias de estudios como el TIMSS es que en los países con mejores resultados los profesores de primaria son generalistas, eso sí, con una adecuada formación matemática) y aparecieron estas especialidades: lengua extranjera, educación infantil, educación primaria, educación musical, educación física. La formación matemática de un estudiante de las especialidades de lengua extranjera, educación musical y educación física era realmente reducida: una asignatura de 4,5 créditos. Para que todo el mundo lo entienda: una asignatura de 3 horas semanales durante 15 semanas. Es difícil describir la escasa formación matemática de estos estudiantes (porque, además, para una gran mayoría de ellos las matemáticas no eran precisamente la asignatura preferida durante su formación primaria y secundaria). Pues bien, el problema que ha ido surgiendo desde entonces es que, una vez en los colegios, no ha habido ninguna traba administrativa para que esos maestros especialistas se convirtieran en generalistas. Unas veces por necesidad del centro, otras por conveniencia personal, se ha producido ese cambio sin ningún tipo de control. No tengo datos de la extensión del fenómeno (me pregunto si alguna autoridad los tiene, en este país donde faltan datos de casi todo), pero en todos los colegios en los que he sondeado el tema (no han sido muchos, es cierto), siempre me he encontrado algún caso.

El origen del problema se ha corregido: en los nuevos grados de magisterio las únicas especialidades son Infantil y Primaria. Pero tenemos en nuestras aulas un número indeterminado de maestros que están dando clases de matemáticas, y estarán durante los próximos 30 años, sin una formación mínimamente adecuada.  La reflexión final es clara: sin un programa adecuado de formación permanente del profesorado – casi utópico en estos tiempos – es muy difícil que la enseñanza de las matemáticas en primaria mejore significativamente.

Las fracciones (II)

En la última entrada sobre las fracciones quedaron pendientes dos de las operaciones aritméticas básicas: la multiplicación y la división.

El problema con la multiplicación de fracciones es que, precisamente porque el algoritmo es muy sencillo, se pasa por ella demasiado deprisa, sin detenerse en el sentido que tiene. Las dificultades surgen cuando la multiplicación de fracciones aparece en la resolución de problemas. Se pueden ver entonces los «parches a la desesperada». El otro día, en 2º de la ESO, a mi hija le dijeron, textualmente «si dice de lo que quedaba, entonces se multiplica». Otro enfoque que he visto en varios libros, más sistemático, es hablar de «la fracción como operador». Pero esto me parece un paso en la dirección equivocada, porque insiste en presentar a las fracciones como objetos nuevos, con propiedades «esotéricas» (es la primera vez que un alumno lee la palabra operador) cuando creo que la dirección correcta es presentar las fracciones como una extensión natural de los conjuntos numéricos ya conocidos. No hay ninguna diferencia conceptual entre «el doble de» y «tres quintos de». De la misma forma que no vemos necesario hablar de «el dos como operador», no veo la necesidad de hablar de  «la fracción como operador».

Seguro que hay más opciones para dotar de sentido a la multiplicación de fracciones. Aquí voy a presentar las dos que más me gustan.

  • Si el concepto de fracción se ha entendido, la multiplicación de un número entero por una fracción, como en 3 \times 2/5 no presenta mayor dificultad. «Tres veces dos quintos son seis quintos». Y no hace ninguna falta, desde luego, «convertir al 3 en fracción». No podemos ahora, desde luego, recurrir a la propiedad conmutativa: no se trata de que hagan la cuenta 2/5 \times 3 , sino que queremos que entiendan qué significa «dos quintos de algo». Para ello, primero  se presenta la multiplicación por fracciones con numerador 1. Un quinto de un número entero (en los primeros ejemplos, un múltiplo de 5) es igual de intuitivo que «el doble de algo».  Se trabaja además la idea de que multiplicar por 1/5 es lo mismo que dividir por 5. Cada vez leo más sobre – y esto convencido de – la importancia que tiene prestarle atención a estos hechos en la aritmética para conseguir una buena iniciación al álgebra. Se introduce después 1/5 de una fracción, viendo que es equivalente dividir el numerador (cuando sea múltiplo de 5, claro) y multiplicar el denominador. Finalmente, una vez entendido 1/5 de algo, creo que el paso a que «dos quintos de algo» es «dos veces un quinto de algo» es el más sencillo del proceso.
  • La geometría nos proporciona aquí un sencillo ejemplo que muestra que la multiplicación de fracciones generaliza lo que ya conocemos sobre multiplicación de números enteros. Un rectángulo de dimensiones 5 x 3 está formado por un total de 15 cuadrados unitarios. De la misma forma, la multiplicación de las fracciones 3/4 y 2/3 nos muestra que un rectángulo de esas dimensiones está formado por 6 rectángulos (ahora ya no son cuadrados), cada uno con un área de 1/12. (Esta interpretación la vi por primera vez en el libro Parker-Baldridge: Elementary mathematics for teachers).

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Pensaba tratar hoy también el tema de la división, pero la multiplicación me ha llevado mucho más tiempo de lo que creía. De manera que la división de fracciones será el tema de una próxima entrada. Lo siento, David  🙂

Cuatro enlaces muy interesantes

Mientras encuentro el momento de continuar con las fracciones, quiero compartir algunos enlaces (mi agradecimiento a pepvidal por los dos primeros).

  • Blog de Jaime Martínez Montero sobre algoritmos basados en números (ABN). Aunque mi tesis central es que se deberían hacer menos cuentas, y prestarle más atención a los conceptos, estoy completamente de acuerdo en que los algoritmos deberían cambiar, olvidarse de los algoritmos tradicionales, y seguir las ideas de los algoritmos que se conocen como basados en números.
  • En el colegio Aguamansa (en La Orotava, Tenerife), Antonio Martín lleva años enseñando las matemáticas de primaria dejando a un lado los algoritmos tradicionales. En este canal de youtube se pueden ver ejemplos de lo que son capaces los niños cuando se pone el acento en la comprensión, en lugar de en la repetición.
  • Los estándares de la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) son uno de los documentos de referencia cuando se habla de la enseñanza de las matemáticas en la educación obligatoria. Un organismo análogo, el National Council on Quality in Teaching, elaboró este informe sobre la formación matemática de los profesores de primaria:  No common denominator (este enlace lleva a una versión resumida). Creo que este documento es mucho menos conocido que el anterior, yo lo descubrí esta pasada semana, y me ha parecido del máximo interés. Me ha resultado muy llamativo la gran parte del análisis que creo directamente trasladable al caso español. Quizá esto explique el hecho de que EEUU y España aparecen casi siempre muy próximos en los test internacionales sobre competencia matemática de los estudiantes.